圓的專(zhuān)題講義全(編輯修改稿)
2025-04-21 00:01 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∠ABC=90176。，以AB為直徑作半圓⊙O交AC與點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接DE．（1）求證：DE是半圓⊙O的切線(xiàn)．（2）若∠BAC=30176。，DE=2，求AD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OD，OE，BD，∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=∠BDC=90176。，在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn)，∴DE=BE，在△OBE和△ODE中，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE=∠ABC=90176。，則DE為圓O的切線(xiàn)；（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30176。，∴BC=AC，∵BC=2DE=4，∴AC=8，又∵∠C=60176。，DE=CE，∴△DEC為等邊三角形，即DC=DE=2，則AD=AC﹣DC=6． 8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90176。，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D點(diǎn)，連接CD．（1）求證：∠A=∠BCD；（2）若M為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線(xiàn)DM與⊙O相切？并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：∵AC為直徑，∴∠ADC=90176。，∴∠A+∠DCA=90176。，∵∠ACB=90176。，∴∠DCB+∠ACD=90176。，∴∠DCB=∠A；（2）當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時(shí)，直線(xiàn)DM與⊙O相切；解：連接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90176。，∴∠1+∠3=90176。，∴直線(xiàn)DM與⊙O相切，故當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時(shí)，直線(xiàn)DM與⊙O相切． 9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，PD切⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE垂直于PD，交PD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，連接AD并延長(zhǎng)，交BE于點(diǎn)E．（1）求證：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半徑的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OD，∵PD切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE；（2）解：由（1）知，OD∥BE，∴∠POD=∠B，∴cos∠POD=cosB=，在Rt△POD中，cos∠POD==，∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，∴，∴OA=3，∴⊙O半徑=3． 10．如圖AB是⊙O的直徑，PA，PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C，PC交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求證：∠EPD=∠EDO；（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：PA，PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C，∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO=90176。，∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90176。，∴∠APO=∠EDO，∴∠EPD=∠EDO；（2）解：連接OC，∴PA=PC=6，∵tan∠PDA=，∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，∴CD=4，∵tan∠PDA=，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，∵∠EPD=∠ODE，∴△DEP∽△OED，∴===2，∴DE=2OE在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52，∴OE=． 11．如圖，⊙O半徑為4cm，其內(nèi)接正六邊形ABCDEF，點(diǎn)P，Q同時(shí)分別從A，D兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s速度沿AF，DC向中點(diǎn)F，G運(yùn)動(dòng)．連接PB，QE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）求證：四邊形PEQB為平行四邊形；（2）填空：①當(dāng)t= 2 s時(shí)，四邊形PBQE為菱形；②當(dāng)t= 0或4 s時(shí)，四邊形PBQE為矩形．【解答】（1）證明：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF∠F，∵點(diǎn)P，Q同時(shí)分別從A，D兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s速度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），∴AP=DQ=t，則PF=QC=4﹣t，在△ABP和△DEQ中∴△ABP≌△DEQ（SAS）∴BP=EQ，同理可證，PE=QB，∴四邊形PEQB是平行四邊形．（2）解：①當(dāng)四邊形PBQE為菱形時(shí)，PB=PE=EQ=QB，∴△ABP≌△DEQ≌△PFE≌△QCB，∴AP=PF=DQ=QC，即t=4﹣t，得t=2，故答案為：2；②當(dāng)t=0時(shí)，∠EPF=∠PEF=30176。，∴∠BPE=120176。﹣30176。=90176。，∴此時(shí)四邊形PBQE為矩形；當(dāng)t=4時(shí)，∠ABP=∠APB=30176。，∴∠BPE=120176。﹣30176。=90176。，∴此時(shí)四邊形PBQE為矩形．故答案為：0或4． 12．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以相同的速度沿CA方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線(xiàn)，分別交⊙O于點(diǎn)M和點(diǎn)N，已知⊙O的半徑為l，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）若AC=5，則當(dāng)t= 時(shí)，四邊形AMQN為菱形；當(dāng)t= 時(shí)，NQ與⊙O相切；（2）當(dāng)AC的長(zhǎng)為多少時(shí)，存在t的值，使四邊形AMQN為正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出此時(shí)t的值．【解答】解：（1）AP=t，CQ=t，則PQ=5﹣2t，∵NM⊥AB，∴PM=PN，∴當(dāng)PA=PQ時(shí)，四邊形AMQN為菱形，即t=5﹣2t，解得t=；當(dāng)∠ONQ=90176。時(shí)，NQ與⊙O相切，如圖，OP=t﹣1，OQ=AC﹣OA﹣QC=5﹣1﹣t=4﹣t，∵∠NOP=∠QON，∴Rt△ONP∽R(shí)t△OQN，∴=，即=，整理得t2﹣5t+5=0，解得t1=，t2=（1≤t≤，故舍去），即當(dāng)t=時(shí)，NQ與⊙O相切；故答案為，；（2）當(dāng)AC的長(zhǎng)為3時(shí)，存在t=1，使四邊形AMQN為正方形．理由如下：∵四邊形AMQN為正方形．∴∠MAN=90176。，∴MN為⊙O的直徑，而∠MQN=90176。，∴點(diǎn)Q在⊙O上，∴AQ為直徑，∴點(diǎn)P在圓心，∴MN=A
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