【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的選取無(wú)關(guān) . (3)重力勢(shì)能的變化與重力做功的關(guān)系： 重力對(duì)物體做多少正功，物體的重力勢(shì)能就減少多少 .重力對(duì)物體做多少負(fù)功，物體的重力勢(shì)能就增加多少 .即 WG＝Δ Ep. ：物體因發(fā)生彈性形變而具有的勢(shì)能叫做彈性勢(shì)能 . 四、機(jī)械能守恒定律 (重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能 )統(tǒng)稱為機(jī)械能： E＝ Ek＋ Ep. (和系統(tǒng)內(nèi)彈簧的彈 力 )做功的情形下，物體的動(dòng)能和重力勢(shì)能 (及彈性勢(shì)能 )發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變 .這個(gè)結(jié)論叫做機(jī)械能守恒定律 . ： (1)對(duì)某一物體，若只有重力 (或系統(tǒng)內(nèi)彈簧的彈力 )做功，其他力不做功 (或其他力做功的代數(shù)和為零 )，則該物體的機(jī)械能守恒 . (2)對(duì)某一系統(tǒng)，物體間只有動(dòng)能和重力勢(shì)能及彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)跟外界沒(méi)有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，機(jī)械能也沒(méi)有轉(zhuǎn)變成其他形式的能 (如沒(méi)有內(nèi)能產(chǎn)生 )，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 . ： (1)根據(jù)題意，選 取研究對(duì)象 (物體或系統(tǒng) ) (2)明確研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分析對(duì)象在過(guò)程中的受力情況，弄清各力做功情況，判斷是否符合機(jī)械能守恒的條件 . (3)恰當(dāng)?shù)剡x取參考平面，確定研究對(duì)象在過(guò)程的起始狀態(tài)和末了狀態(tài)的機(jī)械能 (包括動(dòng)能和重力勢(shì)能 ). (4)根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程，進(jìn)行求解 . ●疑難解析 （ 1）聯(lián)系：動(dòng)能和動(dòng)量都是描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，都由物體的質(zhì)量和瞬時(shí)速度決定，物體的動(dòng)能和動(dòng)量的關(guān)系為 p= k2mE 或 Ek= mp22 . （ 2）區(qū)別：①動(dòng)能是標(biāo)量，動(dòng)量是矢量 .所以動(dòng)能變化只是大小變化，而動(dòng)量變化卻有三種情況：大小變化，方向變化，大小和方向均變化 .一個(gè)物體動(dòng)能變化時(shí)動(dòng)量一定變化，而動(dòng)量變化時(shí)動(dòng)能不一定變化 .②跟速度的關(guān)系不同： Ek=21 mv2,p=mv.③變化的量度不同，動(dòng)能變化的量度是合外力的功，動(dòng)量變化的量度是合外力的沖量 . ：在某些問(wèn)題中由于力 F 大小的變化或方向變化，所以不能直接由 W＝ Fscosα 求出變力 F 做功的值，此時(shí)可由其做 功的結(jié)果 —— 動(dòng)能的變化來(lái)求變力 F 所做的功 . ，如果物體在某個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中包含有幾個(gè)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不同的分過(guò)程 (如加速、減速的過(guò)程 )，此時(shí)，可以分段考慮，也可對(duì)全程考慮 .如能對(duì)整個(gè)過(guò)程列式則可能使問(wèn)題簡(jiǎn)化 .在把各個(gè)力的功代入公式： W1＋ W2＋?＋ Wn＝ 21 mv 末 2－ 21 mv 初 2時(shí)，要把它們的數(shù)值連同符號(hào)代入，解題時(shí)要分清各過(guò)程中各個(gè)力做功的情況 . 根據(jù)機(jī)械能守恒定律，當(dāng)重力以外的力不做 功，物體（或系統(tǒng)）的機(jī)械能守恒 .顯然，當(dāng)重力以外的力做功不為零時(shí)，物體（或系統(tǒng)）的機(jī)械能要發(fā)生改變 .