【文章內容簡介】 brauru,Rr ? ? ?nn CPCPCPr ,。,。, 2211 ??? ? ? ?nn CPCPCPuru ,。,。, 2211 ??? ? niCCCCCr niiii ,1,0。,0。,1。,0。,0 111 ??? ?? ??nn rPrPrPr ???? 2211 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 由效用函數的線性有： 其中即以 概率 1選擇結 果的 期望效用。 R中各元素的偏好關系一致， 因此決策者必將選擇一策略 ? ? ? ????????????? niiiniii CuPrPuru11? ? ? ? ,1,1 niCuCu ii ???? ?niC i ,1 ?? 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 二、 一般的效用函數 每個遞增的、 凹效用函數意味著風險回避。然而， 我們渴望效用函數具有一些好的性質，基于這個原因， 下面介紹風險理論中常用的效用函數。 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 1. 二次效用函數 二次效用函數由下式給定： 顯然 2WWU ????? 2,21 ??????? UWU 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 因為 U的凹性， 所以必有 β＜ 0。注意到函數 U是W的遞增函數， 因此 β不應太大。記 是 的最大值，則應有 ，即有 。 當 β滿足這些約束時， 可以得到 MW W021 ?? MW? 2/MW??? ? ? ?? ? 021 2 ????????ffa WWUWUWA?? 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 對數效用函數由下式給出： 要使函數有意義必有 。對于這個效用函數我們有 因此是 財富的遞減函數。記 ，則 也是非遞減函數。 WU ln?0W ?)0(0/1 ???? WWU 因為2/1 WU ????WA a /1? ? ? aR WAWA ?1?RA 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 冪函數的一般表達式為 因為 ，所以效用函數是財富的遞增函數。進一步， 有 ? ? ?? WU s g n?? ? 1s g n ??? ??? WU? ? 0s g n ???? ? ? ? 21s g n ????? ???? WU 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 于是風險回避意味著 β＜ 1； β=1意味著風險中立。由上面的結果可以推出 由上式可以看出如果，那么冪函數和對數函數具有相同的風險回避系數。 ? ? ? ? ?? ???? 1/1 Ra AWWA 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 這類函數可以寫為 U的符號沒有什么特殊的意義。但是 U′的符號應該是正的。因為 , 所以只要 使 就可以保證這一點。經過計算得到： ? ?e xpUW ?? ? ?? ?WU ?? ??? e x p0? ?? ??????????aAWU e xp2 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 有趣的是， 我們注意到前面介紹的所有效用函數可以歸成一類， 稱為“雙曲絕對風險回避效用函數”。一般形式如下： （ ） 其中函數的定義域為使得括號中的值為正的那些 值，即 滿足 ? ??????????? ???? baWWU11? ? 01 ??? ?baWWW 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 對 ()式求導可得 進一步， 有 ? ?? ?22111????????????????????????????baWaWUbaWaWU?????? ???????? baWaUUAa ?1// 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 注意到的分母是的線性函數。我們定義 稱為風險忍耐限度， 則對于這類效用函數有 它是 的線性函數。所以這類效用函數也稱為線性風險忍耐效用函數。 aa AT /1?? ? abWAT aa /1//1 ???? ?W 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 ()所表達的函數形式包含了前面所討論的所有效用函數。通過對參數 a, b和 θ的特殊選擇就可以表示不同的效用函數。見表 。 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 ? 三、 均值方差準則 ? 在證券投資理論中，一種方便的風險定義就是把圍繞收益率期望的波動性即收益率的方差（或者標準差）稱為證券的風險。證券均值方差準則的最大優(yōu)點在于只要考慮投資收益的期望值與方差 (標準差 )便可以做出決策，也正因為這一優(yōu)點， 它成為投資分析中最著名的有效準則之一。 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 按照均值方差準則， 投資者的期望效用就是預期收益分布的平均值以及方差的函數。無論是哪一類投資者， 在風險相同的情況下， 總是偏好期望收益高的投資對象， 但在期望收益一定時， 投資者的選擇就依據對風險的偏好程度。 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 所以， 可以將均值方差準則定義為：對于證券 1和2， 當且僅當 時， 證券 1優(yōu)于證券 2， 其中和分別為證券 1和證券 2的收益， 它們都是隨機變量。 ? ? ? ?? ? ? ?2121va rva r RRRERE?? 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 均值方差準則是預期效用的一種特殊情況， 下面 我們介紹它的效用函數基礎。假設投資者為風險 回避者， 且其效用函數為二次型， 某證券 (或證 券組合 )的收益為 R， 則他的效用由下式決定 : 其中 可以取任意值，而 ? ? 2cRbRaRU ???0 , 0bc??a 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 投資者的期望效用為 而由于 ,故上式可以寫成 該式說明二次函數的期望效用可以表示為證券收益的均值 和證券收益的方差 的 函數。 ? ?? ? ? ? ? ?2RcERbEaRUE ???? ? ? ?? ? 222 RERER ???? ?? ? ? ? ? ?? ? 22 RcREcRbEaRUE ?????? ?RE 2R? 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 ? ?? ?2 0RE U R c?? ???進一步由上述推導可得出以下結論 該式說明當方差增加而期望收益不發(fā)生變化時， 因其期望效用減少，投資者的狀況會惡化。 該式說明當方差不變而期望收益增加時， 投資者的狀況會變好， 因為其期望效用增加了。 ? ?? ?? ? ? ? 02 ????? RcEbRERUE 第二節(jié)期望效用原理與均值方差準則 由于它對于投資者效用函數的設定過于嚴格， 特別是它不是在可能情況的全部區(qū)間上定義的， 所以極大地限制了其： 其中 為參數，亦是風險厭惡因子，它反映了投資者對均值和方差