【文章內容簡介】 M、 N，當 CM= 或 時， △ OMN 與 △ BCO 相似． 【分析】 由直角三角形斜邊上的中線性質得出 OC= AB=OA=OB=5，由勾股定理求出 AC=8，由全等三角形的性質得出 ∠ B=∠ MON． △ OMN 與 △ BCO 相似，分兩種情況： ①當 OM=MN 時，作 OD⊥ AC 于 D，CE⊥ AB 于 E，則 AD=CD= AC=4，由勾股定理求出 OD，由三角形 的面積求出 CE，由相似三角形的性質得出比例式求出 OM=MN= ，由勾股定理求出 DM，得出 CM=CD﹣ DM=4﹣ = ； ②當 ON=MN時，由 △ OMN∽△ BCO，得出 = = ，求出 OM，與勾股定理求出 DM，即可得出 CM 的長． 【解答】 解： ∵∠ ACB=90176。，點 O 為 AB 中點， AB=A′B′=10， BC=B′C′=6， ∴ OC= AB=OA=OB=5， AC= =8， ∵△ ABC≌△ A′B′C′， ∴∠ B=∠ MON． 若 △ OMN 與 △ BCO 相似，分兩種情況： ①當 OM=MN 時，作 OD⊥ AC 于 D， CE⊥ AB 于 E，如圖所 示： 則 AD=CD= AC=4， △ ABC 的面積 = AB?CE= AC?BC， ∴ OD= = =3， CE= = ， ∵△ OMN∽△ BOC， ∴ = = ， 即 ， ∴ OM=MN= ， ∴ DM= = ， ∴ CM=CD﹣ DM=4﹣ = ； ②當 ON=MN 時， ∵△ OMN∽△ BCO， ∴ = = = ， 即 ， 解得： OM= ， ∴ DM= = ， ∴ CM=CD﹣ DM=4﹣ = ； 綜上所述：當 CM= 或 時， △ OMN 與 △ BCO 相似． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定與性質、旋轉的性質、勾股定理、等腰三角形的判定 、直角三角形斜邊上的中線性質等知識；熟練掌握勾股定理，證明三角形相似是解決問題的關鍵． 11．如圖，在 △ ABC 中， D、 E 分別是 AB、 AC 邊上的點（ DE 不平行于 BC），當 不唯一，如 ∠ ADE=∠ C 時， △ AED 與 △ ABC 相似． 【分析】 兩個對應角相等即為相似三角形， ∠ A 為公共角，只需一角對應相等即可． 【解答】 解：由題意， ∠ ADE=∠ C 即可． 證明： ∵∠ ADE=∠ C， ∠ A 為公共角 ∴△ ADE∽△ ACB． 【點評】 熟練掌握相似三角形的判定方法． 12．在邊長為 2cm 的正方形 ABCD 中，動點 E、 F 分別 從 D、 C 兩點同時出發(fā)，都以 1cm/s 的速度在射線DC、 CB 上移動．連接 AE 和 DF 交于點 P，點 Q 為 AD 的中點．若以 A、 P、 Q 為頂點的三角形與以 P、D、 C 為頂點的三角形相似，則運動時間 t 為 2 或 4 秒． 【分析】 分兩種情況： ①E 點在 DC 上； ②E 點在 BC 上；根據(jù)相似三角形的性質得到比例式求出運動時間 t 即可． 【解答】 解：分兩種情況： ①如圖 1， E 點在 DC 上， AE= = ， DP= ， AP= = ， ∵ 以 A、 P、 Q 為頂點的三角形與以 P、 D、 C 為頂點的三角形相似， ∴ = ，即 = ， 解得 t=2； △ APQ 與 △ ODC 相似，邊的對應關系共有三種可能逐一分類討論，得 t=4 符合題意 【點評】 考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，本題關鍵是根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，注意分類思想的運用． 三．解答題 13．（ 2022?福州）如圖，在 △ ABC 中， AB=AC=1， BC= ，在 AC 邊上截取 AD=BC，連接 BD． （ 1）通過計算，判斷 AD2 與 AC?CD 的大小關系； （ 2）求 ∠ ABD 的度數(shù)． 【分析】 （ 1）先求得 AD、 CD 的長，然后再計算出 AD2 與 AC?CD 的值，從而可得到 AD2 與 AC?CD 的關系； （ 2） 由（ 1）可得到 BD2=AC?CD，然后依據(jù)對應邊成比例且夾角相等的兩三角形相似證明 △ BCD∽△ ABC，依據(jù)相似三角形的性質可知 ∠ DBC=∠ A， DB=CB，然后結合等腰三角形的性質和三角形的內角和定理可求得 ∠ ABD 的度數(shù)． 【解答】 解：（ 1） ∵ AD=BC， BC= ， ∴ AD= ， DC=1﹣ = ． ∴ AD2= = ， AC?CD=1 = ． ∴ AD2=AC?CD． （ 2） ∵ AD=BC， AD2=AC?CD， ∴ BC2=AC?CD，即 ． 