【文章內(nèi)容簡介】 ??????????1 10 00 22)(m mtjmmmtjmmm ejbaejbaatf ??經(jīng)過系數(shù)變換： 00 aC ? 2/)( mmm jbaC ???代入（ 1）式： ??????1000 )s i nc os()(mmm tmbtmaatf ??可以導(dǎo)出復(fù)指數(shù)形式的展開式 dtetfTC tjmT Tm 0)(1 2/ 2/ ?????則： ,. ..2,1,0 ???m*2/)(2/)( mmmmmm CjbajbaC ????? ???傅里葉級數(shù)的復(fù)振幅 傅氏級數(shù)： ??????1000 )s i nc os()(mmm tmbtmaatf ??可以寫成： ??????mtjmm eCtf 0)(?也可以寫成： ??????100 )c os (2)(mmm tmCCtf ??傅氏級數(shù)三種表現(xiàn)形式 此式物理意義比較明顯 ， 它表示周期信號可以分解為頻率從 0到無窮的各種諧波分量 。 直流分量為 ， m次諧波的振幅為 ， 相位角為 。 0CmC2 m?例 求圖示信號的傅里葉級數(shù)展開式 。 of ( t )tT2T 2 T－ T T2－E周期矩形脈沖信號可表示為無窮多個正弦分量之和。 周期信號頻譜的特點 ??????0)(Etf22,222TttTt??????????當(dāng)當(dāng) 周期矩形脈沖信號 o tT2T 2 TT2－τ2τ2－－ TEf ( t )Fn?TE ?? 3 ?2 ??4 ??o周期矩形脈沖信號的頻譜 dtetfTCF tjnTTmn?????? )(1 2/2/?????? ??? ???? TdtEeT tjn ??? 21 2/ 2/? ?,....2,1,02 2s i n ???? ??? nn nTE ? ??Fn?TE ?? 3 ?2 ??4 ??o此周期信號頻譜具有以下幾個特點： 第一為離散性，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連續(xù)譜或離散譜。 第二為諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率Ω的整數(shù)倍頻率上，即含有 Ω的各次諧波分量，而決不含有非 Ω的諧波分量。 第三為收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨 nΩ的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著 nΩ 的增大而逐漸減小。 當(dāng) nΩ→∞ 時， |Fn|→0 。 周期矩形脈沖信號含有無窮多條譜線，也就是說，周期矩形脈沖信號可表示為無窮多個正弦分量之和。在信號的傳輸過程中，要求一個傳輸系統(tǒng)能將這無窮多個正弦分量不失真地傳輸顯然是不可能的。實際工作中，應(yīng)要求傳輸系統(tǒng)能將信號中的主要頻率分量傳輸過去，以滿足失真度方面的基本要求。周期矩形脈沖信號的主要能量集中在第一個零點之內(nèi)， 因而，常常將 ω=0~ 這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號的頻帶寬度。記為 ??2)/(2 sr adB ??? ?f ( t )to τ2T( a )FnEo ?52 ?T? ＝f ( t )to T( b )Eo ?10FnEEτ2－τ2－τ22 T2 ??2 ?T? ＝2 ????4 ??4 ??τ=T/5 不同 τ (a) τ=T/5。 (b) τ=T/10 f ( t )toτ2－τ2T( a )FnE2 ?o?5?4 ??2 ?T? ＝f ( t )toτT( b )Eo?102 ?FnEEτ???? ? dTeCtf tjmTt0l i m21)(?????????TT/20 ?? ?對于非周期信號，我們可以看作是周期信號在周期為 時的極限形式。此時，相鄰諧波的角頻率間隔 為無窮小量。離散頻譜變成連續(xù)頻譜，傅立葉級數(shù)則變成了傅氏積分。即 ： T/20 ?? ? ??T 00 ??? ????? ? dTT ??? ??? 000l i m/2l i m 0?m式中 ，當(dāng) 時，相鄰兩個頻率的間隔 即 ， 可以用連續(xù)變量表示，上式可以改寫成積分形式 tjmmmTT eCtf0l i m)( ?????? ?????????mtjmm eCtf 0)(?令 ，則有 由前定義： 可得： 上兩公式構(gòu)成了傅氏變換和反變換 TCF mTT ??? l i m)(???? ? dejFtf tj)(2 1)( ? ????dtetfTC tjmT Tm 0)(1 2/ 2/ ????? , . . .2,1,0 ???mdtetfjF tj ?? ?????? )()()()( ?jFtf ?例： 圖 (a)所示矩形脈沖函數(shù) 。 其寬度為 τ， 高度為1， 通常用符號 gτ(t)來表示 。 試求其頻譜函數(shù) 。 F ( j ? )??2 ??4 ??2 ??－4 ??－( b )og?( t )tτ2τ2－1( a )F ( ? )??2 ??4 ??( c )2 ??－4 ??－o (? )??2 ??4 ??( d )2 ??－4 ??