【文章內(nèi)容簡介】 on 就是 standard variation 的平方根 d calculation of quartile(四分位數(shù)的計算 ) Quartile（四分 位數(shù)）： 第 0 個 Quartile 實際為通常所說的最小值（ MINimum）； 第 1 個 Quartile（ En： 1st Quartile）； 第 2 個 Quartile 實際為通常所說的中分位數(shù)（中數(shù)、二分位分、中位數(shù)： Median）；第 3 個 Quartile（ En： 3rd Quartile）； 第 4 個 Quartile 實際為通常所說的最大值（ MAXimum）； 我想大家除了對 1st、 3rd Quartile 不了解外，對其他幾個統(tǒng)計值的求法都是比較熟悉的了，而求 1st、 3rd是比較麻煩的。 下面以求 1rd 為例： 設(shè)樣本數(shù)為 n（即共有 n 個數(shù)），可以按下列步驟求 1st Quartile： 1． n 個數(shù)從小到大排列，求 (n1)/4，設(shè)商為 i，余數(shù)為 j 2．則可求得 1st Quartile為： (第 i+1 個數(shù) )*(4j)/4+(第 i+2 個數(shù) )*j/4 例（已經(jīng)排過序啦?。? 1） .設(shè)序列為 {5}，只有一個樣本則： (11)/4 商 0，余數(shù) 0 1st=第 1 個數(shù) *4/4+第 2 個數(shù) *0/4=5 2） .設(shè)序列為 {1,4}，有兩個樣本則： (21)/4 商 0，余數(shù) 1 1st=第 1 個數(shù) *3/4+第 2 個數(shù) *1/4= 3） .設(shè)序列為 {1,5,7}，有三個樣本則： (31)/4 商 0，余數(shù) 2 1st=第 1 個數(shù) *2/4+第 2 個數(shù) *2/4=3 4） .設(shè)序列為 {1,3,6,10}，四個樣本： (41)/4 商 0，余數(shù) 2 1st=第 1 個數(shù) *1/4+第 2 個數(shù) *3/4= 5） .其他類推！因為 3rd 與 1rd 的位置對稱，這是可以將序列從大到小排（即倒過來排），再用 1rd 的公式即可求得：例（各序列同上各列，只是逆排）： {5}， 3rd=5 2.{4,1}， 3rd=4*3/4+1*1/4= 3.{7,5,1}， 3rd=7*2/4+5*2/4=6 4.{10,6,3,1}， 3rd=10*1/4+6*3/4=7 9． The calculation of Percentile 設(shè)一個序列供有 n 個數(shù)，要求（ k%）的 Percentile： （ 1）從小到大排序，求 (n1)*k%，記整數(shù)部分為 i，小數(shù)部分為 j 可以如此記憶： n 個數(shù)中間有 n1 個間隔， n1/4 就是處于前四分之一處， （ 2）所求結(jié)果＝（ 1－ j） *第 (i＋ 1)個數(shù)＋ j*第 (i+2)個數(shù) 特別注意以下兩種最可能考的情況： （ 1） j 為 0，即 (n1)*k%恰為整數(shù)，則結(jié)果恰為第 (i+1)個數(shù) （ 2）第 (i+1)個數(shù)與第 (i+2)個數(shù)相等，不用算也知道正是這兩個數(shù) . 注意：前面提到的 Quartile 也可用這種方法計算， 其中 1st Quartile 的 k%=25% 2nd Quartile 的 k%=50% 3rd Quartile 的 k%=75% 計算結(jié)果一樣 . 例：（注意一定要先從小到大排序的，這里已經(jīng)排過序啦?。? ｛ 1， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 19， 29， 39， 49， 59， 69， 79， 80｝ 共 16 個樣本 要求 :percentile＝ 30%：則 (161)*30%==4+ i＝ 4， j＝ ()*第 5 個數(shù)＋ *第 6 個數(shù) =*6+*7= find median using StemandLeaf (莖葉法計算中位數(shù) ) StemandLeaf method 其實并不是很適用于 GRE 考試 ,除非有大量數(shù)據(jù)時可以用這種方法比較迅速的將數(shù)據(jù)有序化 .