【文章內(nèi)容簡介】 得非齊次微分方程的特解 uC。 0 )1(4 2 ?? ? tVeu tC ＝（ 6）由已求得的電路變量求出其他電路變量。 0 0 )1(320 )3132( 124822222211??????????????????tAedtduCitAeRuitAeAeRuUitCCtCttCS∵ 二、 RL電路的零狀態(tài)響應 RL電路的零狀態(tài)響應 ?從 能量 觀點來看， RL串聯(lián)電路接通直流電壓源的過渡過程，就是電感元件中的磁場能量不斷積累的過程。 ?換路 前 ：電感元件中的儲能為零； ?換路 后 ：電感元件不斷地從電源吸取電能，并把它轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌瞿芰?，儲存于自身之中。過渡過程結(jié)束時，電感元件所儲存的磁場能量為 L(US / R)2/2。 ?在整個過渡過程中，電源不斷地向其外部電路提供能量，電源所提供的能量一部分轉(zhuǎn)換為磁場能量，儲存于電感元件的磁場中，另一部分則被電阻轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮芏纳⒌簟? 根據(jù)換路定律 0)0()0( ???? ii根據(jù) KVL，得 SLR Uuu ??1由元件得伏安關(guān)系得出： tdidLuiRuLR ?? 1代入整理得 0 ??? tUiRtd idL S該 一階線性常系數(shù)非齊次微分方程，其通解 等于它所對應得齊次微分方程得通解 39。39。i 與它的一個特解 39。i 之和，即 iii ?????此非齊次微分方程所對應 齊次微分方程 0?? iRtd idL 的通解為 ?ttLRst AeAeAei ?? ????? 換路后的電路的相應的穩(wěn)態(tài)響應就是非齊次微分方程式的特解 RUii S???? )(0 ??? tUiRtd idL S?tS AeRUiii ????????RUA S??因此，非齊次微分方程的特解為 進而求得 根據(jù)電路的初始條件 i(0+) = 0，可得 0 )1( ????? ?? teRUeRURUitStSS ??0 dtdiL0 )1(RiL ?????????teUuteUutStSR?? ?tS AeRUiii ????????RL電路零狀態(tài)響應的變化曲線 (a)uL、 uR的變化曲線 (b)i的變化曲線 【 例 7－ 6】 圖（ a）所示電路中， t = 0時開關(guān)閉合，開關(guān)閉合前電感元件中的電流為零，試求 t＞ 0時的 iL和 uL。 解 首先應用戴維南定理，將圖（ a）所示電路等效變換為圖（ b）所示電路。戴維南等效電路中 ?????????? 8 )10213( 12 24101010RVVU電路的時間常數(shù)為 s 8 ??? RL?0 120 )1()1(U4040???????????tVetdidLutAeeRitLLttL?三、零狀態(tài)響應的一般形式 0 )0()()( ??? ?? teftftf tSS ? 式中： （ 1） τ為電路的時間常數(shù)，它決定于電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)值。 （ 2） fS(t)為電路的穩(wěn)態(tài)響應，在 t→∞ 時的響應。 （ 3） fS(0+)為電路的穩(wěn)態(tài)響應的初始值，即 t =0+時穩(wěn)態(tài)響應的值。 ?注意；只有在電路的穩(wěn)態(tài)響應 fS(t)存在的情況下，才能直接應用上式來求解零狀態(tài)響應。 第四節(jié) 一階電路的全響應 一、全響應的求解 ?求解一階電路的全響應的方法與一階電路的零狀態(tài)響應的求解方法基本相同，區(qū)別僅在于初始條件不同。 ： （ 1）根據(jù)換路定律，計算電容元件電壓的初始值或電感元件電流的初始值，確定電路初始條件； （ 2）根據(jù)基爾霍夫定律和元件的伏安關(guān)系，建立描述換路后的電路的微分方程； （ 3）求非齊次微分方程所對應的齊次微分方程的通解； （ 4）求非齊次微分方程的特解，從而求得非齊次微分方程的通解； （ 5）由電路的初始條件，確定通解中的積分常數(shù)，從而求得非其齊次微分方程的特解－－待求響應變量； （ 6）由已求出的響應變量求出其他響應變量。 圖示電路中開關(guān) S在 t = 0時閉合，開關(guān)閉合前電容元件已充電，其電壓為 U0。試求 t＞ 0時的電壓 uC。 