函數(shù)及其表示20xx年高考總復(fù)習(xí)(編輯修改稿)
2025-02-09 07:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (2) 由函數(shù)定義可知，自變量 x 對應(yīng)唯一的 y 值，所以 ③④ 錯誤， ①② 正確． 答案 ( 1) D ( 2) ①② 題型二 求函數(shù)的解析式 【例 2 】 (1) 已知 f (2x＋ 1) ＝ lg x ，求 f ( x ) ； (2) 已知 f ( x ) 是二次函數(shù)且 f (0) ＝ 2 ， f ( x ＋ 1) － f ( x ) ＝ x － 1 ，求f ( x ) ； (3) 已知 f ( x ) ＋ 2 f (1x) ＝ x ( x ≠ 0) ，求 f ( x ) ． 【思維啟迪】 (1) 用換元法，令2x＋ 1 ＝ t ； (2) 本題已給出函數(shù)的基本特征，即二次函數(shù)，可采用待定系數(shù)法求解． (3) 用1x代入，構(gòu)造方程求解． 聽 課 記 錄 (1) 令 t ＝2x＋ 1 ，則 x ＝2t － 1， ∴ f ( t ) ＝ lg2t － 1，即 f ( x ) ＝ lg2x － 1. (2) 設(shè) f ( x ) ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ，由 f (0) ＝ 2 ， 得 c ＝ 2 ， f ( x ＋ 1) － f ( x ) ＝ a ( x ＋ 1)2＋ b ( x ＋ 1) － a x2－ bx ＝ x － 1 ， 即 2 ax ＋ a ＋ b ＝ x － 1 ， ∴????? 2 a ＝ 1 ，a ＋ b ＝－ 1 ，即????? a ＝12，b ＝－32. ∴ f ( x ) ＝12x2－32x ＋ 2. (3) ∵ f ( x ) ＋ 2 f (1x) ＝ x ， ∴ f (1x) ＋ 2 f ( x ) ＝1x. 解方程組????? f ? x ? ＋ 2 f ?1x? ＝ x ，f ?1x? ＋ 2 f ? x ? ＝1x， 得 f ( x ) ＝23 x－x3( x ≠ 0) ． 【規(guī)律方法】 求函數(shù)解析式常用以下解法： (1) 待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法； (2) 換元法：已知復(fù)合函數(shù) f ( g ( x )) 的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍； (3) 構(gòu)造法：已知關(guān)于 f ( x ) 與 f (1x) 或 f ( － x ) 的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式，通過 解方程組求出 f ( x ) ． 變式思考 2 求滿足下列條件的函數(shù) f ( x ) 的解析式： (1) f ( x ＋ 1) ＝ x ＋ 2 x ； (2) f ( x ) 為二次函數(shù)且 f (0 ) ＝ 3 ， f ( x ＋ 2) － f ( x ) ＝ 4 x ＋ 2. 解 (1) 令 t ＝ x ＋ 1 ， ∴ t ≥ 1 ， x ＝ ( t － 1)2. 則 f ( t ) ＝ ( t － 1)2＋ 2( t － 1) ＝ t2－ 1 ， ∴ f ( x ) ＝ x2－ 1( x ≥ 1) ． (2) 設(shè) f ( x ) ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ，又 f (0) ＝ c ＝ 3. ∴ f ( x ) ＝ ax2＋ bx ＋ 3 ， ∴ f ( x ＋ 2) － f ( x ) ＝ a ( x ＋ 2)2＋ b ( x ＋ 2) ＋ 3 － ( ax2＋ bx ＋ c ) ＝ 4 ax ＋4 a ＋ 2 b ＝ 4 x ＋ 2. ∴????? 4 a ＝ 4 ，4 a ＋ 2 b ＝ 2 ，∴????? a ＝ 1 ，b ＝－ 1. ∴ f ( x ) ＝ x2－ x ＋ 3. 題型三 分段函數(shù) 【例 3 】 (1) 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝????? log2? x2＋ 1 ? ， x 0 ，3 ? t － 1 ?x， x ≥ 0 ，且 f (1) ＝ 12 ，則 f ( f ( － 3 )) 的值等于 ( ) A
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