－o－ ??o解： 函數(shù) gτ(t)可表示為 dtedtetfjF tjtj ????? ????????? ?? 1)()( 22? ? ??????????? ?22s i n222 ???????????Saj eejjF ( j ? )??2 ??4 ??2 ??－4 ??－( b )og?( t )tτ2τ2－1( a )F ( ? )??2 ??4 ??( c )2 ??－4 ??－o (? )??2 ??4 ??( d )2 ??－4 ??－o－ ??oF ( j ? )??2 ??4 ??2 ??－4 ??－( b )og?( t )tτ2τ2－1( a )F ( ? )??2 ??4 ??( c )2 ??－4 ??－o ( ? )??2 ??4 ??( d )2 ??－4 ??－o－ ??o幅度譜 相位譜 F ( j ? )??2 ??4 ??2 ??－4 ??－( b )og?( t )tτ2τ2－1( a )F ( ? )??2 ??4 ??( c )2 ??－4 ??－o (? )??2 ??4 ??( d )2 ??－4 ??－o－ ??o頻譜 例 ： 求指數(shù)函數(shù) f(t)的頻譜函數(shù)。 ???????0)(atetf 00??tt )0( ??F ( ? )?( b )o t1( a )o?1f ( t )e － ? t ( ? ＞ 0)F ( ? )?( b )o t1( a )o?1f ( t )e － ? t ( ? ＞ 0) 幅度譜 ajtjtjttjeajjedteedtetfjF????????????a r c t a n220)(11)()()(?????????????????????? ??221)(?????F單位沖激函數(shù) δ(t)的頻譜函數(shù) 。 1)()( ?? ????? dtetjF tj ???可見 ， 沖激函數(shù) δ(t)的頻譜是常數(shù) 1。 也就是說 ， δ(t)中包含了所有的頻率分量 ， 而各頻率分量的頻譜密度都相等 。 F (j ? )?of ( t )t( a )o1( b )? ( t )??? ? det tj? ???? 12 1)(傅里葉變換的性質(zhì) 1. 若 ),()(),()(2211 ?? jFtfjFtf ??且設(shè) a1, a2為常數(shù)，則有 )()()()( 22112211 ?? jfajfatfatfa ???傅里葉變換的性質(zhì) 2. 時移性 若 f(t) ←→ F(jω)， 且 t0為實常數(shù) (可正可負(fù) )， 則有 0)()( 0 tjejFttf ?? ???此性質(zhì)可證明如下 dtettfttfF tj ?????? ??? )()]([ 00)()()()]([000 )(0????????jFedtefedtefttfFtjtjtjttj?????????????????傅里葉變換的性質(zhì) 3. 頻移性 此性質(zhì)可證明如下 傅里葉變換的性質(zhì) 4. 尺度變換 此性質(zhì)可證明如下 傅里葉變換的性質(zhì) 當(dāng) a0時： 傅里葉變換的性質(zhì) F1( j ? )?( b )f1( t )t01－ 0 . 5( a )o 4 ?0 . 52 ?F2( j ? )?( d )f2( t )t01－ 0 . 2( c )o0 . 2 10 ?－ 10 ?0 . 21信號的尺度變換 傅里葉變換的性質(zhì) 5. 時域卷積 此性質(zhì)可證明如下 傅里葉變換的性質(zhì) 在時域和頻域分析中卷積性質(zhì)占有重要地位 ， 它將系統(tǒng)分析中的時域方法與頻域方法緊密聯(lián)系在一起 。 在時域分析中 ， 求某線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時 ， 若已知外加信號 f(t)及系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t), 則有 )()()( thtftg ?? 在頻域分析中 ， 若知道 F(jω)=F［ f(t)］ ， H(jω)=H［ h(t)］ ， 則據(jù)卷積性質(zhì)可知 )()()]([ ?? jFjHtgF ??6. 時域卷積 此性質(zhì)可證明如下 : 應(yīng)用頻移性質(zhì)，可知 : 傅里葉變換的性質(zhì) 7. 時域積分 傅里葉變換的性質(zhì) 8. 帕塞瓦爾定理 設(shè) , 則 )()( ?jFtf ???? dFdttf 22 )(2 1)( ?? ?????? ??? dFdttfTnTT ???????? 2222 )()(1如果 為電壓和電流， 就是信號在一歐姆電阻上消耗的能量。根據(jù)帕塞瓦爾定理 ，一個能量有限的信號，在時域里計算的能量等于頻域里各頻率分量的能量之和。 )(tf dttf )(2????傅里葉變換的性質(zhì) dttfW )(2????? 一般來說，非周期信號不是功率信號，其平均功率為零，但其能量為有限量，因而是一個能量信號。非周期信號的總能量 W為 非周期信號的帕塞瓦爾定理表明，對非周期信號，在時域中求得的信號能量與頻域中求得的信號能量相等。由于 2)( ?jF 是 的偶函數(shù)，因而還可寫為 ???? ??????? ??? 0 222 )(1)(