【文章內容簡介】 y 問： CNOT回路を行列で表せ。 ヒント： ２量子ビットであるから、 行列のサイズは４ ４である。 28 シンドロームを求めよ パリティ検査行列が ０１１ １０１ であるとする。 シンドロームの上のビットは、 符號語の２ビット目と３ビット目の和である。 また、下のビットは、 符號語の１ビット目と３ビット目の和である。 これらの考察に注意すれば、 CNOT回路により実現可能。 シンドロームは符號語の部分和 ( ) 29 シンドロームを求めよ パリティ検査行列が ０１１ １０１ であるとする。 この時、シンドロームは２ビット。 そこで、各ビットに対し、量子ビットを新たに 加えると良い。符號化された ３量子ビットからなる狀態(tài) |cに対し、 ２量子ビット加えた |c|0|0を用意。 そこで、 CNOTを用いて４量子ビット目を ２，３量子ビットの和を求めさせる。 ５量子ビット目も同様。 シンドロームも情報 ( ) 30 シンドローム パリティ検査行列が ０１１ １０１ であるとする。 対応する古典符號は０００と１１１。 |0 ? |000 , |1 ? |111 a|0 + b|1 ? a|000 + b|111 と符號化。 １量子ビット目にビット反転が起きたとすると、 a|100 + b|011 シンドローム用に２つの量子ビットをつけ加え、 CNOTによりシンドロームを求めると ( a|100 + b|011)|01 後ろの２量子ビットを観測すると、 誤り位置がわかる。 古典誤りを訂正 ( ) 31 量子誤り パリティ検査行列が ０１１ １０１ |0 ? |000 , |1 ? |111 先ほどの符號化は量子誤り訂正符號として十分か？ これはハミング符號の１種であるから、 シンドロームから直ちに誤り訂正できそうだが。 量子誤りとは ( ) 量子符號化の回路もユニタリ変換で書かれることに注意。 また、量子狀態(tài)への誤りも、量子狀態(tài)への操作と考えられる。 つまり、ビット反転以外の誤りも発生する。 32 量子誤り ビット反転はユニタリ変換である。 実際、 0 1 1 0 という形の行列として書ける。 次のユニタリ変換は位相誤りと呼ばれる。 1 0 0 1 ビット反転と位相反転 ユニタリ変換全體が誤りとして発生するため誤りの種類は無限に存在する。 しかし、「ビット誤り」、「位相誤り」、それらの組み合わせが訂正できれば、それ以外のユニタリ変換による誤りも訂正できる。 X=( ) Z=( ) 33 量子誤り |0+|1 ? |000 + |111 と符號化される。 そこで１量子ビット目に雑音として、位相誤り が発生したとすれば、 |000 |111 となるが、シンドロームから誤りが発見できない。 位相反転 問： 実際にシンドロームを計算せよ。 34 量子誤り 古典符號と同様の條件式が得られる。 古典（線形）符號の條件式 誤り eが検出可能 ? eが符號語ではない。 ? e+c ≠ c’ （任意の符號語 c≠c’) 量子符號の條件式 誤り Eが検出可能 ? |cx と E|cy が直交し、 |cx と E|cx の內積は |cy と E|cy の內積に等しい （任意の 直交する符號語 cx≠cy） 誤り検出の條件式 直交するとは、エラーによって他の符號語と被らないという意味。 內積の條件は量子ならではという印象を受ける。 35 ＣＳＳ符號 ＣＳＳ符號 36 量子誤り訂正符號のクラス 符號空間の視點から古典符號を拡張： CSS符號では包含関係のある二つの古典符號が活用される。 つまり、 C2?C1 を用いて、量子符號を構成する。 このときに、それらの雙対符號 C1⊥ ?C2⊥ も重要な役割を果たす。 ビット誤り訂正には C1の役割が大きく、 位相誤り訂正には C2⊥ の役割が大きい。 CSS符號 37 ＣＳＳ符號 雙対符號が位相誤りと関係することを直感的に理解するには、アダマール回路と呼ばれる量子回路を考えると良い。 アダマール回路 Hとは以下の行列で書かれる。 １ １ １－１ 注意：実際にはこれらをルート２で割る。 ビット誤りを X、位相誤りを Z、 アダマール回路を Hとしたとき HH=XX=ZZ=単位行列、 HXH=Z、 などが成り立つ。 ビット誤りと位相誤りを結ぶ回路 ( ) 問： 左の関係式を確かめよ。 38 ＣＳＳ符號 CSS符號の符號語は 符號語 c in C1に対し、 Σ|c + d d : C2 と記述される。つまり、 C1の元と対応する 量子狀態(tài)の和が符號空間を生成する。 この符號語の各量子ビットにアダマール回路を 操作させる。 このとき、 Σ(1) c,d |d d : C2⊥ が従う。 雙対符號とアダマール回路 39 ＣＳＳ符號 以上からアダマール回路を経由することで C1 ? C2⊥ ビット誤り ? 位相誤り と対応できることがわかった。 アダマール回路は連続して操作すると元の狀態(tài)に戻る （ HH=単位行列）。 これは、上の矢印が ?であることだけでなく、 位相誤り訂正の後に、 C1に戻せること、 つまり、符號語に戻せることを意味する。 CSS符號における位相誤りと雙対符號 40 スタビライザ符號 スタビライザ符號 41 スタビライザ符號 スタビライザ符號 パリティ検査行列の代わりにパリティ検査観測を用いる。 パリティ検査観測は、観測を表す行の列で書かれる。 例） ＩＸＸＩＩＩＺ と書いたとき、Ｉ Ｘ Ｘ Ｉ Ｉ Ｉ Ｚ を表す。 Ｉ，Ｘ，Ｚ，Ｙ（＝ＸＹ）で構成された行の 固有値は１もしくは １である。 この固有空間分解に対して観測を行う。 特に、パリティ検査観測の各行は、 互いに可換な行列とする。 これは、固有空間分解が定義できるように したいからである。 ○ ○ ○ ○ ○ ○ 42 スタビライザ符號 パリティ検査行列の一般化 古典誤り訂正符號のパリティ検査行列は ＩとＺのみからなるパリティ検査観測とみなせる。 Ｚの固有ベクトルは |0と |1であり、 Ｉの固有ベクトルは１量子ビットを表す空間全體である。 ０をＩと置き、１をＺと置けば、自然な対応が得られる。 例） 行列 観測 0 1 1 ＩＺＺ 1 1 0 ＺＺＩ 符號語 符號狀態(tài) ０００ |000 と |111の一次結合 １１１ 43 スタビライザ符號 ＣＳＳ符號との対応 ＣＳＳ符號はスタビライザ符號として実現できる。 実際、 Ｃ１のパリティ検査行列をＨ１とし、 Ｃ２ ⊥ のパリティ検査行列をＨ２とするとき、 Ｍ１をＨ１の０ ?Ｉ、１ ?Ｚ Ｍ２をＨ２の０ ?Ｉ、１ ?Ｘ と置くことにより、 ＣＳＳ符號のパリティ検査観測は Ｍ１ Ｍ２ と表せる。 44 ＣＳＳ符號とスタビライザ符號 ＣＳＳ符號 量子暗號のセキュリティを高める効果がある。 とくに、ＣＳＳ符號の元になる古典符號の対が構成