【文章內(nèi)容簡介】 f ???(x)?2ex?ex?x ex?3ex?x ex? ?????? f (n)(x)?nex?xex。 f (k)(0)?k (k?1??2?????????n)? 所以 )(! )0( !3 )0(!2 )0()0()0( )(32 nnnx xoxnfxfxfxffxe ????????????????? )()!1( 1 !21 32 nn xoxnxxx ?????????? 8? 驗(yàn)證當(dāng)210 ??x時(shí) ??按公式621 32 xxxe x ????計(jì)算 ex 的近似值時(shí) ??所產(chǎn)生的誤差小于 0?01??并求 e 的近似值 ??使誤差小于 0?01? 解 因?yàn)楣?21 32 xxxe x ????右端為 ex 的三階麥克勞林公式 ? 其余項(xiàng)為 43 !4)( xexR ??? 所以 當(dāng)210 ??x時(shí)，按公式621 32 xxxe x ????計(jì)算 ex 的誤差 ? 0 4 )21(!43|!4||)(| 42143 ???? xexR? ? 6 4 )21(61)21(21211 3221 ???????? ee ?? 9? 應(yīng)用三階泰勒公式求下列各數(shù)的近似值 ??并估計(jì)誤差 ?? (1)330 ? (2)sin 18???? 解 (1)設(shè) 3)( xxf ? ? 則 f(x)在 x0?27 點(diǎn)展開成三階泰勒公式為 2353233 )27)(2792(!21)27(273127)( ?????????? ?? xxxxf 4311338 )27)(8180(!41)27)(272710(!31 ???????? ?? xx ?(?介于 27 與 x 之間 )? 于是 3382353233 3)272710(!313)2792(!21327312730 ????????????? ??? 1 0 7 2 )3531311(3 1063 ?????? 其誤差為 511431143113 !4 803278180!41|3)8180(!41||)30(| ??? ???????????? ?R? (2) 已知 43!4sin!31sin xxxx ????(?介于 0 與 x 之間 )? 所以 sin 18? 3 0 9 )10(!311010s i n 3 ???? ??????其誤差為 ? 4443 )10(!4 6si n|)10(!4si n||)10(| ????? ?????R ? 10? 利用泰勒公式求下列極限 ?? (1) )23(l im 4 343 23 xxxxx ???????? (2))]1ln([coslim 2202xxx exxx ??? ???? (3)2220 si n)(co s1211lim2 xexxxxx ??????? 解 (1)tttxxxxxxxtxx430434 343 23 2131l i m12131l i m)23(l i m ??????????? ???????? ???因?yàn)?)(1313 tott ???? ? )(211214 tott ????? 所以 23])(23[l i m)](211[)](1[l i m)23(l i m004 343 23 ??????????????????? ttot tottotxxxxttx? (2)])1l n (1[)](41!21211[)](!41!211[l i m)]1l n ([c o sl i m 1344244202202xxxx xxxoxxxoxxxxxex????????????? ? ??? 010)1l n (1)(121l i m 11340 ???????? ?? exxxoxxx?? 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(2) 0)2)(2(28222 ??????? x xxxy?令 y??0 得駐點(diǎn) x1?2? x2??2(舍去 )? 因?yàn)楫?dāng) x?2 時(shí) ? y?0? 當(dāng) 0?x?2 時(shí) ? y??0? 所以函數(shù)在 (0? 2]內(nèi)單調(diào)減少 ? 在 [2? ??)內(nèi)單調(diào)x (??? ?1) ?1 (?1? 3) 3 (3? ??) y? ? 0 ? 0 ? y ↗ ↘ ↗ 增加 ? (3)223 )694( )1)(12(60 xxx xxy ?? ?????? 令 y??0 得駐點(diǎn)211?x? x2?1? 不可導(dǎo)點(diǎn)為 x?0? 列表得 x (??? 0) 0 (0? 21 ) 21 (21 ???? 1 (1? ??) y? ?? 不存在 ? 0 ? 0 ? y ↘ ↘ ０ ↗ ↘ 可見函數(shù)在 (??? 0)? ]21 ,0(? [1? ??)內(nèi)單調(diào)減少 ? 在 ]1 ,21[上單調(diào)增加 ? (4)因?yàn)?01 1)12 21(11 222 ????????? xxxxxy? 所以函數(shù)在 (??? ??)內(nèi)單調(diào)增加 ? (5) y??(x?1)3?3(x?1)(x?1)2 2)1)(21(4 ??? xx? 因?yàn)楫?dāng)21?x時(shí) ? y??0? 當(dāng)21?x時(shí) ? y??0? 所以函數(shù)在 ]21 ,(??內(nèi)單調(diào)減少 ? 在 ) ,21[ ??內(nèi)單調(diào)增加 ? (6)3 2 )()2(3)32(xaaxaxy ?? ???? ? 駐點(diǎn)為 321 ax? ? 不可導(dǎo)點(diǎn)為 22 ax? ? x3?a ? 列表得 x )2 ,( a?? 2a )32 ,2( aa 32a ) ,32( aa a (a? ??) y? + 不存在 + 0 ? 不存在 ??y ↗ ↗ ↘ ↗ 可見函數(shù)在 )2 ,( a??? ]32 ,2( aa? 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(5)當(dāng) x?4 時(shí) ? 2x?x2? 證明 (1)設(shè) xxxf ???? 1211)(? 則 f (x)在 [0? ??)內(nèi)是連續(xù)的 ? 因?yàn)? xxf ???? 12 121)( 012 11 ????? xx? 所以 f (x)在 (0? ??)內(nèi)是單調(diào)增加的 ? 從而當(dāng) x?0 時(shí) f (x)f (0)?0? 即 01211 ???? xx? 也就是 xx ??? 1211? (2)設(shè) 22 1)1l n (1)( xxxxxf ?????? ? 則 f (x)在 [0? ??)內(nèi)是連續(xù)的 ? 因?yàn)? 0)1l n (1)11(11)1l n ()( 22222 ????????????????? xxxxxxxxxxxxf? 所以 f (x)在 (0? ??)內(nèi)是單調(diào)增加的 ? 從而當(dāng) x?0 時(shí) f(x)?f(0)?0? 即 01)1l n (1 22 ?????? xxxx ? 也就是 22 1)1l n (1 xxxx ????? ? (3)設(shè) f(x)?sin x?tan x?2x? 則 f(x)在 )2 ,0[ ?內(nèi)連續(xù) ? f ?(x)?cos x?sec2x?2x xxx 22c o s ]c o s)1)[ (c o s1(c o s ????? 因?yàn)樵?)2 ,0( ?內(nèi) cos x?1?0? cos2x?1?0? ?cos x?0? 所以 f ?(x)?0? 從而 f(x)在 )2 ,0( ?內(nèi)單調(diào)增加 ? 因此當(dāng)20 ???x時(shí) ? f(x)?f(0)?0? 即 sin x?tan x?2x?0? 也就是 sin x?tan x?2x? (4)設(shè) 331tan)( xxxxf ???? 則 f(x)在 )2 ,0[ ?內(nèi)連續(xù) ? )) (t a n( t a nt a n1s e c)( 2222 xxxxxxxxxf ????????? ? 因?yàn)楫?dāng)20 ???x時(shí) ? tan x?x? tan x?x?0? 所以 f ?(x)在 )2 ,0( ?內(nèi)單調(diào)增加 ? 因此當(dāng)20 ???x