【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。 但到目前為止，還 沒(méi)有找到對(duì)所有圖像來(lái)說(shuō)都 是 最優(yōu)的小波基， 因此尋找適合所有圖像的最優(yōu)基是一個(gè)很有價(jià)值的研究課題 。因?yàn)樾〔ㄗ儞Q是 基于 小波變換 的 圖像壓縮方法中十分關(guān)鍵的一步，變換后產(chǎn)生的小波系數(shù)直接影響到后繼 一系列 操作 問(wèn)題 。 但是，并非所有的小波基都適用于圖像壓縮，小波函數(shù)的線性相位 、 緊支集 、正交 性 、消失矩、平滑特性 等對(duì)圖像的壓縮效果有很重要的影響。已經(jīng)證明同時(shí)具備線性相位、緊支集 、正交 性 三種性質(zhì)的實(shí)小波，只有 Haar 小波，可 是 Haar 小波的光滑性很 不好 ，不適合 于 處理圖像。在實(shí)際應(yīng)用中，常放棄正交性條件，選擇使用雙正交小波。 而 小波基 所 對(duì)應(yīng)的濾波器的性質(zhì)與圖像壓縮有著 十分 重要關(guān)系 ,主要涉及到以下幾個(gè)方面 : （ 1） 快速計(jì)算 與基函數(shù)的內(nèi)積計(jì)算快速 ,從而保持信號(hào)展開的低復(fù)雜度 。 (2) 快速疊加 與基函數(shù)的疊加鄉(xiāng)保持重構(gòu)的低復(fù)雜度 (3) 良好的時(shí)間和空間局部化 使我們能夠確定信號(hào)的主要成分 。 （ 4） 良好的頻率局部化 使我們能夠識(shí)別信號(hào)的振蕩 。 (5)獨(dú)立性 使我們不需要太多的基元素 ,即可匹配信號(hào)的同一成分 表 小波基所對(duì)應(yīng)的濾波器的性質(zhì)與圖像壓縮的關(guān)系 雖然任何實(shí)正交的小波所對(duì)應(yīng)的濾波器均可以實(shí)現(xiàn)圖像的合成與分解，可是并不是所有的分解均可以滿足我們的要求。對(duì)于同一副圖像而言，用不同的小波基來(lái)分解所得到的壓縮數(shù)據(jù)是不同的， 我們希望經(jīng)小波分解后的得到的三個(gè)方向的細(xì)節(jié)分量具有高度的局部相關(guān)性 ,而整體相關(guān)性大部分甚至完全被解除 ，所以小波基的選取就十分重要。 [6]馮偉光 小波基的選取要考慮以下幾個(gè)因素： （ 1）緊支 集 性 如果尺度函數(shù)和小波函數(shù)是緊支撐的，則對(duì)應(yīng)的 H,G濾波器是有限沖擊響應(yīng)（ FIR）濾波器，信號(hào)在分解和重構(gòu)快速算法中的運(yùn)算量是有限的。該特征也決定了小波的時(shí) 頻局部化特征，緊支寬度越窄，小波的局部化特性越好，緊支撐小波避免了濾波過(guò)程中的截?cái)嗾`差，因此應(yīng)用精度很好。但是一個(gè)函數(shù)不可能在時(shí)域和頻域都是緊支的，最多有一個(gè)是緊支的，另一個(gè)是急衰的，一般希望小波基能夠在時(shí)域上具有緊支性。 （ 2）對(duì)稱性 對(duì)稱濾波器組在圖像重建中更為有利，這有兩點(diǎn)原因： 附近的對(duì)稱的量化誤差較非對(duì)稱的誤差更為不敏感； 特性與小波的對(duì)稱性是等價(jià)的。對(duì)圖像進(jìn)行小波變換時(shí)，需要對(duì)圖像的邊界數(shù)據(jù)進(jìn)行周期延拓，對(duì)于線性相位的小波基，通過(guò)周期延拓，重建信號(hào)在邊界處不會(huì)產(chǎn)生較大失真，而對(duì)于非線性相位的小波基，邊界數(shù)據(jù)失真則比較明顯，會(huì)導(dǎo)致巨大的感官誤差。 （ 3）正交性和雙正交性 正交小波對(duì)應(yīng)一個(gè)正交鏡像濾波器組，即低通濾波器和高通濾波器正交。Daubechies已證明，除 Harr小波外，一切具有緊支集的規(guī)范正交小波基及與之相關(guān)的尺度函數(shù)都不可能以實(shí)軸上的任何點(diǎn)為對(duì)稱軸或反對(duì)稱軸。也就是說(shuō)，除 Harr小波基外，其他的 小波函數(shù)無(wú)法同時(shí)滿足緊支性、正交性和對(duì)稱性。但是 Harr小波基的局部化性能很差，很少用于實(shí)際應(yīng)用。 為了獲得線性相位（對(duì)稱性），需要放松對(duì)正交性的限制，分解和合成過(guò)程使用不同的濾波器，從而獲得更大的設(shè)計(jì)自由度，克服上述缺點(diǎn)。