用dft進行頻譜分析及其誤差問題研究(編輯修改稿)
2025-04-21 06:04 本頁面
【文章內容簡介】 期序列的傅立葉變換的表達式，可得用DFS近似計算周期連續(xù)信號的傅立葉變換的公式為 (17)其中為由式(14)得到的計算連續(xù)周期信號的傅立葉級數(shù)的近似公式。需要注意的是，對于序列，譜分析中的頻率為數(shù)字頻率，單位為rad，對于連續(xù)信號，譜分析中的頻率 為模擬頻率，單位為rad/s，兩個頻率之間的關系為 ，即二者是線性關系。 (a) 正弦信號的波形 (b) 正弦信號的DFT頻譜圖4 正弦信號及其DFT頻譜此次仿真中用到的連續(xù)周期信號為正弦，見圖4。其頻譜圖見圖4中離散譜線所示，其包絡為寬度周期的門函數(shù)對應的頻譜。由仿真結果可知，連續(xù)周期信號的頻譜是離散的、非周期的，它可以通過截取一個周期內的連續(xù)信號的頻譜(圖4)中連續(xù)包絡進行離散化得到。對于離散序列信號，其FT必然以 2π 為周期；對于連續(xù)信號，其FT必然是非周期的。常用信號的譜分析最終可以歸結為4種形式，對于一般的連續(xù)的非周期信號，其FT是非周期和連續(xù)的；對于連續(xù)的周期信號，其FT是非周期和離散的；對于一般有限長序列信號，其FT是連續(xù)和周期的；對于周期序列信號，其FT是離散的和周期的。在對信號進行譜分析時，一定要首先判斷信號頻譜的大致情況(即離散還是連續(xù)、周期還是非周期)，然后再選擇合適的譜分析公式對信號進行譜分析。總之，只要能夠深刻理解各種信號譜分析的原理，掌握DFT這一譜分析的有力工具，對各種信號的譜分析將會變得簡單。6 利用DFT進行譜分析的誤差問題及其參數(shù)選擇所謂信號譜分析，就是計算信號的傅立葉變換。連續(xù)信號傅立葉變換不便于用計算機處理，因此要通過頻域采樣，應用DFT進行分析。又由于DFT的無限逼近性。[5]因此，這種分析只能是近似分析，不可避免存在一定的誤差。另外，根據信號與系統(tǒng)分析的相關原理，若信號在時域持續(xù)時間無限長，則在頻域的頻譜必有限寬；若信號在頻域的頻譜無限寬，則在時域的持續(xù)時間必有限長。因此，理論上不存在有限時間的帶限信號。在DFT近似譜分析中，若信號持續(xù)時間很長以致難于存儲和計算，就要截取有限點進行DFT[4]；若信號頻譜很寬容易造成采樣后的混疊失真，就要用濾波器濾去幅度較小的高頻成分。這些技術處理同樣也帶來了相應的誤差問題。[6]如前所述，信號在譜分析之前通常都需要經過預濾波、截斷等預處理，因此DFT譜分析的結果其實最終只能獲得一個近似值。DFT譜分析的近似性主要與三個參量有關：（1）信號帶寬。信號帶寬越寬則譜分析近似性越低。（2）采樣頻率。信號采樣頻率越高則分辨率越高，譜分析近似性也越高。（3）截取長度。截取長度越長則信號損失就越小，譜分析近似性就越高。[7][8]連續(xù)信號的譜分析首先要經過時域離散化即采樣，然后才能通過DFT實現(xiàn)頻域離散化。從理論上來說，要滿足采樣定理2，否則由于傅立葉的周期性，在ω =π附近發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象。但是在實際的工程應用中，一般采樣頻率要取到連續(xù)信號最高頻率的三至五倍，即： ≥3～5 。而且加入預濾波環(huán)節(jié)，才能切實改善頻率混疊。[8]DFT的實質就是有限長序列傅立葉變換的有限點離散采樣。N點DFT就是N點等間隔采樣，而采樣點之間的頻譜只能是未知量。這就如同在N+1條柵欄的縫隙中觀察整個信號的頻譜，只能從N條柵欄隙中看到N個離散采樣點處的譜特性，因此該現(xiàn)象稱為柵欄效應。由于“柵欄”的存在，有可能擋住比較大的頻譜分量，造成較大的誤差。為了改善柵欄效應，常采用原序列尾部補零的做法，以增加變換區(qū)間長度，從而增加采樣點數(shù)，使原來漏掉的某些頻譜分量被檢測出來。對于頻率為的正弦序列，它的頻譜應該只是在處有離散譜。但是，在利用DFT求它的頻譜做了截短，結果使信號的頻譜不只是在處有離散譜，而是在以為中心的頻帶范圍內都有譜線出現(xiàn)，它們可以理解為是從頻率上“泄露”出去的，這種現(xiàn)象稱 為頻譜“泄露”。譜分析中有幾個重要的參數(shù)，如頻率分辨率F、采樣點數(shù)N、觀察時間、采樣頻率等等，參數(shù)的選擇有如下幾個原則：(1)根據時域采樣定理：2。(2)頻率分辨率 ，因此采樣點數(shù)，因此采樣點數(shù)。(3)根據原則2，有：。(4)最小觀察時間（又稱記錄時間）至少應當包含一次完整的采樣過程，因此。對實信號譜分析，要求分辨率F≤50Hz，信號最高頻率1kH
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