【文章內(nèi)容簡介】 的選取無關(guān) . (3)重力勢能的變化與重力做功的關(guān)系： 重力對物體做多少正功，物體的重力勢能就減少多少 .重力對物體做多少負(fù)功，物體的重力勢能就增加多少 .即 WG＝Δ Ep. ：物體因發(fā)生彈性形變而具有的勢能叫做彈性勢能 . 四、機械能守恒定律 (重力勢能和彈性勢能 )統(tǒng)稱為機械能： E＝ Ek＋ Ep. (和系統(tǒng)內(nèi)彈簧的彈 力 )做功的情形下，物體的動能和重力勢能 (及彈性勢能 )發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機械能的總量保持不變 .這個結(jié)論叫做機械能守恒定律 . ： (1)對某一物體，若只有重力 (或系統(tǒng)內(nèi)彈簧的彈力 )做功，其他力不做功 (或其他力做功的代數(shù)和為零 )，則該物體的機械能守恒 . (2)對某一系統(tǒng)，物體間只有動能和重力勢能及彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)跟外界沒有發(fā)生機械能的傳遞，機械能也沒有轉(zhuǎn)變成其他形式的能 (如沒有內(nèi)能產(chǎn)生 )，則系統(tǒng)的機械能守恒 . ： (1)根據(jù)題意，選 取研究對象 (物體或系統(tǒng) ) (2)明確研究對象的運動過程，分析對象在過程中的受力情況，弄清各力做功情況，判斷是否符合機械能守恒的條件 . (3)恰當(dāng)?shù)剡x取參考平面，確定研究對象在過程的起始狀態(tài)和末了狀態(tài)的機械能 (包括動能和重力勢能 ). (4)根據(jù)機械能守恒定律列方程，進行求解 . ●疑難解析 （ 1）聯(lián)系：動能和動量都是描述物體運動狀態(tài)的物理量，都由物體的質(zhì)量和瞬時速度決定，物體的動能和動量的關(guān)系為 p= k2mE 或 Ek= mp22 . （ 2）區(qū)別：①動能是標(biāo)量，動量是矢量 .所以動能變化只是大小變化，而動量變化卻有三種情況：大小變化，方向變化，大小和方向均變化 .一個物體動能變化時動量一定變化，而動量變化時動能不一定變化 .②跟速度的關(guān)系不同： Ek=21 mv2,p=mv.③變化的量度不同，動能變化的量度是合外力的功，動量變化的量度是合外力的沖量 . ：在某些問題中由于力 F 大小的變化或方向變化，所以不能直接由 W＝ Fscosα 求出變力 F 做功的值，此時可由其做 功的結(jié)果 —— 動能的變化來求變力 F 所做的功 . ，如果物體在某個運動過程中包含有幾個運動性質(zhì)不同的分過程 (如加速、減速的過程 )，此時，可以分段考慮，也可對全程考慮 .如能對整個過程列式則可能使問題簡化 .在把各個力的功代入公式： W1＋ W2＋?＋ Wn＝ 21 mv 末 2－ 21 mv 初 2時，要把它們的數(shù)值連同符號代入，解題時要分清各過程中各個力做功的情況 . 根據(jù)機械能守恒定律，當(dāng)重力以外的力不做 功，物體（或系統(tǒng)）的機械能守恒 .顯然，當(dāng)重力以外的力做功不為零時，物體（或系統(tǒng)）的機械能要發(fā)生改變 .重力以外的力做正功，物體（或系統(tǒng)）的機械能增加，重力以外的力做負(fù)功，物體（或系統(tǒng)）的機械能減少，且重力以外的力做多少功，物體（或系統(tǒng)）的機械能就改變多少 .即重力以外的力做功的過程，就是機械能和其他形式的能相互轉(zhuǎn)化的過程，在這一過程中，重力以外的力做的功是機械能改變的量度，即 WG外 =E2E1. 