【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 M、 N，當(dāng) CM= 或 時(shí)， △ OMN 與 △ BCO 相似． 【分析】 由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出 OC= AB=OA=OB=5，由勾股定理求出 AC=8，由全等三角形的性質(zhì)得出 ∠ B=∠ MON． △ OMN 與 △ BCO 相似，分兩種情況： ①當(dāng) OM=MN 時(shí)，作 OD⊥ AC 于 D，CE⊥ AB 于 E，則 AD=CD= AC=4，由勾股定理求出 OD，由三角形 的面積求出 CE，由相似三角形的性質(zhì)得出比例式求出 OM=MN= ，由勾股定理求出 DM，得出 CM=CD﹣ DM=4﹣ = ； ②當(dāng) ON=MN時(shí)，由 △ OMN∽△ BCO，得出 = = ，求出 OM，與勾股定理求出 DM，即可得出 CM 的長(zhǎng)． 【解答】 解： ∵∠ ACB=90176。，點(diǎn) O 為 AB 中點(diǎn)， AB=A′B′=10， BC=B′C′=6， ∴ OC= AB=OA=OB=5， AC= =8， ∵△ ABC≌△ A′B′C′， ∴∠ B=∠ MON． 若 △ OMN 與 △ BCO 相似，分兩種情況： ①當(dāng) OM=MN 時(shí)，作 OD⊥ AC 于 D， CE⊥ AB 于 E，如圖所 示： 則 AD=CD= AC=4， △ ABC 的面積 = AB?CE= AC?BC， ∴ OD= = =3， CE= = ， ∵△ OMN∽△ BOC， ∴ = = ， 即 ， ∴ OM=MN= ， ∴ DM= = ， ∴ CM=CD﹣ DM=4﹣ = ； ②當(dāng) ON=MN 時(shí)， ∵△ OMN∽△ BCO， ∴ = = = ， 即 ， 解得： OM= ， ∴ DM= = ， ∴ CM=CD﹣ DM=4﹣ = ； 綜上所述：當(dāng) CM= 或 時(shí)， △ OMN 與 △ BCO 相似． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定 、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握勾股定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵． 11．如圖，在 △ ABC 中， D、 E 分別是 AB、 AC 邊上的點(diǎn)（ DE 不平行于 BC），當(dāng) 不唯一，如 ∠ ADE=∠ C 時(shí)， △ AED 與 △ ABC 相似． 【分析】 兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即為相似三角形， ∠ A 為公共角，只需一角對(duì)應(yīng)相等即可． 【解答】 解：由題意， ∠ ADE=∠ C 即可． 證明： ∵∠ ADE=∠ C， ∠ A 為公共角 ∴△ ADE∽△ ACB． 【點(diǎn)評(píng)】 熟練掌握相似三角形的判定方法． 12．在邊長(zhǎng)為 2cm 的正方形 ABCD 中，動(dòng)點(diǎn) E、 F 分別 從 D、 C 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都以 1cm/s 的速度在射線DC、 CB 上移動(dòng)．連接 AE 和 DF 交于點(diǎn) P，點(diǎn) Q 為 AD 的中點(diǎn)．若以 A、 P、 Q 為頂點(diǎn)的三角形與以 P、D、 C 為頂點(diǎn)的三角形相似，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 為 2 或 4 秒． 【分析】 分兩種情況： ①E 點(diǎn)在 DC 上； ②E 點(diǎn)在 BC 上；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 即可． 【解答】 解：分兩種情況： ①如圖 1， E 點(diǎn)在 DC 上， AE= = ， DP= ， AP= = ， ∵ 以 A、 P、 Q 為頂點(diǎn)的三角形與以 P、 D、 C 為頂點(diǎn)的三角形相似， ∴ = ，即 = ， 解得 t=2； △ APQ 與 △ ODC 相似，邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系共有三種可能逐一分類討論，得 t=4 符合題意 【點(diǎn)評(píng)】 考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，注意分類思想的運(yùn)用． 三．解答題 13．（ 2022?福州）如圖，在 △ ABC 中， AB=AC=1， BC= ，在 AC 邊上截取 AD=BC，連接 BD． （ 1）通過計(jì)算，判斷 AD2 與 AC?CD 的大小關(guān)系； （ 2）求 ∠ ABD 的度數(shù)． 【分析】 （ 1）先求得 AD、 CD 的長(zhǎng)，然后再計(jì)算出 AD2 與 AC?CD 的值，從而可得到 AD2 與 AC?CD 的關(guān)系； （ 2） 由（ 1）可得到 BD2=AC?CD，然后依據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似證明 △ BCD∽△ ABC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知 ∠ DBC=∠ A， DB=CB，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求得 ∠ ABD 的度數(shù)． 