【文章內(nèi)容簡介】 靜態(tài)平均數(shù)按其計算方法的不同分為兩種 ：數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù) 。 凡根據(jù)總體各單位標志值計算的平均數(shù)，稱為 數(shù)值平均數(shù) 。常見的主要有：算術平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)等 凡根據(jù)總體標志值在分配數(shù)列中的位置確定的平均數(shù)，稱為 位置平均數(shù) 。常見的主要有眾數(shù)和中位數(shù)等。 算術平均數(shù)（ arithmetic mean） 是總體標志總量與總體單位總量對比的結果。其基本公式為： 算術平均數(shù)是分析社會經(jīng)濟現(xiàn)象一般水平和典型特征的最基本、最常用的一種平均指標。它也是平均指標中最重要的一種。一般不加特別說明時，所稱的 “ 平均數(shù) ” 都是指算術平均數(shù)。 根據(jù)基本公式計算算術平均數(shù)時，由于依據(jù)的資料不同，計算方法有所不同，可分為簡單算術平均數(shù)和加權算術平均數(shù)。 算術平均數(shù) = 總體單位總量總體標志總量 如果總體單位數(shù)不多，資料未經(jīng)分組，計算算術平均數(shù)時可采用簡單算術平均數(shù)的方法。計算過程是：先把總體各單位標志值相加得總體標志總量，再與總體單位總數(shù)對比，即可得到算術平均數(shù)。計算公式為： nxn xxxxx n ?????? ?321 如果調(diào)查所得的原始資料已經(jīng)經(jīng)過分組整理，形成了變量數(shù)列，則計算算術平均數(shù)要采用加權算術平均數(shù)的方法。計算過程是：將各組的變量值與各組的單位數(shù)相乘，計算出各組標志總量，各組標志總量匯總得出總體標志總量，然后除以各組單位數(shù)之和即總體單位總量，得到平均數(shù)。計算公式為： 權數(shù)不但可以用次數(shù)、頻數(shù)（即總體各組單位數(shù)）這種絕對數(shù)表示，還可以用比重、頻率這種相對數(shù)表示。此時，加權算術平均數(shù)公式可以演化為： 簡單算術平均數(shù)是加權算術平均數(shù)的特例。 選擇權數(shù)的原則是，務必使各組的標志值與其乘積等于各組的標志總量，并且具有實際經(jīng)濟意義。 fxfffff fxfxfxfxx n nn ??????? ????? ? ?321 332211ffxx ??? 調(diào)和平均數(shù) （ harmonic mean） 是各個標志值倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù) ， 故又稱為倒數(shù)平均數(shù) 。 根據(jù)給定的材料不同 ， 調(diào)和平均數(shù)有簡單調(diào)和平均數(shù)和加權調(diào)和平均數(shù)兩種 。 簡單調(diào)和平均數(shù)是各個標志值倒數(shù)的簡單算術平均數(shù)的倒數(shù)。其計算公式為 ： ??????? xnxxxxnxnh 11111321? 加權調(diào)和平均數(shù)是各個標志值倒數(shù)的加權算術平均數(shù)的倒數(shù)。 ????????????xmmxmxmxmxmmmmmxnnnh??332211321 調(diào)和平均數(shù)與算術平均數(shù)在計算上是相通的，但各自適合不同的資料。在實際應用中，一般采用下列步驟進行計算。 ⑴先在給出的材料中找出 x。 方法是 “ 求誰的平均數(shù)誰就是 x”； ⑵確定權數(shù)為 f還是為 m。 方法是分配數(shù)列中的這欄數(shù)值若與相乘有意義，則為 f， 若與相除有意義，則為 m； ⑶寫出計算公式。如何寫？若權數(shù)定為 f， 采用算術平均數(shù)公式，若權數(shù)定為 m， 則采用調(diào)和平均數(shù)公式； ⑷延展計算表。根據(jù)寫出的公式，需要什么內(nèi)容就在表格中列出什么。例如，若采用的是算術平均數(shù)公式，則表格中列出 xf計算，若采用的是調(diào)和平均數(shù)公式 ， 則表格中列出 m/x計算； ⑸將數(shù)值代入公式，計算得答案。 x 幾何平均數(shù) （ geometric mean） 是若干項變量值的連乘積開若干次項數(shù)的方根 。 它是計算平均數(shù)的另一種形式 。 它主要用于計算比率或速度的平均 。當所掌握的變量值本身是比率的形式 ， 而且各比率的乘積等于總的比率時 ，就應采用幾何平均法計算平均比率 。 因為這與幾何平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì)相一致 。