第十一節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)-wenkub
2022-10-28 12:04:17 本頁面
【正文】 121xffxffbaxbabaCxf???????????有使得則若注意 : , 定理不一定成立 。),( 內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在 ????★ )1,0(l o g ??? aaxy a對數(shù)函數(shù)。第十一節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì) 一、連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運(yùn)算 二、反函數(shù)的連續(xù)性 五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 三、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 四、初等函數(shù)的連續(xù)性 一、連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運(yùn)算 定理 1 .)0)(()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)在點(diǎn)則處連續(xù)在點(diǎn)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf???例如 , ,),(c o s,si n 內(nèi)連續(xù)在 ????xx.c s c,s e c,c o t,t a n 在其定義域內(nèi)連續(xù)故 xxxx二、反函數(shù)的連續(xù)性 定理 2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù) . 例如 , ,]2,2[s i n 上單調(diào)增加且連續(xù)在 ???? xy.]1,1[a rc s i n 上也是單調(diào)增加且連續(xù)在故 ?? xy。),0( 內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在 ??定理 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的 . ★ ?xy ? xaa log?? ,uay ? .l o g xu a??,),0( 內(nèi)連續(xù)在 ?? ,不同值討論 ?(均在其定義域內(nèi)連續(xù) ) 定理 6 一切初等函數(shù)在其 定義區(qū)間 內(nèi)都是連續(xù)的 . 定義區(qū)間 是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間 . 1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) , 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù) 。 , 定理不一定成立 . xyo)(xfy ?211xyo 2?)(xfy ?定理 8(有界性定理 ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界 . 證 ,],[)( 上連續(xù)在設(shè)函數(shù) baxf ],[ bax ??,)( Mxfm ??有 },m a x { MmK ?取.)( Kxf ?則有 .],[)( 上有界在函數(shù) baxf?定理 3( 零點(diǎn)定理 ) 設(shè)函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ? ?ba ,上連續(xù)，且 )( af 與 )( bf 異號 ( 即 0)()( ?? bfaf ),那末在開區(qū)間 ? ?ba , 內(nèi)至少有函數(shù) )( xf 的一個零點(diǎn) , 即至少有一點(diǎn) ? )( ba ??? ，使 0)( ??f .定義 : .)(,0)( 000的零點(diǎn)稱為函數(shù)則使如果xfxxfx ?.),(0)( 內(nèi)至少存在一個實(shí)根在即方程 baxf ?a b3?2?1?幾何解釋 : .,)(軸至少有一個交點(diǎn)線弧與則曲軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于的兩個連續(xù)曲線弧xx
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