做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化的過程，功是能量轉(zhuǎn)化的量度，在本章中，功和能的關(guān)系有以下幾種具體體現(xiàn)： （ 1）動能定理反映了合外力做的功和動能改變的關(guān)系，即合外力做功的過程，是物體的動能和其他形式的能量相互轉(zhuǎn)化的過程，合外力所做的功是物體動能變化的量度，即 W 總 =Ek2Ek1. （ 2）重力做功的過程是重力勢能和其他形式的能量相互轉(zhuǎn)化的過程，重力做的功量度了重力勢能的變化，即 WG=Ep1Ep2. （ 3）重力以外的力做功的過程是機械能和其他形式的能轉(zhuǎn)化的過程，重力以外的力做的功量度了機械能的變化，即 WG 外 =E2E1 （ 4）作用于系統(tǒng)的滑動摩擦力和系統(tǒng)內(nèi)物體間相對滑動的位移的乘積，在數(shù)值上等于系統(tǒng)內(nèi)能 的增量 .即“摩擦生熱”： Q＝ F 滑 178。 s 相對 ，所以， F 滑 178。 s 相對 量度了機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的多少 . 可見，靜摩擦力即使對物體做功，由于相對位移為零而沒有內(nèi)能產(chǎn)生 . ●典例剖析 ［例 1］如圖 6— 2— 1 所示 ABCD 是一條長軌道，其中 AB 段是傾角為 θ 的斜面， CD 段是水平的 .BC是與 AB 和 CD 都相切的一段圓弧，其長度可以略去不計 .一質(zhì)量為 m 的小滑塊在 A 點從靜止滑下，最后停在 D點 .現(xiàn)用一沿著軌道方向的拉力拉滑塊，使它緩緩地由 D點回到 A點，則拉力對滑塊做的功等于多少 ?(設(shè)滑塊與軌道間的動摩擦因數(shù)為 μ ) 圖 6— 2— 1 mg(s＋ ?sinh ) mgs＋ μ mghcotθ 【解析】滑塊由始狀態(tài) A 從靜止滑到末狀態(tài) D 的過程中，重力做正功 WG＝ mｇ h；摩擦阻力做功為 Wf；支持力不做功 由動能定理： mghWf＝ 0 得 Wf＝ mgh 由 D 返回到 A，拉力做功為 WF；摩擦阻力做功仍為 Wf；重力做功為 WG＝－ mgh 由動能定 理： WF－ Wf－ mgh＝ 0 得 WF＝ Wf＋ mgh＝ 2mgh 本題正確選項是 B. 【思考】 (1)若不拉物體，僅在 D 點給物體一初速度 v0，則 v0多大時恰能使物體沿原路徑回到 A 點 ? (2)若拉力的方向具有任意性，則拉力對物體做功至少為多大 ? (3)本題能否用牛頓第二定律結(jié)合運動學(xué)公式求解 ?用動能定理解題具有哪些優(yōu)點 ? 【思考提示】（ 1）根據(jù)動能定理得 mghWf=021 mv02 v0=2 gh （ 2） mgh （ 3）本題可以用牛頓第二定律結(jié)合運動學(xué)公式求解 .需把物體的運動分為兩段研究 .用動能定理求解的優(yōu)點是，解題時只關(guān)心過程中合外力的功及初、末狀態(tài)物體的動能，不必研究運動過程的細(xì)節(jié) . 【設(shè)計意圖】通過本例說明應(yīng)用動能定理解題的方法和優(yōu)越性 . ［例 2］質(zhì)量為 500 t 的機車以恒定的功率由靜止出發(fā)，經(jīng) 5 min 行駛 km，速度達到最大值 54 km/h,設(shè)阻力恒定且取 g=10 m/：（ 1）機車的功率 P 多大？（ 2）機車的速度為 36 km/h 時機車的加速度 a 多大？ 【解析】因為機車的功率恒定，由公式 P=Fv 可知隨著速度的增加，機車的牽引力必定逐漸減小，機車做變加速運動，雖然牽引力是變力，但由 W=P178。 