【文章內容簡介】 a2)()(1??故 )π4()4(Sa)????F311 設有如下信號 f( t )，分別求其頻譜函數。(1) e)()4j3(tft?????(2) 2解 (1) 因 ??j1e???t故 )4j(3j)43(e)4j3( ???tf2( t ) =22(2) 因 2),1()2()τ???????tGt故 ???jje)(Sae)(Sa)( ?F312 設信號 40,2?t其 他,試求 f2( t ) = f1( t )cos50t 的頻譜函數，并大致畫出其幅度頻譜。解 因 ????j2j2e)(Sa8e)(Sa)( ????F故 )]50()([21)(1?F)50j2(j2e)](Sa[4e]Sa4 ??? ??幅度頻譜見圖 p312。圖 p312f1( t ) =50 50| F2(?) |23第 4章習題解析41 如題 41 圖示 RC 系統，輸入為方波 u1( t )，試用卷積定理求響應 u2( t )。題 41 圖解 因為 RC 電路的頻率響應為 1j)(???H而響應u2( t ) = u1( t ) * h( t )故由卷積定理，得U2(? ) = U1(? ) * H( j? )而已知 ，故)e1(j)(j1???U)e(jj)(j2 ????反變換得 )1(]1[)(e1())(2??tttut??42 一濾波器的頻率特性如題圖 42 所示，當輸入為所示的 f( t )信號時，求相應的輸出 y( t )。題 42 圖24解 因為輸入 f( t )為周期沖激信號，故 π2,1n??TTF?所以 f( t )的頻譜 ???????nn )()(π2)(1???當 n = 0，?1 ，? 2 時，對應 H( j? )才有輸出，故Y(? ) = F(? ) H( j? )= 2?[2?(?) + ?(? ? 2?) + ?(? + 2?)]反變換得y( t ) = 2( 1 + cos2?t )43 設系統的頻率特性為 2j)(???H試用頻域法求系統的沖激響應和階躍響應。解 沖激響應，故 )(e2)]j([)(1tHth??????F而階躍響應頻域函數應為 2j]1)(π[)j()][( ????????tS2j1π???)(?所以階躍響應 )(e1()2ttst????44 如題圖 44 所示是一個實際的信號加工系統，試寫出系統的頻率特性 H( j? )。題 44 圖25解 由圖可知輸出 ???t ttfy00d)]()[)(取上式的傅氏變換，得 )e1(j)(0jtFY???故頻率特性 )(j)(j( 0jtH???45 設信號 f( t )為包含 0 ~ ?m 分量的頻帶有限信號，試確定 f( 3t )的奈奎斯特采樣頻率。解 由尺度特性，有 )3(1)(?Ftf?即 f( 3t )的帶寬比 f( t )增加了 3 倍，即? ? = 3?m。從而最低的抽樣頻率 ?s = 6?m 。故采樣周期和采樣頻率分別為 S61fT?m46 若電視信號占有的頻帶為 0 ~ 6MHz，電視臺每秒發(fā)送 25 幅圖像，每幅圖像又分為 625 條水平掃描線，問每條水平線至少要有多少個采樣點？解 設采樣點數為 x，則最低采樣頻率應為 xf??625m所以 781025??fx47 設 f( t )為調制信號，其頻譜 F( ? )如題圖 47 所示，cos ?0t 為高頻載波，則廣播發(fā)射的調幅信號 x( t )可表示為x( t ) = A[ 1 + m f( t )] cos?0t26式中，m 為調制系數。試求 x( t )的頻譜，并大致畫出其圖形。題 47 圖解 因為調幅信號x( t ) = Acos?0t + mA f( t )cos?0t故其變換 )]()([2)]()([π)( 0000?? ????? FmX式中，F( ? )為 f( t )的頻譜。 x( t )的頻譜圖如圖 p47 所示。圖 p4748 題 48 圖所示(a)和(b)分別為單邊帶通信中幅度調制與解調系統。已知輸入 f(t)的頻譜和頻率特性 H1( j? )、H 2( j? )如圖所示，試畫出 x(t)和 y(t)的頻譜圖。X(?)F(?)F(?)27題 48 圖題 48 圖解 由調制定理知 )]()([21)(cos)( CCC1 ???????FFttff而 x(t)的頻譜 )()(11jHX?又因為 )]()([2)(cos)( CCC2 ??????XFttxf所以 )()(22jHY?它們的頻譜變化分別如圖 p48 所示，設 ?C ?2。圖 p48F1(?)F2(?)X(?)Y(?)2849 如題 49 圖所示系統，設輸入信號 f(t)的頻譜 F(? )和系統特性 H1( j? )、H 2( j? )均給定，試畫出 y(t)的頻譜。