重力以外的力做正功，物體（或系統(tǒng)）的機(jī)械能增加，重力以外的力做負(fù)功，物體（或系統(tǒng)）的機(jī)械能減少，且重力以外的力做多少功，物體（或系統(tǒng)）的機(jī)械能就改變多少 .即重力以外的力做功的過(guò)程，就是機(jī)械能和其他形式的能相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程，在這一過(guò)程中，重力以外的力做的功是機(jī)械能改變的量度，即 WG外 =E2E1. 做功的過(guò)程就是能量轉(zhuǎn)化的過(guò)程，功是能量轉(zhuǎn)化的量度，在本章中，功和能的關(guān)系有以下幾種具體體現(xiàn)： （ 1）動(dòng)能定理反映了合外力做的功和動(dòng)能改變的關(guān)系，即合外力做功的過(guò)程，是物體的動(dòng)能和其他形式的能量相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程，合外力所做的功是物體動(dòng)能變化的量度，即 W 總 =Ek2Ek1. （ 2）重力做功的過(guò)程是重力勢(shì)能和其他形式的能量相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程，重力做的功量度了重力勢(shì)能的變化，即 WG=Ep1Ep2. （ 3）重力以外的力做功的過(guò)程是機(jī)械能和其他形式的能轉(zhuǎn)化的過(guò)程，重力以外的力做的功量度了機(jī)械能的變化，即 WG 外 =E2E1 （ 4）作用于系統(tǒng)的滑動(dòng)摩擦力和系統(tǒng)內(nèi)物體間相對(duì)滑動(dòng)的位移的乘積，在數(shù)值上等于系統(tǒng)內(nèi)能 的增量 .即“摩擦生熱”： Q＝ F 滑 178。 s 相對(duì) ，所以， F 滑 178。 s 相對(duì) 量度了機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的多少 . 可見(jiàn)，靜摩擦力即使對(duì)物體做功，由于相對(duì)位移為零而沒(méi)有內(nèi)能產(chǎn)生 . ●典例剖析 ［例 1］如圖 6— 2— 1 所示 ABCD 是一條長(zhǎng)軌道，其中 AB 段是傾角為 θ 的斜面， CD 段是水平的 .BC是與 AB 和 CD 都相切的一段圓弧，其長(zhǎng)度可以略去不計(jì) .一質(zhì)量為 m 的小滑塊在 A 點(diǎn)從靜止滑下，最后停在 D點(diǎn) .現(xiàn)用一沿著軌道方向的拉力拉滑塊，使它緩緩地由 D點(diǎn)回到 A點(diǎn)，則拉力對(duì)滑塊做的功等于多少 ?(設(shè)滑塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 μ ) 圖 6— 2— 1 mg(s＋ ?sinh ) mgs＋ μ mghcotθ 【解析】滑塊由始狀態(tài) A 從靜止滑到末狀態(tài) D 的過(guò)程中，重力做正功 WG＝ mｇ h；摩擦阻力做功為 Wf；支持力不做功 由動(dòng)能定理： mghWf＝ 0 得 Wf＝ mgh 由 D 返回到 A，拉力做功為 WF；摩擦阻力做功仍為 Wf；重力做功為 WG＝－ mgh 由動(dòng)能定 理： WF－ Wf－ mgh＝ 0 得 WF＝ Wf＋ mgh＝ 2mgh 本題正確選項(xiàng)是 B. 【思考】 (1)若不拉物體，僅在 D 點(diǎn)給物體一初速度 v0，則 v0多大時(shí)恰能使物體沿原路徑回到 A 點(diǎn) ? (2)若拉力的方向具有任意性，則拉力對(duì)物體做功至少為多大 ? (3)本題能否用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解 ?用動(dòng)能定理解題具有哪些優(yōu)點(diǎn) ? 【思考提示】（ 1）根據(jù)動(dòng)能定理得 mghWf=021 mv02 v0=2 gh （ 2） mgh （ 3）本題可以用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解 .需把物體的運(yùn)動(dòng)分為兩段研究 .用動(dòng)能定理求解的優(yōu)點(diǎn)是，解題時(shí)只關(guān)心過(guò)程中合外力的功及初、末狀態(tài)物體的動(dòng)能，不必研究運(yùn)動(dòng)過(guò)程的細(xì)節(jié) . 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)本例說(shuō)明應(yīng)用動(dòng)能定理解題的方法和優(yōu)越性 . ［例 2］質(zhì)量為 500 t 的機(jī)車以恒定的功率由靜止出發(fā)，經(jīng) 5 min 行駛 km，速度達(dá)到最大值 54 km/h,設(shè)阻力恒定且取 g=10 m/：（ 1）機(jī)車的功率 P 多大？