lyapunov穩(wěn)定性ppt課件(編輯修改稿)
2025-02-10 04:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 動x(t。x0,t0) 漸進穩(wěn)定受擾運動 x(t。x0,t0) 不穩(wěn)定受擾運動 x(t。x0,t0) 系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性 ? 穩(wěn)定性回顧與準備知識 ? 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定 ? 李雅普諾夫第一方法（間接法） ? 李雅普諾夫第二方法（直接法） 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：狀態(tài)矩陣的特征值都具有負實部。 一旦某個特征值的實部為正，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 某些特征值的實部為負，某些為零，則必須回到原來的狀態(tài)方程，重新判斷。 Lyapunov第一方法（間接法） ( ) ( , )tt?x f x?x A x系統(tǒng) 在平衡狀態(tài)處把狀態(tài)方程線性化，得到 用間接法來判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，我們早已熟悉。 泰勒級數(shù)展開與雅可比矩陣 單變量系統(tǒng)及平衡態(tài) 0)(),( ??exfxfx?0)(),( ?? eff xxx?在平衡態(tài)處進行泰勒級數(shù)展開 ?????????? 2)(!2 )())(()()( eeeee xxxfxxxfxfxfzxfxfxzxxz ee )()( ??????? ??令 z=xxe，并取線性化一次項，得 同理得向量形式的線性化狀態(tài)方程 ?????????? 2)(!2 )())(()()( eeeee ffff xxxxxxxxzxz )( ef ????????????),(),()(212211xxfxxff x例 Afeexxxxxfxfxfxfe ?????????????????????221122122111)( x則雅可比矩陣 Example 分析系統(tǒng)在其平衡態(tài)的穩(wěn)定性 ????????bxxxxx212213s i n2??[解 ]先求平衡態(tài)，然后求雅可比矩陣，最后解特征值并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ????????????????0a rc s i n0s i n200)(22112ebexxbxxf xx???????????????????????????????3c o s2101221122122111exxxxxfxfxfxfxAee0c os233c os2 1)de t ( 121???????? eexxAI ?????穩(wěn)定否？ 系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性 ? 穩(wěn)定性回顧與準備知識 ? 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定 ? 李雅普諾夫第一方法（間接法） ? 李雅普諾夫第二方法（直接法） 二維運動過程演示 發(fā)散情況 1x2x漸進穩(wěn)定 極限環(huán) Lyapunov第二方法（直接法） 0,),(),( ???? ttt 00fxfx?假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 負定）（正定）（ ),(2,),(1 tVtV xx ?如果存在一個一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)V(x,t)，且滿足： 那么系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是一致漸進穩(wěn)定的。如果還滿足 ???? ),(3 tV xx 時）（則它還是大范圍穩(wěn)定的。我們把該標量函數(shù)V(x,t)稱為李雅普諾夫函數(shù)。 評注 1 可同時適用于線性和非線性、時變和時不變動態(tài)系統(tǒng)。具有普適性和直觀性。 2 可把正定標量函數(shù)理解為廣義的能量，則標量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是能量的變化率。導(dǎo)數(shù)為負則含義為能量是減少的。即只要系統(tǒng)的能量有限且能量在減少，則系統(tǒng)運動必然歸于平衡點。 3 該正定函數(shù)是人為構(gòu)造的，首選 Lyapunov函數(shù)為二次型函數(shù)。對較復(fù)雜系統(tǒng)，主要憑借研究者的經(jīng)驗試取，總的說來，目前還缺少一般性的構(gòu)造方法。 Lyapunov穩(wěn)定性定理的擴展 0,),(),( ???? ttt 00fxfx?對于系統(tǒng)的狀態(tài)方程 負半定）（正定）（ ),(2,),(1 tVtV xx ?如果 并且 0),(03 不衡等于時）（ tV xx ?則系統(tǒng)在原點一致漸進穩(wěn)定。 0,),(),( ???? ttt 00fxfx?對于系統(tǒng)的狀態(tài)方程 正定）（正定）（ ),(2,),(1 tVtV xx ?如果 則系統(tǒng)在原點處不穩(wěn)定。 Example 1 ??????????)()(22212122221121xxxxxxxxxx??試用 Lyapunov第二方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 [解 ]易知系統(tǒng)的平衡點是原點 Te ]00[?x，則候選 2221)(V xx ??x? ? ? ? 2222121 )(222)(V21xxxxdtdVxVxV ?????????? xxx ???定，故系統(tǒng)大范圍漸進穩(wěn)負定，且滿足正定而容易知道???????2l i m)(l i m)(VV ( x )xxxxxV? Example 2 ?
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