基于多項式插值與三次樣條插值曲線擬合的比較(編輯修改稿)
2025-02-14 14:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ()就稱n+1個n次多項式上的n次插值基函數(shù)。所以拉格朗日插值多項式公式 (X)= ()其中(x)=（x）(x)…(x), ()=() …()()…()二 三次樣條插值 在機械領(lǐng)域早期工程師制圖時，把富有彈性的細長木條(所謂的樣條)用壓鐵固定在樣點上，在其他地方讓它彎曲，然后延木條畫下曲線，稱為樣條曲線樣條曲線實際上是由分段三次曲線并接而成在連接點即樣點上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。定義:函數(shù)S(x)∈[a,b] ，且在每個小區(qū)間[ ,+1 ]上是三次多項式，其中a =... = b 是給定節(jié)點，則稱S(x)是節(jié)點,...上的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點上給定函數(shù)值= f ().( j =0, 1, , n) ，并成立S() = .( j= 0, 1, , n) ， ()則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。由于插值節(jié)點有n+1個，故得到n個小區(qū)間，而每個小區(qū)間上要求一個三次多項式，每個區(qū)間需要4個條件，所以要確定樣條函數(shù)S，共需要4n個條件。在插值節(jié)點上，S() = f(),j = 0,1,2,...,n,得到n+1個條件，在j = 1,2,...,n1,由S，S的一階導(dǎo)數(shù)，S的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)可以得到3(n1)個條件，所以總共得到了，4n2個條件，要確定S還需要兩個條件。就是通常所說的邊界條件。常見的有一下3種：(1) 已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即 (2)兩端的二階導(dǎo)數(shù)已知，即 特殊情況為 此式稱為自然邊界。（3）當f(x)是以為周期的周期函數(shù)時，則要求S(x)也是周期函數(shù)這時邊界條件贏滿足此時（）式中。這樣確定樣條函數(shù)S(x)稱為周期樣條函數(shù)。 第二章 曲線擬合問題 X 0 1 4 9 16 25 36 49 64 Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8下列數(shù)據(jù)點的插值：可以得到平方根函數(shù)的近似，[0,64]上作圖。（1） 用這9個點做8次多項式插值(X)；（2） 用三次樣條（第一邊界條件）程序求S(x).（3） 從得到結(jié)果看[0,64]上，那個插值更準確；在區(qū)間[0,1]上兩種插值那個更準確？
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