【文章內(nèi)容簡介】 1F(x)=P(X163。x)= 3163。x1351163。x261 x179。24. 一袋中有51，2，3，4，5，從中隨機地取3個，以X表示取出的3個球中最大號碼，寫出X的分布律和分布函數(shù)。解 依題意X可能取到的值為3，4，5，事件{X=3}表示隨機取出的3個球的最大號碼為3，11=；事件{X=4}表示隨機取出的3個球的最大230。5246。10231。231。3247。247。232。248。230。3246。1180。231。231。2247。247。232。248。=3號碼為4，因此另外2個球可在3號球中任選，此時P(X=4)=；同理可得510230。246。231。231。3247。247。232。248。230。4246。1180。231。231。2247。247。232。248。=6P(X=5)=。10230。5246。231。231。3247。247。232。248。則另兩個球的只能為1號，2號，即P(X=3)=X的分布律為X的分布函數(shù)為0 x313163。x4 1044163。x5101 x179。5F(x)=5. 5次射擊，求擊中目標的次數(shù)X的分布律。解 依題意X服從參數(shù)n=5,p=，因此，其分布律230。5246。k5kP(X=k)=231。231。k247。247。,k=0,1,L,5，232。248。6. 從一批含有到的可能性相等。在下列三種情形下，分別求出直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布律。（1） 每次取出的產(chǎn)品立即放回這批產(chǎn)品中再取下一件產(chǎn)品； （2） 每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中； （3） 每次取出一件產(chǎn)品后總是放回一件正品。解 （1）設(shè)事件Ai,i=1,2,L表示第i次抽到的產(chǎn)品為正品，依題意，A1,L,An,L相互獨立，且P(Ai)=10,i=1,2,L而 13P(X=k)=P1Lk1Ak=P1LPk1()()()230。3246。P(Ak)=231。247。232。13248。k110,k=1,2,L 13即X服從參數(shù)p=P(X=1)=10的幾何分布。 13（2）由于每次取出的產(chǎn)品不再放回，因此，X可能取到的值為1，2，3，4，103180。105,P(X=2)==,1313180。1226 3180。2180。1053180。2180。1180。101P(X=3)==,P(X=4)==.13180。12180。1114313180。12180。11180。10286X的分布律為P(X=1)=（3）X可能取到的值為1103180。1133,P(X=2)==,1313180。13169 3180。2180。12723180。2180。16P(X=3)==,P(X=4)==.13180。13180。13219713180。13180。132197所求X的分布律為7. 設(shè)隨機變量X~B(6,p)，已知P(X=1)=P(X=5)，求p與P(X=2)的值。k6k解 由于X~B(6,p)，因此P(X=6)=231。231。247。247。p(1p),k=0,1,L,6。230。6246。232。k248。由此可算得 P(X=1)=6p(1p)5,P(X=5)=6p5(1p), 即 6p(1p)5=6p5(1p), 解得p=；230。6246。230。1246。230。1246。231。()PX=2=此時，231。2247。247。231。2247。231。2247。232。248。232。248。232。248。262126180。5230。1246。15=180。231。247。=。 2!232。2248。6468. 擲一枚均勻的硬幣4次，設(shè)隨機變量X表示出現(xiàn)國徽的次數(shù)，求X的分布函數(shù)。解 一枚均勻硬幣在每次拋擲中出現(xiàn)國徽的概率為，因此X服從n=4,p=的二項分布，即230。4246。230。1246。230。1246。P(X=k)=231。231。k247。247。231。247。231。247。232。248。232。2248。232。2248。k4k1212,k=0,1,2,3,4由此可得X的分布函數(shù)0， x01， 0163。x1 165F(x)= ， 1163。x216 11， 2163。x3 1615 ， 3163。x4 161， x179。49. 某商店出售某種物品，根據(jù)以往的經(jīng)驗，每月銷售量X服從參數(shù)l=4的泊松分布，問在月初進貨時，要進多少才能以99%的概率充分滿足顧客的需要？解 設(shè)至少要進n件物品，由題意n應(yīng)滿足P(X163。n1),P(X163。n)179。,即 P(X163。n1)=229。P(X163。n)=229。k!n14kk=0n4kk!e4 e4179。k=0查泊松分布表可求得 n=9。10. 