【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的能態(tài)上。如能量低的能態(tài)已經(jīng)填有電子，其他電子就必須填到能量較高的能態(tài)上。所以，在 k空間中，電子從能量最低點(diǎn)開(kāi)始，由低能量到高能量逐層向外填充， 其等能面為球面 ，一直到所有電子都填完為止。由于等能面為球面，所以，在 k 空間中，電子填充的部分為球體 ，稱為 Fermi 球（ Fermi sphere）。 Fermi 球的表面稱為 Fermi 面（ Fermi surface）； Fermi面所對(duì)應(yīng)的能量稱為 Fermi 能（ Fermi energy， EF0）。 于是，可得電子的分布函數(shù)： f(E) = { 1 E ? EF0 0 E EF0 222FFkEm?022 FFmEk ?—— 費(fèi)米波矢 Fermi wave vector FFPk?—— 費(fèi)米動(dòng)量 Fermi momentum FFkvm?—— 費(fèi)米速度 Fermi velocity E EF0 0 1 f(E) T＝ 0 —— 費(fèi)米能Fermi energy —— 費(fèi)米溫度 （ Fermi temperature) FFBETk?003()2F FnNEE?—— 費(fèi)米面的態(tài)密度 0 K時(shí)系統(tǒng)單位體積的總能量： ? ?00350220 002d d ( )5FFEEFU E N E E C E E C E? ? ???0035 FU n E?代入費(fèi)米能表達(dá)式后，有： 每個(gè)電子的平均能量是： 0035 FuE? 顯然，即使在絕對(duì)零度，電子仍有相當(dāng)大的平均能量 （平均動(dòng)能）， 這與經(jīng)典結(jié)果是截然不同 的。根據(jù)經(jīng)典理論，電子 的平均動(dòng)能為： ，當(dāng)溫度 T→0K 時(shí)，應(yīng)為零。而根據(jù)量子理論，電子分布必須服從泡利原理，即使在絕對(duì)零度也不可能所有電子都處于最低能量狀態(tài)，計(jì)算表明， T→0K 時(shí)電子仍有驚人的平均速度， 610 m /sv3 / 2BkTNVk F ?????????????????338342??自旋因子 k空間費(fèi)米球體積 k空間態(tài)密度 電子數(shù) T = 0K時(shí)費(fèi)米能計(jì)算 方法一： 323FNknV ???? ? 12 33Fkn??? ? 22 2 202 3322FF kEnmm ???方法二： 半徑為 k 的球體內(nèi)的狀態(tài)總數(shù)： 334 π8π 3V k單位體積 k→ k+dk 球殼內(nèi)的狀態(tài)數(shù)： 221( ) d2 πg(shù) k k k?因此有： 23220011( ) d d2 6 2FFkkFng k k k k k??? ? ???? ? 12 33 πFkn??二維情形 ：半徑為 k的圓環(huán)內(nèi)的狀態(tài)數(shù)： ? ? 222S k??單位面積圓殼內(nèi)的狀態(tài)數(shù)： ? ? d2kkgk??? ? 20 d 42Fk Fkng k k ???? ? ? 122Fkn??方法三： 在 E－ E＋ dE中的電子數(shù)為： dn＝ f(E)N(E)dE 系統(tǒng)單位體積的自由電子總數(shù)為 ? ? ? ?0n f E N E d E?? ?T＝ 0 ? ?00FEN E d E? ? ?03122 0023FEFC E d E C E???? ? ? ?32 3202323 Fm E??? ? 2320232FEnm ?? ?費(fèi)米面處態(tài)密度 的推導(dǎo)： ? ?331220 0 0 22 2 2 23 2 22 2 2 221 2 1 2()22 21 1 3232FF F FFFFFm m kN E C E Emm m n nkkkkm?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?003()2F FnNEE??? ? 12 33Fkn??這也是一個(gè)十分有用的、應(yīng)當(dāng)記憶的參數(shù) 。 ? ? 112 303 . 6 33/F skn ra??? ? ?804 . 2 0 1 0 cm / s/FF skm r a???? ? ? ?????? ?220205 0 . 1 eV2 /FFskEm ra??當(dāng) rs/a0=1時(shí)， vF= 108cm/s。但是，在室溫下（ 300K），電子熱運(yùn)動(dòng)速度為 106cm/s。