t 可求出牽引力做功，由動能定理結(jié)合 P=Ff178。 vm，可求出機車的功率 .利用求出的功率和最大速度可求阻力，再根據(jù) F=vP ，求出 36 km/h 時的牽引力，再根據(jù)牛頓第二定律求出機車的加速度 a. （ 1）以機車為研究對象，機車從靜止出發(fā)至達速度最大值過程，根據(jù) W=Δ Ek，有 P178。 tFf178。 s=21 mvm2, ① 當(dāng)機車達到最大速度時， F= P=F178。 vm=Ff178。 vm. ② 聯(lián)立（ 1）、（ 2）式有 P=)(2 m2mstvmv?=179。 105 W. （ 2）由 Ff=mvP 可求出機車受到的阻力 Ff=mvP =179。 104 N. 當(dāng)機車速度 v=36 km/h 時機車的牽引力 F= 5??vP N=179。 104 N. 根據(jù) F 合 =ma 可得機車 v=36 km/h 時的加速度 a=344 10500 ? ?????m FF f m/s2=179。 102 m/s2. 【說明】 機車以恒定功率起動，直到最大速度，屬于變力做功的問題 .由于阻力恒定，所以機車在任一時刻運動的加速度 a= mFmvP f? ,由于速度增大導(dǎo)致加速度減小，汽車做加速度逐漸減小而速度逐漸變大的變加速運動 .此類問題應(yīng)用牛頓第二定律求解，在中學(xué)物理范圍內(nèi)是無法求解的 .但應(yīng)用動能定理求解變力做功，進而求解相關(guān)物理量是一種簡捷優(yōu)化的解題思路與方法 . 【設(shè)計意圖】 （ 1）通過本例題說明如何應(yīng)用動能分析解決機車以恒定功率啟動的問題 . ［例 3］如圖 6— 2— 2 所示，總長為 L 的光滑勻質(zhì)鐵鏈跨過一個光滑的輕小滑輪，開始時底端相齊 .當(dāng)略有拉動時其一端下落，則鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間的速度多大 ? 圖 6— 2— 2 【解析】鐵鏈在運動過程中只有重力做功，機械能守恒 .若設(shè)鐵鏈單位長度的質(zhì)量為 ρ ，且選滑輪最高點所在水平面為參考平面，則初態(tài)機械能 E1＝－ 2178。 ρ 4142 ??? LgL ρ ｇ L2， 末態(tài)機械能為 E2＝－ ρ Lｇ178。 212?L ρ Lv2 由機械能守恒定律得： E1＝ E2 即： 222 212141 LvgLgL ??? ???? 所以 v＝ 2/gL . 【說明】 (1)對繩索、鏈條之類的物體，由于常發(fā)生形變，其重心位置相對物體來說并不是固定不變的 .能否正確確定重心的位置，常是解決該類問題的關(guān)鍵 .一般情況下常分段考慮各部分的勢能，并用各部分勢能之和作為系統(tǒng)總的重力勢能 .至于參考平面，可任意選取，但以系統(tǒng)初、末態(tài)重力勢能便于表示為宜 . (2)此題也可運用等效 方法求解：鐵鏈要脫離滑輪時重力勢能的減少等效于將圖 6— 2— 2 中的一半鐵鏈移至另一半鐵鏈的下端時重力勢能的減少 .然后由Δ Ep＝Δ Ek列方程解 .用Δ Ep＝Δ Eｋ 列方程的優(yōu)點是：不需選取參考平面且便于分析計算，在今后解題中可以大膽使用 . 【設(shè)計意圖】 （ 1）通過本例說明應(yīng)用機械能守恒定律解題的方法 .（ 2）說明對于重心相對自身不固定的物體，如何確定重心位置，求出重力勢能，以及如何用等效法分析解決這類問題 . ※ 例 4 輕桿 AB 長 2L， A 端連在固定軸上， B 端固定一個質(zhì)量為 2m 的小球，中點 C 固定一個質(zhì)量為 m的小球 .AB 桿可 以繞 A 端在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動 .