[商務(wù)科技]888-3格林公式及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-02-15 10:35 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2. 平面第二型曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 設(shè) G是一個(gè)開(kāi)區(qū)域 ? P(x? y)、 Q(x? y)在區(qū)域 G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ? 與路徑無(wú)關(guān) ? 否則說(shuō) 與路徑有關(guān) ? 如果對(duì)于 G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn) A、 B以及 G內(nèi)從點(diǎn) A到點(diǎn) B的任意兩條曲線 L L2? 等式 這是因?yàn)?? 設(shè) L1和 L2是 D內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn) B的曲線 ? 則 L1?(L2?)是 D內(nèi)一條任意的閉曲線 ? 而且 有在 D意一條簡(jiǎn)單逐段光滑 閉曲線 的曲線積分曲線積分 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān) 沿 D 內(nèi)任242。 ?QdyPdx =0 定理 2 (曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的判斷方法 ) ?)(閉曲線的曲線積分為零則曲線積分 242。 ?L QdyPdx 在 D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān) 或沿 D 內(nèi)任意?( ? ) ?數(shù)設(shè) 函數(shù) P x y 及 Q(x y)在 單連通域 D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)在 D內(nèi)處處成立證 充分性 已知上述等式在 D內(nèi)處處成立 .在 D內(nèi)任取一簡(jiǎn)單閉曲線 C，記 C所圍之區(qū)域?yàn)? .由于 D是單連通區(qū)域，因而 被包含在 D內(nèi)，于是在區(qū)域 上用格林公式得，DC積分與路徑無(wú)關(guān)上頁(yè) 下頁(yè) 鈴結(jié)束返回首頁(yè) 必要性 我們假定上述積分與路徑無(wú)關(guān)，要證明等式 在 D內(nèi)處處成立 . 用反證法 .設(shè)在 D內(nèi)一點(diǎn) 處上述等式不成立，不妨設(shè)由假設(shè)可知函數(shù) 在 D內(nèi)連續(xù) .因而在 D內(nèi)存在 以 為圓心以充分小的正數(shù) r為半徑的小圓域 ，使在整 上，有 設(shè) 的邊界線為 ，在 上用格林公式，有上頁(yè) 下頁(yè) 鈴結(jié)束返回首頁(yè) 但 是 D 內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線，由證明假設(shè)及前面命題，應(yīng) 有 于是發(fā)生矛盾 .證畢 , . 應(yīng)用定理 2應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)區(qū)域 D是單連通區(qū)域 ? (2)函數(shù) P(x? y)及 Q(x? y)在 D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ? 如果這兩個(gè)條件之一不能滿足 ? 那么定理的結(jié)論不能保證成立 ?討論 ? 設(shè) L為一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線 ? L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?? 問(wèn) 是否一定成立？ 提示 ? 在例 4中已看到 ,當(dāng) L所圍成的區(qū)域含有原點(diǎn)時(shí) ,
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