一般 GRE 給出的數(shù)據(jù)在 10 個左右 ,莖葉法有點大材小用 . StemandLeaf 其實就是一種分級將數(shù)據(jù)分類的方法 .Stem 就是大的劃分 ,如可以 劃分為 1～ 10， 11～ 20， 21～30?，而 Leaf 就是把劃分到 Stem 一類中的數(shù)據(jù)再排一下序?？戳死泳兔靼琢?。 Example for StemandLeaf method: Data： 23， 51， 1， 24， 18， 2， 2， 27， 59， 4， 12， 23， 15， 20 0| 1 2 2 4 1| 12 15 18 2| 20 23 23 24 27 5| 51 59 Stem (unit) = 10 Leaf (unit) = 1 分析如下： 最左邊的一豎行 0, 1, 2, 5 叫做 Stem, 而右邊剩下的就是 Leaf(leaves). 上面的 StemandLeaf 共包含了 14個 data, 根據(jù) Stem 及 leaf的 unit, 分別是： 1, 2, 2, 4 (first row), 12, 15, 18 (second row), 20, 23, 23, 24, 27(third row), 51, 59 (last row). Stem and Leaf 其實就是把各個 unit，比如個位，十位等歸類了而已，一般是從小到大有序排列，所以在找 Stemand Leaf 找 median 的時 候，一般不需要你自己把所有的數(shù)寫出來從新排序 .所以只要找到中間的那個數(shù) (如果 data 個數(shù)是偶，則取中間兩數(shù)的平均數(shù) ), 就是 median 了 .這道題的 median 是 18 和 20 的平均值 =19. 大家在碰到這種題的時候都可以用上面的方法做，只要注意 unit 也就是分類的數(shù)量級就行了 . 為什么用 StemandLeaf 方法？可能你覺得這樣做太麻煩了，其實 StemandLeaf 方法好處就是：你不必從一大堆數(shù)里去按大小挑數(shù)了，按照 data 給出的順序填到表里就可以了。但是， GRE 考試這樣做是否值自己斟酌。 我 的方法，不就是找十來個數(shù)么？排序！在先瀏一眼數(shù)據(jù)看看大致范圍，然后在答題紙上按個的寫，覺得小的寫前面，大的寫后面，寫了幾個數(shù)之后，就是把剩下的數(shù)兒們，一個個的插到已寫的數(shù)中間么！注意盡可能的把數(shù)之間的距離留大一些，否則，如果某些數(shù)比較密集，呵呵，你會死的很慘的。 11． To find the median of data given by percentage(按比例求中位數(shù) ) 給了不同年齡 range, 和各個 range 的 percentage, 問 median 落在哪個 range 里 . 把 percentage 加到 50%就是 median 的 range 了 .擔(dān)小心一點， range 首先要保證是有序排列 . Example for this: Given: 10～ 20 = 20%, 30～ 50 = 30%, 0～ 10 = 40%, 20～ 30 = 10%, 問 median 在哪個 range 里 . 分析： 千萬不要上來就加，要先排序，切記！！ 重新排序為： 0～ 10 = 40%, 10～ 20 = 20%, 20～ 30 = 10%, 30～ 50 = 40%. 然后從小開始加， median（ 50％）落在 10～ 20 這個 range 里 . 如果覺得比較玄乎，我的方法， GRE 大部分的題都可以這么搞。 0～ 10 歲 40匹 ETS 豬， 10～ 20 歲 20 匹 ETS豬， 20～ 30 歲 匹 ETS 豬， 30～ 50 歲 匹 ETS 豬，這 100匹 ETS 豬按著年齡排下來，你說第五十匹 ETS 豬的年齡落在那個范圍。 (原題 : 說一堆人 010歲 占 10%,1120歲 占 12%,2130歲 占 23%,3140歲 占 20%,〉 40歲 占 35%,問 median 在什么范圍 ?) 12：比較 ,當 n1時， n， 1， 2 和 1， 2,3的標準方差誰大 standard error 和 standard variation (作用 =standard deviation)都是用來衡量一組資料的離散程度的統(tǒng)計數(shù)值 ,只不過由于 standard error 中涉及絕對值 ,在數(shù)學(xué)上是很難處里的所以 ,都用標準方差 ,實際上 standard error 更合理一些 ,它代表了數(shù)據(jù)和平均值的平均距離 .