題 49 圖解 設 ，故由調制定理，得ttff50cos)(1? )]50()([21)(?????FF從而 )()()(122Htf ??它僅在| ? | = ( 30 ~ 50 )內有值。再設 ttftf30cos)(23?則有 )]()([1)(223 ????FF即 F3(? )是 F2(? )的再頻移。進而得響應的頻譜為 )()(23jHY??其結果僅截取 ?20 ? 20 的部分。以上過程的頻譜變化如圖 p49 所示。F(?) H1(j?) H2(j?)29圖 p49410 設信號 f(t)的頻譜 F(? )如題 410 圖(a)所示，當該信號通過圖(b) 系統后，證明 y(t)恢復為 f(t)。題 410 圖證明 因為F2(?)F3(?)Y(?)F1(?)F(?) j2?1t30)2(e)(112j1????Ftft故通過高通濾波器后，頻譜 F1(? )為 )()(j 11??H所以輸出 )(2())( 1?FYty??即 y(t)包含了 f(t)的全部信息 F(? )，故恢復了 f(t)。31第 5章習題解析51 求下列函數的單邊拉氏變換。(1) t?e2(2) t3)(??(3) tcos2?解 (1) )1(22de)2()0 ???????sstFst(2) 31][(3???tsst?(3) ?????????02jj02 de)(e2e)co) tstttstt 1jj12???????ss52 求下列題 52 圖示各信號的拉氏變換。 題 52 圖解 (a) 因為 )()(01ttf???而 0e)(0stst???，故 )e1()01sttf?(b) 因為 ]()[)( 000 ttttf ?????1 f2( t )f1( t ) t0 t1 (b)32又因為 0201)(tst??0s)tet???故有 0s2022 e)1()(tsttf ??00stt?53 利用微積分性質，求題 53 所示信號的拉氏變換。題 53 圖解 先對 f( t )求導，則 )4()3(2)1()( ????? ttttf ??故對應的變換 )ee()431 ssssF所以 2431)(sss????54 用部分分式法求下列象函數的拉氏反變換。(1) 651)(2??sF(2) )(2(3) 31)2??ss33(4) 2)(4)??sF解 (1) 32)3(2165112 ????skss)(1??sFk332?ss故有 321)(??sF所以 )(e()2ttft??? (2) 1)1(2)2???sCBAsF可得 2)(0?sF又 CBAs???22可得B = 0，C = 1)(2?sF所以 )(in()ttf??(3) 21)2(123)(2 ????sksssF)(1?Fk22?ss故有 21)(??sF故 )(e()ttft???34(4) 2)()2(4) 11???sksksF故 01?sFk24)(2(2????ss 1)(d][d221 ???sssk故有 2)(1)(?ssF所以 e()22ttft???55 求下列象函數的拉氏反變換。(1) sF??e1)((2) 2?(3) )e1()ss?解 (1) 1(?ttf?(2) )e))()22????(3) ??????)5()2()3((( ttttttf ?56 設系統微分方程為 )(2)(34)( tftyty??????已知 。試用 s 域方法求零輸入響應和零狀態(tài)響應。e,1)0(,)( 2fy????????解 對系統方程取拉氏變換，得 )(2)(30(4))0()(2 sFsYysYysY ???????從而 )(1)( 22 ss???由于3521)(??sF故 ????)(34()345)(zs2zi2YsYs求反變換得 ttty3zi e257)(??ttts1??全響應為 0,e53e)(32????ttyttt57 設某 LTI 系統的微分方程為 )(36)(5tftytty????試求其沖激響應和階躍響應。解 對方程取拉氏變換，得系統函數 )3(2653)(2???ssH當 f( t ) = ?( t )時，F( s ) =1，得 )()(sY從而 0,e3)(2???tthtt當 f( t ) = ?( t )時， ，得sF1)(?)(2)(1)(?ssHY315..0???故得 0,e.)(2??ttsytt58 試求題 58 圖示電路中的電壓 u( t )。36題 58 圖解 對應的 s 域模型如圖 p58 所示，則 42)2(1)(2)( ?