（ 2）機(jī)車的速度為 36 km/h 時(shí)機(jī)車的加速度 a 多大？ 【解析】因?yàn)闄C(jī)車的功率恒定，由公式 P=Fv 可知隨著速度的增加，機(jī)車的牽引力必定逐漸減小，機(jī)車做變加速運(yùn)動(dòng)，雖然牽引力是變力，但由 W=P178。 t 可求出牽引力做功，由動(dòng)能定理結(jié)合 P=Ff178。 vm，可求出機(jī)車的功率 .利用求出的功率和最大速度可求阻力，再根據(jù) F=vP ，求出 36 km/h 時(shí)的牽引力，再根據(jù)牛頓第二定律求出機(jī)車的加速度 a. （ 1）以機(jī)車為研究對(duì)象，機(jī)車從靜止出發(fā)至達(dá)速度最大值過(guò)程，根據(jù) W=Δ Ek，有 P178。 tFf178。 s=21 mvm2, ① 當(dāng)機(jī)車達(dá)到最大速度時(shí)， F= P=F178。 vm=Ff178。 vm. ② 聯(lián)立（ 1）、（ 2）式有 P=)(2 m2mstvmv?=179。 105 W. （ 2）由 Ff=mvP 可求出機(jī)車受到的阻力 Ff=mvP =179。 104 N. 當(dāng)機(jī)車速度 v=36 km/h 時(shí)機(jī)車的牽引力 F= 5??vP N=179。 104 N. 根據(jù) F 合 =ma 可得機(jī)車 v=36 km/h 時(shí)的加速度 a=344 10500 ? ?????m FF f m/s2=179。 102 m/s2. 【說(shuō)明】 機(jī)車以恒定功率起動(dòng)，直到最大速度，屬于變力做功的問(wèn)題 .由于阻力恒定，所以機(jī)車在任一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的加速度 a= mFmvP f? ,由于速度增大導(dǎo)致加速度減小，汽車做加速度逐漸減小而速度逐漸變大的變加速運(yùn)動(dòng) .此類問(wèn)題應(yīng)用牛頓第二定律求解，在中學(xué)物理范圍內(nèi)是無(wú)法求解的 .但應(yīng)用動(dòng)能定理求解變力做功，進(jìn)而求解相關(guān)物理量是一種簡(jiǎn)捷優(yōu)化的解題思路與方法 . 【設(shè)計(jì)意圖】 （ 1）通過(guò)本例題說(shuō)明如何應(yīng)用動(dòng)能分析解決機(jī)車以恒定功率啟動(dòng)的問(wèn)題 . ［例 3］如圖 6— 2— 2 所示，總長(zhǎng)為 L 的光滑勻質(zhì)鐵鏈跨過(guò)一個(gè)光滑的輕小滑輪，開始時(shí)底端相齊 .當(dāng)略有拉動(dòng)時(shí)其一端下落，則鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間的速度多大 ? 圖 6— 2— 2 【解析】鐵鏈在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，機(jī)械能守恒 .若設(shè)鐵鏈單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 ρ ，且選滑輪最高點(diǎn)所在水平面為參考平面，則初態(tài)機(jī)械能 E1＝－ 2178。 ρ 4142 ??? LgL ρ ｇ L2， 末態(tài)機(jī)械能為 E2＝－ ρ Lｇ178。 212?L ρ Lv2 由機(jī)械能守恒定律得： E1＝ E2 即： 222 212141 LvgLgL ??? ???? 所以 v＝ 2/gL . 【說(shuō)明】 (1)對(duì)繩索、鏈條之類的物體，由于常發(fā)生形變，其重心位置相對(duì)物體來(lái)說(shuō)并不是固定不變的 .能否正確確定重心的位置，常是解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵 .一般情況下常分段考慮各部分的勢(shì)能，并用各部分勢(shì)能之和作為系統(tǒng)總的重力勢(shì)能 .至于參考平面，可任意選取，但以系統(tǒng)初、末態(tài)重力勢(shì)能便于表示為宜 . (2)此題也可運(yùn)用等效 方法求解：鐵鏈要脫離滑輪時(shí)重力勢(shì)能的減少等效于將圖 6— 2— 2 中的一半鐵鏈移至另一半鐵鏈的下端時(shí)重力勢(shì)能的減少 .然后由Δ Ep＝Δ Ek列方程解 .用Δ Ep＝Δ Eｋ 列方程的優(yōu)點(diǎn)是：不需選取參考平面且便于分析計(jì)算，在今后解題中可以大膽使用 . 【設(shè)計(jì)意圖】 （ 1）通過(guò)本例說(shuō)明應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的方法 .