【文章內(nèi)容簡介】 ,x a b i a b R? ? ?,x C x??其次 ，若 則 b i a b ?1 + = 0 , =所以， 1， i 為 C的一組基， dim 2 .C ?又， 2dim 2R ?2di m di m .CR?所以， ?故， 三． 線性變換 ? 線性變換 ?定義 ?線性變換的矩陣 ? 相似矩陣 ? 特征值、特征向量 ? 可對角化 ?定義 哈密爾頓 凱萊 （ HamiltonCaylay） 定理 定理 設 為 維線性空間 V的一個線性變換， ? n則 可對角化 有 個線性 無關(guān) 的特征向量 . ? ?? n三． 線性變換 ? 值域與核 ? 定義 ? 若當標準形 例 1. 設線性空間 的線性變換 為 ?3P1 2 3 1 2 1 2( , , ) ( , , )x x x x x x x? ??求 在標準基 下的矩陣 . 1 2 3,? ? ??解： 3( ) ( 0 , 0 , 1 ) ( 0 , 0 , 0 )? ? ???1( ) ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 1 )? ? ???2( ) ( 0 , 1 , 0 ) ( 0 , 1 , 1 )? ? ???1 2 3 1 2 31 0 0( , , ) ( , , ) 0 1 01 1 0? ? ? ? ? ? ????? ????例 為線性空間 V一組基， 線性變換 在 ??12, ?這組基下的矩陣為 ? ?21 ,10A ? ? 為 V的另一組基，且 ??12,? ?1 2 1 2 11, ) ( , ) ,12? ? ? ? ?? ?(（ 1）求 在 下的矩陣 B. ? ??12,（ 2）求 .kA? ? ? ? ? ?11 1 2 1 1 11 2 1 0 1 2B ???? ? ??解： （ 1）由定理 4， 在基 下的矩陣 ? ??12,? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 1 1 1 1 1 .1 1 1 0 1 2 0 1? ??? ?（ 2）由 有 1 ,B X A X?= 1 ,A X B X ?=于是 1 .kkA X B X ?=? ? ? ? ? ? 11 1 1 1 1 11 2 0 1 1 2kkA ???? ??=? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 1 1 .1 2 0 1 1 1 1k k kkk?? ?? ? ? ?=1 2 22 1 2 ,2 2 1A??? ????解： A的特征多項式 1 2 22 1 22 2 1EA????? ? ?? ? ? ? ?? ? ?2( 1 ) ( 5 )??? ? ?例 在基 下的矩陣是 ? 1 2 3,? ? ?求 的特征值與特征向量 . ?故 的特征值為： （二重） 121 , 5??? ? ?? 把 代入齊次方程組 得 1? ?? ( ) 0 ,E A X? ??1 2 31 2 31 2 32 2 2 02 2 2 02 2 2 0x x xx x xx x x? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??? 即 1 2 3 0x x x? ? ?它的一個基礎(chǔ)解系為 ： ( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 )??因此，屬于 的兩個線性無關(guān)的特征向量為 1?1 1 3 2 2 3,? ? ? ? ? ?? ? ? ?而屬于 的全部特征向量為 1?1 1 2 2 1 2, ( , )k k k k P???? 不全為零 因此，屬于 5的一個線性無關(guān)的特征向量為 把 代入齊次方程組 得 5?? ( ) 0 ,E A X? ??解得它的一個基礎(chǔ)解系為： (1,1,1)3 1 2 3? ? ? ?? ? ?而屬于 5的全部特征向量為 3 3 3 3, ( , )k k P k? ?? 0 1 2 31 2 31 2 34 2 2 02 4 2 02 2 4 0x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ??? ? ? ???例 3. 設 求 1 0 20 1 1 ,0 1 0A????????8 5 4 22 3 4 .A A A A E? ? ? ?3( ) 2 1f E A? ? ? ?? ? ? ? ?解： A的特征多項式 用 去 除 得 ()f ? 8 5 4 22 3 4 ( ) ,g? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?5 3 2( ) ( ) ( 2 4 5 9 1 4 )gf? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?2( 2 4 3 7 1 0 )??? ? ?( ) 0 ,fA ?8 5 4 2 22 3 4 2 4 3 7 1 0A A A A E A A E? ? ? ? ? ? ? ?3 48 260 95 610 61 34???????????練習 1： 已知 為 A的一個特征值，則 ,nnAP ???（ 1） 必有一個特征值為 。 ()k A k P?（ 2） 必有一個特征值為 。 ()mA m Z ??（ 3） A可逆時， 必有一個特征值為 。 1A?（ 4） A可逆時， 必有一個特征值為 . *Ak?m?1??A?（ 5） 則 必有一個特征值為 . ( ) [ ] , ( )f x P x f A? ()f ?例 2. 問 A是否可對角化？若可，求可逆矩陣 T，使 3 2 12 2 23 6 1A???? ? ??????為對角矩陣 . 這里 1T AT?3 2 12 2 23 6 1EA??????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?23 12 16 2 4? ? ? ?? ? ? ? ? ?得 A的特征值是 4 . 解 : A的特征多項式為 對于特征值 2，求出齊次線性方程組 1231 2 1 02 4 2 03 6 3 0xxx????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ???對于特征值－ 4，求出齊次方程組 1237 2 1 02 2 2 03 6 3 0xxx????? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ???的一個基礎(chǔ)解系 :（－ 0），（ 0、 1） 的一個基礎(chǔ)解系 : 12( , ,1 )33?121321030 1 1T?????????????????令 則 12 0 00 2 00 0 4T AT???? ?????所以 A可對角化 . 1 0 2 11 2 1 31 2 5 52 2 1 2A????????????線性變換 在此基下的矩陣為 ?1) 求 及 1(0).? ?()V?2) 在 中選一組基，把它擴充為 V的一組基， 1(0)? ?并求 在這組基下的矩陣 . ?并求 在這組基下的矩陣 . ?3) 在 中選一組基，把它 擴充 為 V的一組基， ()V?例 設 是線性空間 V的一組基，已知 1 2 3 4,? ? ? ?解 ： 1） 先求 設 它在 1(0).? ? 1 ( 0 ) ,?? ?? 1 2 3 4,? ? ? ?下的坐標為 1 2 3 4( , , , ) .x x x x? ?0 , 0 , 0 , 0 .故 12341 0 2 1 01 2 1 3 01 2 5 5 02 2 1 2 0xxxx??? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???由于 有 在 下的 坐標 為 ( ) 0 ,?? ? 1 2 3 4,? ? ? ?()??解此齊次線性方程組，得它的一個基礎(chǔ)解系： ? ? ? ?2 2 / 3 1 0 ,