根據(jù)換路定律，求得電容元件電壓的初始值 0U)0()0( ?? ?? CC uuSCC UudtduRC ??根據(jù) KVL和元件的伏安關(guān)系，建立以電容元件電壓 uC作為未知變量的微分方程 此方程所對應的齊次微分方程的通解為 ?tC Aeu?＝39。39。 （ τ=RC，時間常數(shù)） 上述非齊次微分方程的一個特解為 SC Uuu ??? )(C39。通解為 ?tSCCC AeUuuu?? ＋＝＝ 39。39。39。0UAU S ?? SUUA ?? 0由電路的初始條件 uC(0+)=U0得 0 )( 0 ?? ? teUUUu tSSC ?＋＝?tSCCC AeUuuu?? ＋＝＝ 39。39。39。 RC電路全響應的變化曲線 二、全響應的分解 ，即 全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應 ? ??? ???? ????? ??零狀態(tài)響應零輸入響應全響應??tSSteftfeftf???? ??? )0()()0()(一階線性定常電路的全響應可以表示為： 0?t0 ) 1(0 ?? ?? teUeUu tStC ?? ＋＝0 )( 0 ?? ? teUUUu tSSC ?＋＝例如： 一階線性定常電路的全響應分解為如下形式： ? ? ???? ???? ?????暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量全響應?tSS efftftf??? ??? )0()0()()(0?t，即 全響應＝穩(wěn)態(tài)分量＋暫態(tài)分量 0 )( 0 ?? ? teUUUu tSSC ?＋＝例如： 第五節(jié) 一階電路的三要素法 一 、三要素公式 ? ? 0 )0()0()()( ???? ??? tefftftf tSS ?式中： （ 1） f(t)為電路的響應變量，它可以是電路中任一支路電流，任意兩節(jié)點間的電壓； （ 2） fS(t)為響應變量的穩(wěn)態(tài)分量； （ 3） fS(0+)為響應變量穩(wěn)態(tài)分量的初始值； （ 4） τ為電路的時間常數(shù)。 二、三要素的確定 1. 時間常數(shù) ? 的計算 （ 1 ） 計算換路后的電路中從儲能元件兩端向其外部電路看進去的戴維南等效電路或諾頓等效電路的等效電阻 R 。 （ 2 ） 應用 RC 串聯(lián)電路或 RL 串聯(lián)電路的時間常數(shù)的計算公式 RC?? 或RL??，計算出電路的時間常數(shù) ? 。 fS(t)及其初始值 fS(0+)的計算 （ 1）畫出換路后的穩(wěn)定狀態(tài)的等效電路。若換路后是一個直流穩(wěn)態(tài)電路，則電路中電容元件相當于開路，電感元件相當于短路。若換路后是一個正弦穩(wěn)態(tài)電路，則可用相量模型來表示該穩(wěn)態(tài)電路。 （ 2）應用穩(wěn)態(tài)電路的計算方法，計算穩(wěn)態(tài)等效電路，求出待求響應變量的穩(wěn)態(tài)分量 fS(t)。 （ 3）將 t =0+代入響應變量的穩(wěn)態(tài)分量 fS(t)的函數(shù)式中，求出穩(wěn)態(tài)分量的初始值 fS(0+)。 三、三要素法的應用舉例 【 例 7－ 7】 圖（ a）所示電路換路前已達穩(wěn)態(tài)， t =0時開關(guān)閉合，試求 t＞ 0時的電流 i。 解 （ 1）根據(jù)換路前的電路，計算換路前電容元件電壓 uC，將 t=0代入 uC的表達式，從而確定 uC(0)。換路前的穩(wěn)態(tài)電路中電容元件相當于開路，換路前的穩(wěn)態(tài)等效電路如圖（ b）所示。由圖（ b）電路可求得 VVu C 20 1020221 33 ????? ?Vu C 20)0( ??（ 2）根據(jù)換路定律 Vuu CC 20)0()0( ?? ??（ 3） 畫出 t = 0+時刻的等效電路，如圖（ c）所示，應用計算電阻性電路的方法，計算出響應變量的初始值。由圖（ c）電路可求得 mAAAi 10)1010(202210101)0(3333???????????????（ 4） 畫出換路后的穩(wěn)態(tài)等效電路，應用穩(wěn)態(tài)電路的分析方法，計算出響應變量的穩(wěn)態(tài)分量；將 t =0+代入穩(wěn)態(tài)分量的函數(shù)式，求得穩(wěn)態(tài)分量的初始值。 t =∞時，電容元件相當于開路，此時的等效電路如圖（ d）所示。由圖（ d