（ 2）說(shuō)明對(duì)于重心相對(duì)自身不固定的物體，如何確定重心位置，求出重力勢(shì)能，以及如何用等效法分析解決這類問(wèn)題 . ※ 例 4 輕桿 AB 長(zhǎng) 2L， A 端連在固定軸上， B 端固定一個(gè)質(zhì)量為 2m 的小球，中點(diǎn) C 固定一個(gè)質(zhì)量為 m的小球 .AB 桿可 以繞 A 端在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng) .現(xiàn)將桿置于水平位置，如圖 6— 2— 3 所示，然后由靜止釋放，不計(jì)各處摩擦與空氣阻力，試求： 圖 6— 2— 3 (1)AB 桿轉(zhuǎn)到豎直位置瞬時(shí)，角速度 ω 多大 ? (2)AB 桿轉(zhuǎn)到豎直位置的過(guò)程中， B 端小球的機(jī)械能增量多大 ? 【解析】 (1)在 AB 桿由釋放轉(zhuǎn)到豎直位置的過(guò)程中，以 B 球的最低點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有： mg2L+2mg(2L)=mgL+21 m(ω L)2+21 178。 2m(ω 2L)2 解得角速度 ω ＝Lg910 (2)在此過(guò)程中， B 端小球機(jī)械能的增量為 Δ EB＝ E 末 － E 初 ＝ 21 178。 2m（ ω 178。 2L） 2－ 2mg（ 2L）＝ 94 mgL 【說(shuō)明】 利用機(jī)械能守恒定律解題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到相關(guān)聯(lián)的多個(gè)物體的情況，這時(shí)對(duì)研究對(duì)象的選取一定要慎重，否則一切都無(wú)從談起 . 【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)本例說(shuō)明利用機(jī)械能守恒定律分析解決由多個(gè)物體組成系統(tǒng)的問(wèn)題的方法 . ●反饋練習(xí) ★夯實(shí)基礎(chǔ) 、合外力做功和動(dòng)能變化的關(guān)系，正確的是 ，那么，合外力對(duì)物體做的功一定為零 ，則合外力一定為零 ，動(dòng)能一定變化 ，所受的合外力必定為零 【解析】 合外力為零，由 W=Fscosα 知，合外力做功一定為零，但合外力做功為零，合外力卻不一定為零，故 A 選項(xiàng)對(duì)， B 選項(xiàng)錯(cuò) .物體在合外力作用下做變速運(yùn)動(dòng)，合外力不一定做功，物體的速率不一定變化，動(dòng)能 不一定變化（例如勻速圓周運(yùn)動(dòng)），同樣，物體的動(dòng)能不變，它所受的合外力也不一定為零， C、D 選項(xiàng)均錯(cuò) . 【答案】 A ，一架直升飛機(jī)通過(guò)繩索用恒力 F 豎直向上拉起一個(gè)漂在水面上的木箱，使其由水面開始加速上升到某一高度，若考慮空氣阻力而不考慮空氣浮力，則在此過(guò)程中， ①力 F 所做的功減去克服阻力所做的功等于重力勢(shì)能的增量 ②木箱克服重力所做的功等于重力勢(shì)能的增量 ③力 F、重力、阻力，三者的合力所做的功等于木箱重力勢(shì)能的增量 ④力 F 和阻力的合力所做的功等于木箱機(jī)械能的增量 上述說(shuō)法正確的有 ① B.②④ C.①④ ② 【解析】 物體受重力 mg，空氣阻力 F? ，拉力 F，設(shè)物體上升高度為 h，由動(dòng)能定理知： WF－ WF′－ mgh＝Δ ③錯(cuò)，木箱克服重力做功為 mgh， 即為木箱重力勢(shì)能增量，所以②對(duì) .由 WF－ WF′＝ mgh＋Δ Ek，所以④對(duì)①錯(cuò) ,選 B. 【答案】 B m 的物體，從靜止開始以 2g 的加速度豎直向下運(yùn)動(dòng) h，不計(jì)空氣阻力，則 ①物體的重力勢(shì)能減少 2 mgh ②物體的機(jī)械能保持不變 ③物體的動(dòng)能增加 2 mgh ④物體的機(jī)械能增加 mgh 以上說(shuō)法正確的是 A.①② B.③④ C.①③ ④ 【解析】 物體所受合外力為 2mg，則由動(dòng)能定理知Δ Ek=2mgh,③對(duì) .除重力外，物體還受到 F=mg 的外力，它做的功為 mgh，故物體的機(jī)械能增加了 mgh，④對(duì)，故選 B. 【答案】 B L，將質(zhì)量為 m 的鉛球推出，鉛球出手的速度大小為 v0，方向與水平方向成 30176。角，則該運(yùn)動(dòng)員對(duì)鉛球所做的功是 A. 2 )( 20vglm ? ＋ 21 mv02 C. 21 mv02 ＋ mv02 【解析】 運(yùn)動(dòng)員對(duì)鉛球的作用力為 F，由動(dòng)能定理知： WF－ mgLsin30176。＝ 21 mv0