與單正交小波不同，雙正交小波基有兩個(gè)尺度函數(shù)和兩個(gè)小波函數(shù)構(gòu)成。雙正交小波降低了對(duì)正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波獲得了線性相位和較短支集的特性。 （ 4）正則性 正則性是對(duì)函數(shù)光滑程度的一種描述，也是函數(shù)頻域能量集中度的一種度量。 （ 5）消失矩 消失矩的大小決定了小波逼 近光滑函數(shù)的收斂率。當(dāng)圖像光滑時(shí)，濾波器的消失矩越大，產(chǎn)生的小波變換系數(shù)越小，及小波變換后的能量越集中于低頻分量，因而更有利于圖像的壓縮。 EZW 編碼方法 EZW編碼方法的全稱是 用小波系數(shù)的零樹進(jìn)行嵌入式編碼，是 1993 年由美國(guó)學(xué)者 Shapiro 提出的。 EZW算法采用 零樹 結(jié)構(gòu)的 形式 來(lái) 進(jìn)行掃描 ,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)小波有效系數(shù) 的組織，利用不同頻率子帶系數(shù)間的相似特性取得了較好的效果。雖然用很少的壓縮位對(duì)大量的零進(jìn)行編碼，但是有效的省去了對(duì)高頻小波系數(shù)的編碼，極大的提高了編碼效率，可是它對(duì)圖像小波變換系數(shù)的特點(diǎn)應(yīng)用的不夠充分。 EZW 編碼方法的基本思想 EZW算法采用零樹量化的方法。 零樹 是指 :對(duì)于給定的閾值 T,樹的根節(jié)點(diǎn)及其所有子 節(jié)點(diǎn)、 孫節(jié)點(diǎn)的系數(shù)值均是無(wú)效值 ,根節(jié)點(diǎn)稱為零樹根 。 一個(gè)零樹或 者 零樹根指的是該根節(jié)點(diǎn)起始的一裸樹是零樹 ,同時(shí) ,要求 該零樹不是一裸更大零樹的子集 ,即 若某節(jié)點(diǎn)是零樹根節(jié)點(diǎn) ,它的父節(jié)點(diǎn)一定不是零樹根 。零樹量化算法的 思想是在量化小波系數(shù) 的時(shí)候 采用了零樹 的 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 。 如 圖 4的樹 。 一幅經(jīng)過(guò)小波變換的圖像按其頻帶從低到高形成一個(gè)樹狀結(jié)構(gòu) ,樹根是最低頻子帶的結(jié)點(diǎn) ,它有 3個(gè)孩子分別位于 3個(gè)次低頻子帶的相應(yīng)位置 ,其余子帶 (最高頻子帶除外 )的結(jié)點(diǎn)都有4個(gè)孩子位于高一級(jí)子帶的相應(yīng)位置 (由于高頻子帶分辨率增加 ,所以一個(gè)低頻子帶結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)有四個(gè)高頻子帶結(jié)點(diǎn) ,2x2矩陣 )。 [7曹婧 ] 圖 三級(jí)小波變換的空間頻率樹結(jié)構(gòu) 圖 具有三級(jí)尺度的小波變換系數(shù)的掃描順序 EZW 算法實(shí)現(xiàn)的一般步驟 EZW實(shí)現(xiàn)時(shí) ,首先進(jìn)行 9抽頭對(duì)稱 正交鏡像濾波器 (QMF)的 小波變換 。 對(duì)門限值重復(fù)主循環(huán) ,在每次 迭代后門限值減半 。 門限用于計(jì)算 非顯著和 顯著小波系數(shù)的顯著性圖 ，利用零樹用 一種有效的方法來(lái)表示顯著性圖 。 編碼主要分為副通和主通倆個(gè)過(guò)程。在主通過(guò)程中在給定的閾值條件下，對(duì)主表進(jìn)行掃描編碼，如果是重要系數(shù)就將其幅值放入副表之中， 然后將該系數(shù)在數(shù)組中置 數(shù) 為零 ,防止在閾 值減小時(shí) ,該系數(shù)影響新零樹的出現(xiàn) ，而 在副通過(guò)程中 ,對(duì) 要 副表中的重要系數(shù)進(jìn)行細(xì)化 。 其主要步驟可以歸納如下： （ 1）初始化：規(guī)定閾值 T為大于 ( , ) ( , )max | | /2i j i jc 的最小 2的整數(shù)次冪，在此之后，每掃描一次閾值就會(huì)減小 1/2， (,)ijc 是小波系數(shù)。 （ 2）主掃描：按照?qǐng)D 的掃描順序進(jìn)行掃描，把小波系數(shù)和閾值 T 進(jìn)行比較，如果 ( , )||ijcT? 