根據(jù)所掌握的資料不同 ， 幾何平均數(shù)分為簡單幾何平均數(shù)和加權幾何平均數(shù) 。 1. 簡單幾何平均數(shù) 如果資料未分組，直接將 n項變量值連乘，然后對其連乘積開 n次方所得的平均數(shù)即為簡單幾何平均數(shù)。其計算公式為： 與算術平均數(shù)一樣 ， 當資料已經(jīng)經(jīng)過整理 ， 則應以各變量值出現(xiàn)的次數(shù)為權數(shù) ， 計算加權幾何平均數(shù) 。 其計算公式為： nn nG xxxxxx ??????? ?321f fnfffG nxxxxx ? ????? ?321 321 眾數(shù)（ mode） 是指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值，是總體各單位一般水平的代表值，反映現(xiàn)象的集中趨勢。 在資料未分組情況下 ， 眾數(shù)的確定很簡單 。 只需找出次數(shù)最多的標志值即可 。 在組距數(shù)列情況下 ，計算眾數(shù)方法是：首先在數(shù)列中找到次數(shù)最多的組；然后，用公式計算眾數(shù)的近似值。計算公式 為 ： ⑴ 眾數(shù)是根據(jù)變量值出現(xiàn)的次數(shù)確定的 ， 而不是通過所有變量值計算得到的 ， 所以 ， 眾數(shù)不受到極端變量值的影響 。 ⑵ 眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值 ， 如果數(shù)據(jù)分布沒有明顯集中趨勢 ， 眾數(shù)可能不存在；如果有兩個最高次數(shù) ， 也可以有兩個眾數(shù) （ bimodal） 。 只有在總體單位比較多 ， 而且又明顯地集中于某個變量值時 ， 計算眾數(shù)才有意義 。 ⑶眾數(shù)主要用于測度定類數(shù)據(jù)的集中趨勢，當然也適用于作為定序數(shù)據(jù)以及定距和定比數(shù)據(jù)集中趨勢的測度值。眾數(shù)是惟一一個能用在名詞數(shù)據(jù)上的平均數(shù)。 dLM O ???? ??? 21 1 中位數(shù)（ median） 是指將總體各單位標志值按一定順序排列后，處于中間位置的標志值。由于它的位置居中，其數(shù)值不受極端數(shù)值的影響，也能表明總體標志值的一般水平。 在資料未分組情況下 ，中位數(shù)的確定比較簡單。首先，把標志值按大小順序排列起來，然后，計算中位數(shù)所在的位置找出中位數(shù)。 在組距數(shù)列情況下 ，用公式計算中位數(shù)的近似值。 ⑴ 中位數(shù)是一種位置平均數(shù) ， 其大小取決于它在序列中的位置 ， 因此它不受極端數(shù)值的影響 。 當存在極端數(shù)值時 ， 中位數(shù)能比數(shù)值平均數(shù)更好地代表數(shù)據(jù)分布的一般水平 。 ⑵ 中位數(shù)處于中間位置 ， 有一半數(shù)值小于中位數(shù) ， 另有一半數(shù)值大于中位數(shù) ，所以 ， 它能表明數(shù)字資料的集中趨勢 。 ⑶中位數(shù)主要用于測度定序數(shù)據(jù)的集中趨勢，當然也適用于定距數(shù)距和定比數(shù)據(jù)的集中趨勢，但不適用于定類數(shù)據(jù)。 中位數(shù)是從中間點將全部數(shù)據(jù)等分為 2部分，它也稱二分位數(shù)。同樣，可通過三個數(shù)值，將全部標志值分割成為四個相等部分。其中每部分包含 25%的數(shù)據(jù)，處在分位點上的這三個分割的數(shù)值就是 四分位數(shù)（ quartiles） 。 四分位數(shù)的確定方法與中位數(shù)類似。也要分為兩種情況，即未分組資料和分組資料。對于未分組資料，首先將數(shù)據(jù)按大小順序排序，然后計算分位數(shù)所在的位置，最后確定相關的四分位數(shù)。 。 。 。 標志變異指標是反映總體各單位標志值差異程度的綜合指標，所以又稱為標志變動度。它是和統(tǒng)計平均指標相聯(lián)系的一種綜合指標。 ⑴ 標志變異指標能夠反映平均數(shù)代表性的大小 。 ⑵ 標志變異指標可以說明現(xiàn)象變動的均衡性 、 穩(wěn)定性和節(jié)奏性 。 ⑶ 標志變異指標可以用來確定統(tǒng)計推斷的準確程度 全距 （ range） 是指總體各單位標志值中最大數(shù)值與最小數(shù)值之差 ，又稱極差 。 用 “ R”表示 。 它表明各個數(shù)值之間最大可能的差距 ， 是一種測量標志變動度的最簡方法 。 對于未分組資料或單項數(shù)列資料 ， R=最大標志值 — 最小標志值 對于組距數(shù)列資料， R最高組的上限 — 最低組的下限 全距的優(yōu)點是計算方法簡單 ， 意義明確 。 