第十一節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算與性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-11-22 12:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 21xffxffbaxbabaCxf???????????有使得則若注意 : , 定理不一定成立 。 , 定理不一定成立 . xyo)(xfy ?211xyo 2?)(xfy ?定理 8(有界性定理 ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界 . 證 ,],[)( 上連續(xù)在設(shè)函數(shù) baxf ],[ bax ??,)( Mxfm ??有 },m a x { MmK ?取.)( Kxf ?則有 .],[)( 上有界在函數(shù) baxf?定理 3( 零點定理 ) 設(shè)函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ? ?ba ,上連續(xù)，且 )( af 與 )( bf 異號 ( 即 0)()( ?? bfaf ),那末在開區(qū)間 ? ?ba , 內(nèi)至少有函數(shù) )( xf 的一個零點 , 即至少有一點 ? )( ba ??? ，使 0)( ??f .定義 : .)(,0)( 000的零點稱為函數(shù)則使如果xfxxfx ?.),(0)( 內(nèi)至少存在一個實根在即方程 baxf ?a b3?2?1?幾何解釋 : .,)(軸至少有一個交點線弧與則曲軸的不同側(cè)端點位于的兩個連續(xù)曲線弧xxxfy ?定理 4( 介值定理 ) 設(shè)函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ? ?ba ,上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 Aaf ?)( 及 Bbf ?)( ,那末，對于 A 與 B 之間的任意一個數(shù) C ，在開區(qū)間? ?ba , 內(nèi)至少有一點 ? ，使得 Cf ?)( ? )( ba ??? .xyo)(xfy ?幾何解釋 : M B C A m a b 1? 2? 3? 2x1x xyo)( xfy ?證 ,)()( Cxfx ???設(shè),],[)( 上連續(xù)在則 bax?Cafa ?? )()(?且,CA ??Cbfb ?? )()(? ,CB ??,0)()( ??? ba ?? 由零點定理 , 使),( ba?? ?,0)( ??? ,0)()( ??? Cf ???即 .)( Cf ?? ?.)(至少有一個交點直線與水平連續(xù)曲線弧Cyxfy??推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 與最小值 之間的任何值 . 例 5 .)1,0(014 23至少有一根內(nèi)在區(qū)間證明方程 ??? xx證 ,14)( 23 ??? xxxf令 ,]1,0[)( 上連續(xù)在則 xf,01)0( ??f又 ,02)( ???f 由零點定理 , 使),( ba?? ? ,0)( ??f ,014 23 ??? ??即.)1,0(014 23 ?
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