含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題(編輯修改稿)
2025-04-20 23:42 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 候，往往是幾種方法一同使用． 例5 已知關(guān)于x的方程x2＋(a6)x＋a=0 的兩根都是整數(shù)，求a的值． 解 設(shè)兩個(gè)根為x1≥x2，由韋達(dá)定理得 從上面兩式中消去a得x1x2+x1+x2＝6， 所以 (x1＋1)(x2+1)=7， 所以a=x1x2=0或16． 說明 利用韋達(dá)定理，然后把參數(shù)消去，得到的是關(guān)于x1，x2的不定方程，而求解這個(gè)對(duì)稱的不定方程往往是容易入手的． 例6 求所有有理數(shù)r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r1)=0 的所有根是整數(shù)． 分析 首先對(duì)r=0和r≠0進(jìn)行討論．r=0時(shí)，是關(guān)于x的一次方程；r≠0時(shí)，是關(guān)于x的二次方程，由于r是有理數(shù)，處理起來有些困難，這時(shí)用直接求根或用判別式來做，均不能奏效．可用韋達(dá)定理，先把這個(gè)有理數(shù)r消去． 解 當(dāng)r=0時(shí)，原方程為x1=0，所以x=1． 當(dāng)r≠0時(shí)，原方程是關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)它的兩個(gè)整數(shù)根為x1，x2，且x1≥x2，則 消去r得x1x2x1x2＝2， 所以(x11)(x21)=3． 例7 已知a是正整數(shù)，且使得關(guān)于x的一元二次方程ax2＋2(2a1)x＋4(a3)=0 至少有一個(gè)整數(shù)根，求a的值． 解 將原方程變形為(x＋2)2a= 2(x＋6)． 顯然x＋2≠0，于是 由于a是正整數(shù)，所以a≥1，即 所以 x2+2x8≤0，(x＋4)(x2)≤0， 所以 4≤x≤2(x≠2)． 當(dāng)x=4，3，1，0，1，2時(shí)，得a的值為1，6，10，
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