有一汽車站有大量汽車通過，在某天該段時間設(shè)X為1000輛汽車中出事故的次數(shù)，依題意，X服從n=1000,p=，即X~B(1000,)，由于n較大，p較小，因此也可以近似地認為X服從l=np=1000180。=，即X~P()，所求概率為P(X179。2)=1P(X=0)P(X=1) 187。1ee0!1!==.11. ，若以X表示試驗者獲得首次成功所進行的試驗次數(shù)，寫出X的分布律。解 設(shè)事件Ai表示第i次試驗成功，則P(Ai)=，且A1,L,An,L相互獨立。隨機變量X取k意味著前k1次試驗未成功，但第k次試驗成功，因此有P(X=k)=P(A1LAk1Ak)=P(A1)LP(Ak1)P(Ak)=12. f(x)= 2x， 0xA0， 其他，試求：（1A；（2）X的分布函數(shù)。解 （1）f(x)成為某個隨機變量的密度函數(shù)必須滿足二個條件，其一為f(x)179。0；其二為+165。A242。165。f(x)dx=1，因此有242。02xdx=1，解得A=177。1，其中A=1舍去，即取A=1。（2）分布函數(shù)F(x)=P(X163。x)=242。165。f(x)dx x242。165。0dx= 242。165。0dx+242。02xdx00xxx0 0163。x1 x242。165。0dx+242。02xdx+242。10dx1x179。1 01x0 = x2 0163。x1 x179。113. X的密度函數(shù)為f(x)=Aex,165。x+165。，求：（1）系數(shù)A；（2）P(0X1)；（3）X的分布函數(shù)。+165。解 （1）系數(shù)A必須滿足242。165。Aexdx=1，由于ex為偶函數(shù)，所以242。165。Ae解得A=； 1211+165。xdx=2242。0Ae+165。xdx=2242。0Aexdx=1 +165。（2）P(0X1)=242。0exdx=242。0exdx=（3）F(x)=242。165。x112f(x)dxx211e1； 2()1xx0242。165。2edx=01xx1xx179。0242。165。2edx+242。02edx1xx0242。165。2edx= 01x1xxx179。0edx+e242。165。2242。02dxx1xx0e= 2 11+1exx179。0221xx0e= 2 1x1ex179。02()14. 證明：函數(shù)xf(x)= ce0x22cx179。0 x0 （c為正的常數(shù)）為某個隨機變量證 由于f(x)179。0，且242。165。f(x)dx=242。165。e+165。+165。xcx22cdx=242。0e+165。x2230。2cd231。231。232。x246。247。=e2c2c247。248。2x2+165。=1， 0因此f(x)滿足密度函數(shù)的二個條件，由此可得f(x)為某個隨機變量的密度函數(shù)。15. 求出與密度函數(shù)0x163。0x2xf(x)= 0x163。2 F(x)的表達式。 解 當x163。0時，F(xiàn)(x)=242。165。f(x)dx=242。165。= x當0x163。2時，F(xiàn)(x)=242。165。f(x)dx=242。165。+=+ x0x 當x2時，F(xiàn)(x)=242。165。++242。20dx=+=1 02x綜合有,1,x163。0。x179。(x)= +0.25x, 0163。x163。2。16. 設(shè)隨機變量X在(1,6)上服從均勻分布，求方程t2+Xt+1=0有實根的概率。 解 X的密度函數(shù)為1, 1x6； 50, 其他. f(x)方程t2+Xt+1=0有實根的充分必要條件為X24179。0，即X2179。4，因此所求得概率為461PX2179。4=P(X163。2或X179。2)=P(X163。2)+P(X179。2)=0+242。2dx=。 55()17. 設(shè)某藥品的有效期X以天計，其概率密度為f(x)= 20000x+1003, x0。0， 其他.求：(1) X(2) 至少有200天有效期的概率。,x0。x解 (1) F(x)=242。165。f(x)dx= x20000 dx,242。0x+1003x179。0.0,x0。10000 = 1,x+1002x179。0.230。100001(2)P(X200)=1P(X163。200)=1F(200)=1231。231。200+1002232。246。1247。= 。 247。9248。18. 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)= 0,1(1+x)ex, x163。0x0求XP(X163。1)和P(X2)。解 由分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)f(x)的關(guān)系，可得在f(x)的一切連續(xù)點處有f(x)=F162。(x)，因此f(x)= x,0, x0其他所求概率P(X163。1)=)=1(1+1)e1=12e1；19. 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=A