現(xiàn)將桿置于水平位置，如圖 6— 2— 3 所示，然后由靜止釋放，不計各處摩擦與空氣阻力，試求： 圖 6— 2— 3 (1)AB 桿轉(zhuǎn)到豎直位置瞬時，角速度 ω 多大 ? (2)AB 桿轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中， B 端小球的機械能增量多大 ? 【解析】 (1)在 AB 桿由釋放轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中，以 B 球的最低點為零勢能點，根據(jù)機械能守恒定律有： mg2L+2mg(2L)=mgL+21 m(ω L)2+21 178。 2m(ω 2L)2 解得角速度 ω ＝Lg910 (2)在此過程中， B 端小球機械能的增量為 Δ EB＝ E 末 － E 初 ＝ 21 178。 2m（ ω 178。 2L） 2－ 2mg（ 2L）＝ 94 mgL 【說明】 利用機械能守恒定律解題時，經(jīng)常會遇到相關(guān)聯(lián)的多個物體的情況，這時對研究對象的選取一定要慎重，否則一切都無從談起 . 【設(shè)計意圖】 通過本例說明利用機械能守恒定律分析解決由多個物體組成系統(tǒng)的問題的方法 . ●反饋練習(xí) ★夯實基礎(chǔ) 、合外力做功和動能變化的關(guān)系，正確的是 ，那么，合外力對物體做的功一定為零 ，則合外力一定為零 ，動能一定變化 ，所受的合外力必定為零 【解析】 合外力為零，由 W=Fscosα 知，合外力做功一定為零，但合外力做功為零，合外力卻不一定為零，故 A 選項對， B 選項錯 .物體在合外力作用下做變速運動，合外力不一定做功，物體的速率不一定變化，動能 不一定變化（例如勻速圓周運動），同樣，物體的動能不變，它所受的合外力也不一定為零， C、D 選項均錯 . 【答案】 A ，一架直升飛機通過繩索用恒力 F 豎直向上拉起一個漂在水面上的木箱，使其由水面開始加速上升到某一高度，若考慮空氣阻力而不考慮空氣浮力，則在此過程中， ①力 F 所做的功減去克服阻力所做的功等于重力勢能的增量 ②木箱克服重力所做的功等于重力勢能的增量 ③力 F、重力、阻力，三者的合力所做的功等于木箱重力勢能的增量 ④力 F 和阻力的合力所做的功等于木箱機械能的增量 上述說法正確的有 ① B.②④ C.①④ ② 【解析】 物體受重力 mg，空氣阻力 F? ，拉力 F，設(shè)物體上升高度為 h，由動能定理知： WF－ WF′－ mgh＝Δ ③錯，木箱克服重力做功為 mgh， 即為木箱重力勢能增量，所以②對 .由 WF－ WF′＝ mgh＋Δ Ek，所以④對①錯 ,選 B. 【答案】 B m 的物體，從靜止開始以 2g 的加速度豎直向下運動 h，不計空氣阻力，則 ①物體的重力勢能減少 2 mgh ②物體的機械能保持不變 ③物體的動能增加 2 mgh ④物體的機械能增加 mgh 以上說法正確的是 A.①② B.③④ C.①③ ④ 【解析】 物體所受合外力為 2mg，則由動能定理知Δ Ek=2mgh,③對 .除重力外，物體還受到 F=mg 的外力，它做的功為 mgh，故物體的機械能增加了 mgh，④對，故選 B. 【答案】 B L，將質(zhì)量為 m 的鉛球推出，鉛球出手的速度大小為 v0，方向與水平方向成 30176。角，則該運動員對鉛球所做的功是 A. 2 )( 20vglm ? ＋ 21 mv02 C. 21 mv02 ＋ mv02 【解析】 運動員對鉛球的作用力為 F，由動能定理知： WF－ mgLsin30176。＝ 21 mv0