費(fèi)米速度不同于熱運(yùn)動(dòng)速度 對(duì)于金屬： n： 1022 ~ 1023 cm－ 3 ， 所以 ~ 幾個(gè) eV 0FE? ?04205 8 . 2 1 0 K/FFB sETk ra? ? ?一般情形下，金屬的費(fèi)米溫度為幾萬(wàn)度以上。 重要數(shù)值： 四 . T 0K 時(shí)電子的分布及激發(fā)態(tài)能量： 當(dāng) T 0時(shí)，電子熱運(yùn)動(dòng)的能量~ kBT，在常溫下 kBT EF0 。 因此，只有費(fèi)米面附近的電子才能被激發(fā)到高能態(tài)，即只有 ?E－ EF0 ? ~ kBT的電子才能被熱激發(fā)，而能量比 EF0低幾個(gè) kBT的電子則仍被 Pauli 原理所束縛，其分布與 T＝ 0K 時(shí)相同。 右圖說(shuō)明：處于費(fèi)米海深處的電子在熱激發(fā)下得不到足夠的能量躍遷到空態(tài)，因此不受熱激發(fā)的影響。 對(duì)于金屬而言，由于 T TF 總是成立的，因此，只有費(fèi)米面附近的一小部分電子可以被激發(fā)到高能態(tài)，而離費(fèi)米面較遠(yuǎn)的電子則仍保持原來(lái)（ T＝ 0）的狀態(tài)，我們稱這部分電子被“冷凍”起來(lái)。因此，雖然金屬中存在著大量的自由電子，但是， 決定金屬許多性質(zhì)的并不是其全部的自由電子，而只是在費(fèi)米面附近的那一小部分電子。 正因?yàn)檫@樣， 對(duì)金屬費(fèi)米面的了解就顯得尤為重要。 這個(gè)結(jié)論完全推翻了經(jīng)典電子論的觀點(diǎn)，我們必須理解和認(rèn)同，因?yàn)樵诮饘傩再|(zhì)的研究中，這是最基本、最重要的出發(fā)點(diǎn)。 電子熱容為什么很小？哪些電子參與導(dǎo)電？ (1) 電子的共有化運(yùn)動(dòng) + 原子的能級(jí)（電子殼層） + + 能帶理論 一 . 原子的能級(jí) + + + + + + 原子結(jié)合成晶體時(shí)晶體中電子的共有化運(yùn)動(dòng) 電子共有化運(yùn)動(dòng) 晶體中原子能級(jí)上的電子不完全局限在某一原子上，可以由一個(gè)原子轉(zhuǎn)移到相鄰的原子上去，結(jié)果電子可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)。 電子共有化的原因：電子殼層有一定的交疊，相鄰原子最外層交疊最多，內(nèi)殼層交疊較少。 注：電子在各原子中相似殼層間運(yùn)動(dòng)，且最外電子殼層共有化顯著。 當(dāng)兩個(gè)原子相距很遠(yuǎn)時(shí)，每個(gè)能級(jí)都有兩個(gè)態(tài)與之相應(yīng)是二度簡(jiǎn)并； 當(dāng)原子相互靠近時(shí)，每個(gè)原子中的電子除受本身原子的勢(shì)場(chǎng)作用外，又受到另一原子的勢(shì)場(chǎng)作用； 結(jié)果：二度簡(jiǎn)并的能級(jí)分裂為彼此相距很近的能級(jí)，原子靠的越近，分裂越厲害。 (2) 原子的能級(jí)分裂 孤立原子的能級(jí) 2p 2s 1s n=1 n=2 原子間距 電 子 能 量 能級(jí)分裂 2p 2s 1s n=1 n=2 電 子 能 量 分裂的能級(jí)數(shù)計(jì)算： 兩個(gè)原子組成晶體時(shí)， 2s能級(jí)分裂為二個(gè)能級(jí)； 2p能級(jí)本身是三度簡(jiǎn)并，分裂為六個(gè)能級(jí)。 能帶 原子能級(jí) 原子軌道 禁帶 禁帶 允 帶 原子能級(jí)分裂為能帶 由 N個(gè)原子組成晶體時(shí)： 允帶 每一個(gè) N度簡(jiǎn)并的能級(jí)都分裂成彼此相距很近的能級(jí)，這 N個(gè)能級(jí)組成一個(gè)能帶。 禁帶 允帶之間沒(méi)有能級(jí)的帶。 共有化狀態(tài)數(shù) 每一個(gè)能帶包含的能級(jí)數(shù)。與孤立原子的簡(jiǎn)并度有關(guān)。 s能級(jí)分裂為 N個(gè)能級(jí)（ N個(gè)共有化狀態(tài)） ； p能級(jí)本身是三度簡(jiǎn)并，分裂為 3N 能級(jí)。 特例：許多實(shí)際晶體能帶與孤立原子間對(duì)應(yīng)關(guān)系很復(fù)雜。 金剛石、硅、鍺價(jià)電子雜化形成的能帶 2N個(gè)態(tài) 0個(gè)電子 2N個(gè)態(tài) 4N個(gè)電子 滿帶 或價(jià)帶 空帶或?qū)? 禁帶 2s和 2p分裂的兩個(gè)能帶 二 . 晶體中電子狀態(tài)與能帶 自由電子 孤立原子中的電子 晶體中的電子 不受任何電荷作用 （勢(shì)場(chǎng)為零） 本身原子核及其他 電子的作用 嚴(yán)格周期性