概率論與數(shù)理統(tǒng)計_第三章(編輯修改稿)
2025-04-18 04:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 y??? ????.,0,10)(6其它yyy 本例是求邊緣概率密度的 典型題 ，不同的題目只是非零區(qū)域形狀和積分表達式的變化，必須熟練掌握 . □ 二維正態(tài)分布的邊緣分布 )。(21)( 21212)(1?????????xexfxX???? 不難求得 二維正態(tài)分布隨機變量的邊緣概率密 度 為 : 由此可知 :二維正態(tài)分布的邊緣分布均為一維正 態(tài)分布 ,且與參數(shù) ρ無關(guān) . ).(21)( 22222)(2?????????yeyfxY???? 表明 :由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布 ,但由邊緣 分布未必能確定聯(lián)合分布 . 167。 相互獨立的隨機變量 則稱隨機變量 X與 Y是 相互獨立 的 . },{}{},{ yYPxXPyYxXP ????? 定義 1 設(shè) 分別為二維隨機 變量 (X,Y)分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù) .如果對于任意 的實數(shù) 均有 )(),(),( yFxFyxF YXyx,一、概念 即 ),()(),( yFxFyxF YX? 利用兩事件的獨立性可以定義兩隨機變量的獨立性 . 二、判定 由定義可以判定隨機變量 X與 Y的 獨立性 : ).),()(()(),( 2RyxyFxFyxF YX ???? X與 Y相互 獨立 特別的，對離散性和連續(xù)性隨機變量，也可利 用其分布律與概率密度來判定獨立性。 離散型隨機變量 離散型隨機變量 (X,Y)的分布律、邊緣分布律 分別為 }{,}{,},{ jiiijji yYPpxXPpyYxXP ??????則 X與 Y相互獨立的 充要條件 是 :對 (X,Y)的 所有 可能 取得值 ,均有 ),( ji yx}{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP ????? 設(shè)連續(xù)型隨機變量 (X,Y)的概率密度、邊緣概率 密度分別為 )(),(),( yfxfyxf YX則 X與 Y相互獨立的 充要條件 是 :在全平面上 幾乎處處 成立 )()(),( yfxfyxf YX ??連續(xù)型隨機變量 總之，聯(lián)合分布可確定邊緣分布 。但當(dāng) X與 Y相互 獨立時，邊緣分布也可確定聯(lián)合分布。 一般，要判定 X與 Y的獨立性，可先求邊緣分布 , 再依據(jù)上述條件之一判定 . 【 例 1】 設(shè)隨機變量 (X,Y)的概率密度為 ??? ????,0,10,||,1),(其它xxyyxf(1)求 (X,Y)的邊緣概率密度 。 (2)判定 X,Y的獨立性 . 〖 解 〗 (1)求 (X,Y)的邊緣概率 密度 dyyxfxf X ),()( ?????????????? ??,0,10,1其它xdyxx??? ???,0,10,2其它xxdxyxfyf Y ),()( ??????????????????????????,001,110,111其它ydxydxyy??? ?????,0,11|,|1其它yy?????????????,001,110,1其它yyyy例 1續(xù) 1 (2)判定獨立性 因為 )()(),( yfxfyxf YX? 即 X與 Y不獨立 。 □ ??? ?????,0,11|,|1)(其它yyyf Y??? ???,0,10,2)(其它xxxf X所以在聯(lián)合概率密度非零區(qū)域內(nèi) 例 1續(xù) 2 【 例 2】 (典型題） 設(shè)隨機變量 X,Y相互獨立 ,且 X服從 (0,1)上的均勻分 布 ,Y的概率密度為 ????????,0,0,21)(2其它yeyfyY(1)求 X與 Y的聯(lián)合概率密度 。 (2)求關(guān)于 t的二次方程 t2+2Xt+Y=0 有實根的概率 . 〖 解 〗 (1)求 X與 Y的聯(lián)合概率密度 因為 X,Y獨立 ,且有 ??? ???,0,10,1)(其它xxf X????????,0,0,21)(2其它yeyfyY 所以 ,X與 Y的聯(lián)合概率密度為 ???????????.,00,10,)()(),( 221其它yxeyfxfyxfyYX例 2續(xù) 1 (2)求方程有實根的概率 “方程有實根 ” 即為 ,04)2( 2 ???? YX 故所求概率為 。 ?????2),(}{ 2xyd x d yyxfXYPdxex?????10222121???????2),(}{ 2xyd x d yyxfXYP ????Dyd x d ye 221dyedxx y????2021021dxe xy????10022| dxex????102 )1(2? ?)0()1(21 ?????? ?? ? ????? □ 例 2續(xù) 2 ? 均勻分布的概率密度； ? 當(dāng)兩個隨機變量相互獨立時，可由邊緣概率 密度確定聯(lián)合概率密度； ? 由聯(lián)合概率密度求事件 “ 二維隨機變量取值落 在一個平面區(qū)域內(nèi) ” 概率的積分公式； ? 二重積分的計算； ? 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度函數(shù)計算有關(guān)概率積 分值； ? 一元二次方程有實根的條件，等。 本題知識點回顧 不難看出：對于二維正態(tài)隨機變量 (X,Y),X與 Y相 互獨立的充要條件是參數(shù) ρ=0. 參數(shù) ρ稱為 X與 Y的 相關(guān)系數(shù) (ch4). 如果隨機變量 X與 Y的 相關(guān)系數(shù) ρ=0,稱 X與 Y是 不 相關(guān) 的 . 一般 ,X與 Y相互 獨立 X與 Y不相關(guān) . 但對 二維正態(tài) 隨機變量 (X,Y),X與 Y獨立 與 不相 關(guān) 是 等價 的 . 續(xù) 由一、二維隨機變量推廣至 n維隨機變量 .請看教 材 我們知道： 二維正態(tài) 隨機變量 (X,Y)的 概率密度 為 ???? ????????? 21212221)()1(21e x p121),(???????xyxf???????????22222121 )())((2??????? yyx)。(21)( 21212)(1?????????xexfxX???? 兩個 邊緣概率密度 為 二維正態(tài)分布與邊緣分布 ).(21)( 22222)(2?????????yeyfxY????167。 條件分布 一、離散型二維隨機變量的條件分布律 定義 1 設(shè)（ X， Y）為離散型二維隨機變量， 對于固定的 j，當(dāng)
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