很明顯題目中如果 n=0 的話 ,0,1,2 的離散程度應(yīng)該和1,2,3 的離散程度相同 .如果 n0,則 n,1,2,的離散程度大于后者 ,而 0n1 的話 ,則后者大于前者 ,但是 n 為整數(shù) ,這種情 況不成立 .故而 Key: n 是整數(shù)， 前〉 =后 (n=0,等； n=1,2,??大于 ) 三組資料的頻數(shù)分布 FREQUENCY DISTRIBUTION： 1（ 6）， 2（ 4）， 3（ 1）， 4（ 4）， 5（ 6） 1（ 1）， 2（ 4）， 3（ 6）， 4（ 4）， 5（ 1） 1（ 1）， 2（ 2）， 3（ 3）， 4（ 4）， 5（ 5） 其中括號里的是出現(xiàn)的頻率，問 MEAN 和 AVERAGE 相等的有那些 . 答案：只有第二個 . meanarithmetic mean 1+2+3+4+5） / 5 = 3 averageweighted average 加權(quán)平均值 : (1*1+2*4+...5*1)/(1+4+6+4+1)=48/16=3 . 一列數(shù)從 0 到 28，給出正態(tài)分布曲線 .75%的 percentile 是 20， 85%的 percentile 是 r,95%的 percentile 是 26,問 r 與 23 的大小 . Key:r23 下面是來自柳大俠的七種武器中的正態(tài)分布 15．正態(tài)分布 高斯分布（ Gaussian）（正態(tài)分布）的概率密度函數(shù)為一鐘型曲線，即 222 )(22 1)( ??? axexp ??? a 為均值， ? 為標準方差，曲線關(guān)于 x=a 的虛線對稱， ? 決定了曲線的“胖瘦”，形狀為： 高斯型隨機變量的概率分布函數(shù)，是將其密度函數(shù)取積分，即 ??? ?? dexF x aA ? ?? ??? 2 22 )(22 1)( （★） )()( xAPxFA ?? , 表示隨機變量 A 的取值小于等于 x 的概率。比如 A 的取值小于等于均值 a 的概率是50%。曲線為 如果前面看得有些頭 大也沒有關(guān)系，結(jié)合具體題目就很容易理解了 ? 1） 一道正態(tài)分布： 95%〈 26， 75%〈 20， 85%〈 r,問 r 與 23 的大小，答小于 解： 由圖 2，正態(tài)分布的分布函數(shù) F（ x）在其期望 a 的右方曲線是向上凸的，此時 F（ 20） =75%， F（ r） =85%， F（ 26） =95%， aa － ?xp ( x)a+? a x F(x) 50% A B C 圖 2 圖 1 如果把曲線的片段放大就比較清楚了。 O 為 AB 的中點。 A(20, 75%) B(26, 95%) O(23, 85%) C(r, 85%) 由于曲線上凸，顯然 C 的橫坐標小于 O，所以 r23。 補充：如果問的是曲線的左半部分或者 其他一些情況，只要畫一下圖就很 easy 了。 2) 正態(tài)分布題好象是：有一組數(shù)平均值 9，標準方差 2，另一組數(shù)平均值 3，標準方差 1，問分別在（ 5， 11）和（ 1， 4）中個數(shù) (概率 )誰大，應(yīng)該是相等。 解： 令圖 1 中的曲線 a=0, 1?? , 就得到了標準正態(tài)分布，曲線如圖 3。 此時問分布在區(qū)間（ x1, x2）的概率，就是圖中的陰影面積。注意此時的曲線關(guān)于 x=0 對稱。 （★）對于一般的正態(tài)分布，可以通過變換，歸一化到標準的正態(tài)分布，算 法為： 設(shè)原正態(tài)分布的期望為 a，標準方差為 ? ,欲求分布在區(qū)間（ y1, y2）的概率，可以變換為求圖 3 中分布在（ x1, x2）間的概率。其中 ?ayx ?? 。 A B OA CA x1 x2 圖 3 比如題目中 a=9， 2?? , 區(qū)間為（ 5, 11），則區(qū)間歸一化為 (－ 2， 1)，即 22 951 ????x 12 9112 ???x 同理， a=3， 1?? , 區(qū)間為 （ 1, 4），則區(qū)間歸一化后也為 (－ 2， 1)。 所以兩者的分布概率相等。 估計最難的題也就是利用鐘型曲線的對稱性，比如歸一化后的區(qū)間并不相同， 而是 (2,1)和（ 1,2），但根據(jù)對稱性，仍然可以比較概率的大小。 救命三招 往變量里分別代三