則就輸出一個(gè)符號(hào)，并且用一個(gè)主掃描表來(lái)記錄這些輸出符號(hào)。 （ 3）輔掃描：對(duì)主掃描表開始順序掃描，并對(duì)其中輸出符號(hào)為 NEG 或者 POS的小波系數(shù)進(jìn)行量化。 為了細(xì)化系數(shù) ,將顯著系數(shù)的 二進(jìn)制表示多送出 一 位 。當(dāng)解碼器受到這 1位后 ,但當(dāng)前系數(shù)值增加 。 （ 4）重新排序： 為方便 設(shè)置下一次掃描 時(shí)所需要 的量化間隔 ,以 便 提高解碼的精度 ,對(duì)輸出符號(hào)為 NEG或 POS的數(shù)據(jù)重新排序 。 （ 5） 輸出編碼信號(hào) :編碼器輸出兩類信息 ,第一類是 給編碼器的信息 ,包括閾值、主掃描 表與 輔掃描表 。第二類是 可 用于下次掃描的信息 ,包括閾 值 以 及第 （ 4）步中重新排序過(guò)的重要系數(shù)序列 。 (6) 如果主掃描表還沒(méi) 消失 ,將闡值 T降低 1/2,如果需要更多的迭代 ,則 就要 回到第 （ 2） 步 。 SPIHT 編碼方法 SPIHT 編碼方法的原理 Shapiro 首次提出了二維圖像的小波零樹嵌入編碼（ EZW）算法，后來(lái)，由Said和 Pearlman 在 EZW算法的基礎(chǔ)之上給出了更為精細(xì)的多級(jí)樹集合分列排序（ SPIHT）的小波零樹嵌入編碼算法。它是 為 了實(shí)現(xiàn) 最佳漸進(jìn)傳輸與壓縮 而 設(shè)計(jì) 出來(lái) 的 。它的一個(gè)重要特點(diǎn)是在圖像解碼的任何 時(shí)刻 ,所顯示 出的圖像質(zhì)量都是現(xiàn)在 解 碼器輸入位數(shù)所能獲得的最優(yōu) 者 。 這些算法的主要思想是利用原始信號(hào) 在各個(gè)尺度 下小波變換系數(shù)的自相似性 ，優(yōu)先傳送絕對(duì)值較大的小波系數(shù)。編碼時(shí)采用 2倍遞減的多級(jí)門限值，在各比特平面上進(jìn)行孤立系數(shù)和零樹的判決。編碼過(guò)程可以在任何時(shí)刻終止 ， 并且能夠提供在給定比特率下圖像的最佳重構(gòu)。 SPIHT的空間方向樹如圖所示： 圖 SPIHT 中的空間方向樹 由空間方向樹的結(jié)構(gòu)示意圖我們可以知道，在于零樹結(jié)構(gòu)相比時(shí)，這種空間方向樹的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)不僅充分利用 了 不同尺度間 小波系數(shù)的相關(guān)性 ,也對(duì)同一尺度下 小波系數(shù)的相關(guān)性做了充分考慮 ,從而更有效的組織了小波系數(shù) 。 SPIHT算法也采用比特平面的編碼技術(shù) ,不但在編碼效率上比 EZW算法 有很大提高 ,同 時(shí)還保留了 EZW算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單 ,碼流具有嵌入式等人們感興趣的特點(diǎn) 。 [8 曹婧 ] 為了便于描述 SPIHT 算法，先規(guī)定幾個(gè)用于方向樹劃分的集合。 (, )Oi j 位于 (, )ij 位置的小波變換系數(shù)的子女坐標(biāo)集合。由于在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)一個(gè)系數(shù)可能有四個(gè)子女或者沒(méi)有子女，所以 (, )Oi j 的大小可以是 4或者 0。在圖 b的子女為 1 2 3 4( 0 , 1 ) { ( ) , ( ) , ( ) , ( ) }o p b p b p b p b? ，其中 ()ipb 為 ib 的坐標(biāo)。 (, )Di j 位于 (, )ij 位置的小波變換系數(shù)的所有子孫坐標(biāo)合集。在圖 中，系數(shù) b的所有子孫坐標(biāo)集合為 1 4 1 1 4 4( 0 , 1 ) { ( ) , , ( ) , ( ) , , ( ) }D p b p b p b p b? 。 (, )Li j 位于 (, )ij 系數(shù)的所有子孫坐標(biāo)集合，但去掉它的直接子女集合。即： ( , ) ( , ) ( , )L i j D i j O i j?? 在圖 ， 11 12 44( 0 , 1 ) { ( ) , ( ) , , ( ) }L p b p b p b? 。 H 一切根節(jié)點(diǎn)的集合。在圖 H就是子帶 LL2。 