全距的缺點是易受極端數(shù)值的影響，它只能反映最大值和最小值之間的差距，而不能反映其內(nèi)部各項數(shù)值的差異狀況。 四分位數(shù)間距（ interquartile range） 是將總體各單位標志值按一定順序排列后，第三個四分位數(shù)與第一個四分位數(shù)之差。用“ IQR”表示。 IQR= Q3 — Q1第三個四分位數(shù)是處于中位數(shù)和最大數(shù)值中間的數(shù)值，第二個四分位數(shù)即中位數(shù)，第一個四分位數(shù)是處于中位數(shù)和最小數(shù)值中間的數(shù)值。 四分位數(shù)間距優(yōu)點是克服了全距受極端數(shù)值影響的缺點，計算簡便。 但是四分位數(shù)間距仍然不能反映總體內(nèi)部各項標志值的差異狀況，所以，它也是一個較粗糙的測定標志變動度的指標。 平均差（ mean absolute deviation） 是總體各單位標志值與其算術平均數(shù)離差絕對值的算術平均數(shù)，用符號 “ MAD”表示。 平均差可分為簡單平均差和加權平均差兩種。其基本公式為： 平均差是根據(jù)全部標志值計算出來的 ， 反映了每個標志值與平均數(shù)的平均離散程度 ， 與全距相比 ， 受極端數(shù)值的影響較小 ， 是比全距更優(yōu)良的標志變異指標 。 但計算平均差時，須對離差取絕對值，這給平均差的代數(shù)運算帶來了許多不便，從而使其應用受到了限制。 nxxMAD ? ?? ?? ??ffxxM AD 標準差（ standard deviation） 是總體各單位標志值與其算術平均數(shù)離差平方的算術平均數(shù)的平方根。又稱為均方差，用 “” 表示。標準差的平方稱為方差（ variance）， 用 “” 表示。標準差是標志變異指標中最重要，也是最常用的指標。 標準差可分為簡單標準差和加權標準差兩種。其基本公式為： 標準差反應靈敏，能準確反映總體分布的離散趨勢。另外，它克服了平均差計算中用絕對值消除離差正負號帶來的運算問題，在計算上比平均差更簡便。標準差是實際應用最廣泛的標志變異指標。 但是由于標準差的大小與平均數(shù)有關，且標準差帶有與標志值相同的計量單位，因此標準差不適宜用于比較平均數(shù)相差較大或計量單位不同的兩總體分布的離散程度 。 n xx? ??2)(? ?? ?? f fxx 2)(? 標志變異系數(shù)（ coefficient variation） 又稱離散系數(shù)，是用標志變異指標與相應的算術平均數(shù)對比，來反映總體各單位標志值之間離散程度的指標，是以相對數(shù)表示的標志變異指標。 標準差系數(shù)是無名數(shù)，在應用時不受計量單位和標志值水平限制，消除了不同總體之間在計量單位、平均水平方面的不可比性。適用于對比分析平均水平不同或計量單位不同的兩組數(shù)據(jù)的離散程度的大小。標準差系數(shù)大的，說明數(shù)據(jù)的離散程度大；標準差系數(shù)小的，說明數(shù)據(jù)的離散程度小。 %100?? xCV ?習題與實踐訓練 120名學生選修統(tǒng)計學 ， 在期末考試中 ， 男生平均成績?yōu)?77分 ， 女生的平均成績?yōu)?81分 。 則： ⑴ 若 120名學生中 ， 男女生各占一半 ， 全體學生平均成績?yōu)槎嗌?？ ⑵ 若 120名學生中 ， 男生 80人 ， 女生 40人 ， 全體學生平均成績?yōu)槎嗌?？ ⑶ 若 120名學生中 ， 男生 40人 ， 女生 80人 ， 全體學生平均成績?yōu)槎嗌?？ ⑷比較上述三種情況下，全體學生平均成績的變化，解釋變化的原因。 ， 標準差是 4分鐘 。 ⑴ 如果給每個標志值都加上 5分鐘 ， 平均數(shù)是多少 ？ ⑵ 如果給每個標志值都加上 5分鐘 ， 標準差是多少 ？ ⑶ 如果給每個標志值都加上 5分鐘 ， 方差是多少 ？ ⑷如果給每個標志值都加上 5分鐘，眾數(shù)、中位數(shù)、四分位數(shù)是否發(fā)生變化，為什么？ 第 6章 抽樣推斷 學習目標 ● 理解抽樣推斷的意義與特點 ● 掌握抽樣推斷的基本概念 ● 掌握簡單隨機抽樣形式的區(qū)間估計方法 ● 掌握必要樣本單位數(shù)的確定方法 ●了解抽樣組織形式的概念和特點 抽樣推斷（ sampling inference） 是在抽樣調(diào)查（ sampling survey） 的基礎上，利用樣本的實際資料計算樣本指標，并據(jù)以推算總體相應數(shù)量特征的一種統(tǒng)計分析方法。 抽樣推斷具有四個特點 ： 第一，抽樣推斷是由部分推算整體的一種認識方法。 第二，抽樣推斷是建立在隨機取樣的基礎上。 第三，抽樣推斷是運用概率估計的方法，利用樣本指標來估計總體參數(shù)。 第四，抽樣推斷的誤差是可以事先控制的。 總體和樣本 1．總體（ population） 也稱全及總體，是指所研究現(xiàn)象的整體，