【解答】 解：（ 1） ∵ AD=BC， BC= ， ∴ AD= ， DC=1﹣ = ． ∴ AD2= = ， AC?CD=1 = ． ∴ AD2=AC?CD． （ 2） ∵ AD=BC， AD2=AC?CD， ∴ BC2=AC?CD，即 ． 又 ∵∠ C=∠ C， ∴△ BCD∽△ ACB． ∴ ， ∠ DBC=∠ A． ∴ DB=CB=AD． ∴∠ A=∠ ABD， ∠ C=∠ BDC． 設(shè) ∠ A=x，則 ∠ ABD=x， ∠ DBC=x， ∠ C=2x． ∵∠ A+∠ ABC+∠ C=180176。， ∴ x+2x+2x=180176。． 解得： x=36176。． ∴∠ ABD=36176。． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證得 △ BCD∽△ ABC 是解題的關(guān)鍵． 14． 如圖，在正方形 ABCD 中， E、 F 分別是邊 AD、 CD 上的點(diǎn)， AE=ED， DF= DC，連接 EF 并延長(zhǎng)交BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G． （ 1）求證： △ ABE∽△ DEF； （ 2）若正方形的邊長(zhǎng)為 4，求 BG 的長(zhǎng)． 【分析】 （ 1）利用正方形的性質(zhì)，可得 ∠ A=∠ D，根據(jù)已知可得 ，根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，可得 △ ABE∽△ DEF； （ 2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得 CG 的長(zhǎng)，即可求得 BG 的長(zhǎng)． 【解答】 （ 1）證明： ∵ ABCD 為正方形， ∴ AD=AB=DC=BC， ∠ A=∠ D=90176。， ∵ AE=ED， ∴ ， ∵ DF= DC， ∴ ， ∴ ， ∴△ ABE∽△ DEF； （ 2）解： ∵ ABCD 為正方形， ∴ ED∥ BG， ∴ ， 又 ∵ DF= DC，正方形的邊長(zhǎng)為 4， ∴ ED=2， CG=6， ∴ BG=BC+CG=10． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 15．如圖， △ ABC 中， ∠ C=90176。， AC=3， BC=4，點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在 DC 的延長(zhǎng)線上，且 CE= CD，過點(diǎn) B 作 BF∥ DE 交 AE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，交 AC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G． （ 1）求證： AB=BG； （ 2）若點(diǎn) P 是直線 BG 上的一點(diǎn)，試確定點(diǎn) P 的位置，使 △ BCP 與 △ BCD 相似． 【分析】 （ 1）利用平行分線段成比例定理得出 = = ，進(jìn)而得出 △ ABC≌△ GBC（ SAS），即可得出答案； （ 2）分別利用第一種情況：若 ∠ CDB=∠ CPB，第二種情況：若 ∠ PCB=∠ CDB，進(jìn)而求出相似三角形即可得出答案． 【解答】 （ 1）證明： ∵ BF∥ DE， ∴ = = ， ∵ AD=BD， ∴ AC=CG， AE=EF， 在 △ ABC 和 △ GBC 中： ， ∴△ ABC≌△ GBC（ SAS）， ∴ AB=BG； （ 2）解：當(dāng) BP 長(zhǎng)為 或 時(shí)， △ BCP 與 △ BCD 相似； ∵ AC=3， BC=4， ∴ AB=5， ∴ CD=， ∴∠ DCB=∠ DBC， ∵ DE∥ BF， ∴∠ DCB=∠ CBP， ∴∠ DBC=∠ CBP， 第一種情況：若 ∠ CDB=∠ CPB，如圖 1： 在 △ BCP 與 △ BCD 中 ， ∴△ BCP≌△ BCD（ AAS）， ∴ BP=CD=； 第二種情況：若 ∠ PCB=∠ CDB，過 C 點(diǎn)作 CH⊥ BG 于 H 點(diǎn)．如圖 2： ∵∠ CBD=∠ CBP， ∴△ BPC∽△ BCD， ∵ CH⊥ BG， ∴∠ ACB=∠ CHB=90176。， ∠ ABC=∠ CBH， ∴△ ABC∽△ CBH， ∴ = ， ∴ BH= ， BP= ． 綜上所述：當(dāng) PB= 或 時(shí)， △ BCP 與 △ BCD 相似． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確利用分類討論分析是解題關(guān)鍵． 16．在矩形 ABCD 中，點(diǎn) E 是 AD 的中點(diǎn)， BE 垂直 AC 交 AC 于點(diǎn) F，求證： △ DEF∽△ EBD． 【分析】 根據(jù)已知結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出 = ，進(jìn)而得出 △ DEF∽△ BED． 【解答】 證明： ∵ AC⊥ BE， ∴∠ AFB=∠ AFE=90176。， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ BAE=90176。， 又 ∵∠ AEF=∠ BEA， ∴△ AEF∽△ BEA， ∴ = ， ∵ 點(diǎn) E 是 AD 的中點(diǎn)， ∴ AE=ED，