第八章熱傳導和擴散問題的傅里葉解(編輯修改稿)
2025-04-21 06:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （）第五步,利用本征函數(shù)的正交性確定疊加系數(shù)：現(xiàn)在根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)定出疊加系數(shù)，將上面的一般解代入初始條件，并利用本征函數(shù)的正交性得到系數(shù)為 （）公式（）給出了均勻細桿上溫度場的分布，表明溫度場隨時間做指數(shù)衰減。第三節(jié) 初值問題的傅里葉解 利用傅里葉積分求出熱傳導的初值問題對于無窮長一維介質上的熱傳導問題，可以表示為解：令代入泛定方程（），得到兩個常微分方程： （） （）解式（）得到： （）由公式（）可以看出：當時，溫度隨時間的變化將趨于無窮大，這與物理事實不符，因此，令。（）和（）的解為與有關系的一系列解，記為 （）解式（）得到：于是得到熱傳導的一系列解為 （）由于這里的沒有邊界條件的限制，所以為任意實數(shù)值。則的一般解為公式（）對所有值對應解的疊加，由于為連續(xù)實數(shù)，因此，的一般解為公式（）對從到進行積分。即 （）把初始條件代入上式得到： （）其中傅里葉系數(shù)： （） （）把公式（）與（）帶入公式（）得到： （）利用，得出因此，可以寫為 （）細桿上位置的點熱源在整個細桿上引起的溫度分布為：解（）式可以看作是由各個瞬時點熱源引起的溫度分布的疊加。第四節(jié) 一端有界的熱傳導問題 左端有界熱傳導定解問題的解方法1：直接用分離變量法求解。解：令將此代入泛定方程（），得到兩個常微分方程： （） （）將此代入邊界條件（），得到：
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