除此之外 ,在 SPIHT 編碼過(guò)程中 ,為了控制集劃分過(guò)程與 有效值細(xì)化過(guò)程 ,還需要添加如下的 三個(gè)輔助表 : （ 1） LIP表： 不顯著系數(shù)表 ,其間 的坐標(biāo)代表 著 單個(gè)系數(shù) ,用最低頻子帶系數(shù) 來(lái)初始化 ； （ 2） LSP表： 顯著系數(shù)表 ,其間 的坐標(biāo)代表 著 單個(gè)系數(shù) ,初始化為空表 ； （ 3） LIS表： 系數(shù)的不顯著集合表 ,每個(gè)記錄都是坐標(biāo) (, )ij 形式 ,包括類型 A或者 類型 B的系數(shù)的不顯著集合的根的坐標(biāo) ， 它代表一個(gè)集合(, )Li j 或 (, )Di j ， (, )Oi j 稱為類型 A 表項(xiàng) , (, )Li j 稱為類型 B 表項(xiàng) ,用每一個(gè)空間方向樹的根節(jié)點(diǎn)來(lái) 進(jìn)行 初始化 。 SPIHT 算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程 通過(guò)以上的分析， SPIHT 算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程可以用以下方法來(lái)描述 ： 第一步：算法的初始化。輸出2 ( , ) ,lo g (m a x { })i j i jnX?；將 LSP設(shè)置為空表，將(, )i j H? 加入到 LIP中， (, )i j H? 有子孫項(xiàng)的加入到 LIS中，并作為 (, )Di j 類集合。 H所有根節(jié)點(diǎn)的集合。 第二步：分類掃描過(guò)程。 （ 1） 對(duì) LIP 的每個(gè)記錄 (, )ij 進(jìn)行如下處理 : ○ 1 輸出 (, )nS i j ； ○ 2 假如 ( , ) 1nS i j ? ，將 (, )ij 移到 LSP，并且輸出 ,ijX 的符號(hào)位。 （ 2）對(duì) LIS 的每個(gè)記錄 (, )ij 進(jìn)行如下處理： ○ 1 假如這個(gè)記錄代表一個(gè) A類集合就進(jìn)行以下處理： 1）輸出 ( ( , ))nS Di j ； 2）假如 ( ( , )) 1nS D i j ? ，則 ）對(duì)每一個(gè) ( , ) ( , )k l O i j? 進(jìn)行如下的處理： ）輸出 ( , )nS kl ； ）假如 ( , ) 1nS k l ? ，將 (,)kl 加入到 LSP，并且輸出 ,klX 的符號(hào)位； ）假如 ( , ) 0nS k l ? ，將 (,)kl 加入到 LIP。 ）假如 (, )Li j 不是空集合，將 (, )ij 加入到 LIS的尾部，并且要標(biāo)明它是 B類集合，轉(zhuǎn)到（ 2） ○ 2 ；如果 (, )Li j 是空集合，將 (, )ij 從LIS中移除。 ○ 2 假如這個(gè)記錄代表一個(gè) B類集合，則： 1）輸出 ( ( , ))nS Li j ； 2）假如 ( ( , )) 1nS L i j ? ，則： ）將每個(gè) ( , ) ( , )k l O i j? 加入到 LIS 尾部，并且標(biāo)記為 A類集合； ）從 LIS 中移除 (, )ij 項(xiàng)。 第三步：對(duì) LSP之中的每一項(xiàng) (, )ij ，然后輸出 ,ijX 的第 n個(gè)最高有效位。 第四步： n=n1，然后返回第二步。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及結(jié)論 小波變換的作用 就 是 要 對(duì)圖像進(jìn)行多分辨率分解 ,即 把原始圖像分解為 不同空間 、 不同頻率的子 代 圖像 ,這些圖像實(shí)際上是由 小波變換后產(chǎn)生的系數(shù) 而 構(gòu)成的 ,對(duì)一個(gè)原始圖像 要 進(jìn)行 3級(jí)小波分解的例子 可以 如圖 ,每一級(jí)分解都 會(huì) 把圖像分解成 4種 不同空間 ,不同頻帶的子 代 圖像。 圖 原始圖像與三級(jí)小波分解 從圖中可以看出來(lái)，如果分解級(jí)數(shù)越多，那么圖像的分辨率等級(jí)也就越多，每一級(jí)分解 ,都 將 使圖像的分辨率 降為前一級(jí)的 1/2。第一層包含了圖像的細(xì)節(jié)特性，也稱為 高分辨率或者高頻小波系數(shù)。而 上面 的一層 是圖像的粗略特