【文章內容簡介】 π2πK 1πω2 πφ0xxφω2ππ0Δφx2K0z zω1N N 21242 四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 非線性控制系統(tǒng)可化為下列結構形式 圖 764 非線性控制系統(tǒng) 43 用描述分析非線性系統(tǒng)時兩個基本假設： ① 系統(tǒng)的線性部分 G(jω)具有很好的低通濾波性。 ② 系統(tǒng)若發(fā)生自激振蕩（穩(wěn)定的周期運動），假定非線性環(huán)節(jié) N的輸入端的振蕩為正弦波。 44 特征方程的解法 圖 7－ 64所示系統(tǒng)的特征方程為 1 ( ) ( ) 01()()N A G jGjNA??????（ 790） 0A 0?如果對于某一個 和 ，式（ 7－ 90）成立， 那么非線性環(huán)節(jié) N輸入端將有 的周期運動。 00si n( )At?此時相當于將整個 1 / ( )NA? 曲線當作臨界點。 45 ? 因此可以類似的得到當線性系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)時的非線性系統(tǒng)的乃氏判據。 ? 上述情況與線性系統(tǒng)中 的乃氏曲線穿越 點相類似 ()Gj?)0,1( j?? 利用描述函數判斷非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性時，非線性環(huán)節(jié)的負倒特性 相當于線性系統(tǒng)的 點； 1 ( )NA?)0,1( j?? 如非線性部分的負倒特性 沒有被線性部分 的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，如果非線性部分的負倒特性 被線性部分 的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。 1 ( )NA?()Gj?1 ( )NA?()Gj?如非線性部分的負倒特性 沒有被線性部分 的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的 。反之，如果非線性部分的負倒特性 被線性部分的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。46 描述函數法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性 P ( )?G ( j )?1N ( A )?j Q ( j )?0 P ( )?G ( j )?1N ( A )?j Q ( j )?0 P ( )?G ( j )?1N ( A )?j Q ( j )?0A??AA?BCDE1M2MG(j )? 1N(A)?a) 不順時針包圍 b) 順時針包圍 c) 順時針部分包圍 G(j )? 1N(A)? G(j )? 1N(A)?47 ? 如果 與 曲線相交，則可能產生 自持振蕩 。 ? 嚴格地講，自持振蕩不是正弦的，但可以用正弦來近似。 ? 自持振蕩的幅值是由交點處 曲線上的 A值決定的，而頻率是由交點處 曲線上的頻率 決定的。 1 ( )NA??()Gj?1 ( )NA?()Gj?非線性系統(tǒng)自持振蕩分析 48 自持振蕩分析 P ( )?G ( j )?1N ( A )?j Q ( j )?0 P ( )?G ( j )?1N ( A )?j Q ( j )?0 P ( )?G ( j )?1N ( A )?j Q ( j )?0A??AA?BCDE1M2M49 【 例 1】 判斷圖中各自振蕩點穩(wěn)定與否 ? ?aImReN1?? ??jG0a )?aImReN1?? ??jG0b )???aImReN1?? ??jG0N Sd )???aImReN1?? ??jG0M Rc )實例分析 50 【 例 2】 確定圖中非線性系統(tǒng)的自振蕩振幅和頻率 。 ??R Y11?0? ?? ?2110?? sss圖 722 非線性系統(tǒng)結構圖 解： 理想繼電特性的描述函數為 4() MNAA??51 由于 111 , 0 0 ,( ) ( )M A AN A N A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?且 時 ， ； 時 故 的軌跡為沿整個負實軸的直線 1 ( )NA?線性部分的頻率特性 22 2 4 224 2 4 210 10 10 3 j ( 2 )( j )j ( j 1 ) ( j 2) 3 j ( 2 ) 5 430 10( 2 )j5 4 ( 5 4)G???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?52 根據產生自持振蕩的條件 1( j )()G NA? ??220???得 解之得 2? ?將之代入 ? ?Re ( j )G ? ? ?2Re ( j ) 1 .6 7G ?? ? ??得 1 1 . 6 7 1 . 6 7( ) 4ANA?? ? ? ? ? ? ?由 得 0 2 .1A ?53 例 7－ 1 已知某位置隨動系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如圖 722所示，其中飽和非線性是積分環(huán)節(jié)達到限幅時形成的。試計算：①系統(tǒng)穩(wěn)定時 K的取值范圍；② 時在初始狀態(tài)作用下系統(tǒng)自振的振幅和頻率。 K 30?c?Ks( 0 . 1 s 1 ) ( 0 . 2 s 1 )??r?? 22xy解 22 2 2 2N ( A ) [ a r c si n 1 ( ) ] A 2A A A? ? ? ??? ?? （ ）21 A2N ( A ) 2 2 22 [ a r c sin 1 ( ) ]A A A?? ? ? ?? ? ???（ ）P ( )?G ( j )?1N ( A )?j Q ( j )?0A?1?xAx??①②54 242K K [ j ( 1 ) ]G ( j )j ( j 1 ) ( j 1 ) ( 1 )? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21 0. 02 0? ? ? x 5 0 7 . 0 7 r a d / s? ? ?xx 42x x xK [ ] KG ( j )( 04 1 ) ?? ?? ? ?? ? ? ? ?K 15? 時， ，恰是負倒描述函數特性的起點。 時，開環(huán)幅相頻率特性與 xG ( j ) 1? ? ? K 15?負倒描述函數特性曲線不相交，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定； 時兩曲線相交，交點為自振點， K 15?自振的頻率為 ； x 5 0 7 .0 7 r a d / s? ? ?K 30? 時的實頻值為 ，負倒描述函數的振幅值滿足 xG ( j ) 2? ? ?222 2 22 [ a r c sin 1 ( ) ]A A A?? ? ???解得自振的振幅為 。 xA5?P ( )?G ( j )?1N ( A )?j Q ( j )?0A?1?xAx??①②55 【 例 3】 研究如下圖所示非線性系統(tǒng)。試判斷系統(tǒng)是否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和頻率。 56 解： 描述函數為 24( ) 1MhNAAA?????????0 MKh??? ?220141Ah