又 ∵∠ C=∠ C， ∴△ BCD∽△ ACB． ∴ ， ∠ DBC=∠ A． ∴ DB=CB=AD． ∴∠ A=∠ ABD， ∠ C=∠ BDC． 設 ∠ A=x，則 ∠ ABD=x， ∠ DBC=x， ∠ C=2x． ∵∠ A+∠ ABC+∠ C=180176。， ∴ x+2x+2x=180176。． 解得： x=36176。． ∴∠ ABD=36176。． 【點評】 本題主要考查的是相似三角形的性質和判定、等腰三角形的性質、三角形內角和定理的應用，證得 △ BCD∽△ ABC 是解題的關鍵． 14． 如圖，在正方形 ABCD 中， E、 F 分別是邊 AD、 CD 上的點， AE=ED， DF= DC，連接 EF 并延長交BC 的延長線于點 G． （ 1）求證： △ ABE∽△ DEF； （ 2）若正方形的邊長為 4，求 BG 的長． 【分析】 （ 1）利用正方形的性質，可得 ∠ A=∠ D，根據(jù)已知可得 ，根據(jù)有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似，可得 △ ABE∽△ DEF； （ 2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得 CG 的長，即可求得 BG 的長． 【解答】 （ 1）證明： ∵ ABCD 為正方形， ∴ AD=AB=DC=BC， ∠ A=∠ D=90176。， ∵ AE=ED， ∴ ， ∵ DF= DC， ∴ ， ∴ ， ∴△ ABE∽△ DEF； （ 2）解： ∵ ABCD 為正方形， ∴ ED∥ BG， ∴ ， 又 ∵ DF= DC，正方形的邊長為 4， ∴ ED=2， CG=6， ∴ BG=BC+CG=10． 【點評】 此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質、平行線分線段成比例定理等知識的綜合應用．解題的關鍵是數(shù)形結合思想的應用． 15．如圖， △ ABC 中， ∠ C=90176。， AC=3， BC=4，點 D 是 AB 的中點，點 E 在 DC 的延長線上，且 CE= CD，過點 B 作 BF∥ DE 交 AE 的延長線于點 F，交 AC 的延長線于點 G． （ 1）求證： AB=BG； （ 2）若點 P 是直線 BG 上的一點，試確定點 P 的位置，使 △ BCP 與 △ BCD 相似． 【分析】 （ 1）利用平行分線段成比例定理得出 = = ，進而得出 △ ABC≌△ GBC（ SAS），即可得出答案； （ 2）分別利用第一種情況：若 ∠ CDB=∠ CPB，第二種情況：若 ∠ PCB=∠ CDB，進而求出相似三角形即可得出答案． 【解答】 （ 1）證明： ∵ BF∥ DE， ∴ = = ， ∵ AD=BD， ∴ AC=CG， AE=EF， 在 △ ABC 和 △ GBC 中： ， ∴△ ABC≌△ GBC（ SAS）， ∴ AB=BG； （ 2）解：當 BP 長為 或 時， △ BCP 與 △ BCD 相似； ∵ AC=3， BC=4， ∴ AB=5， ∴ CD=， ∴∠ DCB=∠ DBC， ∵ DE∥ BF， ∴∠ DCB=∠ CBP， ∴∠ DBC=∠ CBP， 第一種情況：若 ∠ CDB=∠ CPB，如圖 1： 在 △ BCP 與 △ BCD 中 ， ∴△ BCP≌△ BCD（ AAS）， ∴ BP=CD=； 第二種情況：若 ∠ PCB=∠ CDB，過 C 點作 CH⊥ BG 于 H 點．如圖 2： ∵∠ CBD=∠ CBP， ∴△ BPC∽△ BCD， ∵ CH⊥ BG， ∴∠ ACB=∠ CHB=90176。， ∠ ABC=∠ CBH， ∴△ ABC∽△ CBH， ∴ = ， ∴ BH= ， BP= ． 綜上所述：當 PB= 或 時， △ BCP 與 △ BCD 相似． 【點評】 此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，正確利用分類討論分析是解題關鍵． 16．在矩形 ABCD 中，點 E 是 AD 的中點， BE 垂直 AC 交 AC 于點 F，求證： △ DEF∽△ EBD． 【分析】 根據(jù)已知結合相似三角形的判定與性質得出 = ，進而得出 △ DEF∽△ BED． 【解答】 證明： ∵ AC⊥ BE， ∴∠ AFB=∠ AFE=90176。， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ BAE=90176。， 又 ∵∠ AEF=∠ BEA， ∴△ AEF∽△ BEA， ∴ = ， ∵ 點 E 是 AD 的中點， ∴ AE=ED，