【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 由落體運(yùn)動(dòng)，到達(dá)地面的速度分別為 vA= Agh2 =例 12．如圖所示，一個(gè)彈簧臺(tái)秤的秤盤質(zhì)量和彈簧質(zhì)量都不計(jì)。盤內(nèi)放一物體 Q處于靜止， Q的質(zhì)量 M=12kg，彈簧的勁度系數(shù) k=800N/m， 現(xiàn)在給 Q施加一個(gè)豎直向上的力 F，使 Q從靜止開 始向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。已知在頭 F是變力，在 F是恒力 (g取 10m/s2)。 則 F 的最小值是多少 ? 最大值是多少 ? 分 析與解 ：由于不計(jì)秤盤的質(zhì)量，可以將物體和秤盤看成一個(gè)整體分析。 未用向上的力 F前，物體處于平衡狀態(tài)，設(shè)彈簧壓縮量為 x1，則有 Mg = kx1???? 物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)， a為恒量，物體和秤盤受重力 Mg、彈簧向上的彈 力 kx、向上的拉力不從心 Ｆ ，物體向上運(yùn)動(dòng)，彈力減小，外力 F增大，相互調(diào)節(jié)，才能保證合 力不變，加速度不變。 Ｆ 為恒力，則彈力必然為零，所以，在 t =，物體與秤 盤恰好分離，由于秤盤不計(jì)質(zhì)量，所以，彈簧應(yīng)恰好恢復(fù)到原長(zhǎng)。物體在 內(nèi)上升高度 h = x1 = 21 a t2 ???? 從上兩式可知： Ｍ、 k 、 t 已知， x1可求，則 a可求。 當(dāng)彈簧壓縮量為 x時(shí)，由牛頓第二定律，得 F + kx— Mg = Ma ???? 從?式分析可知： t = 0時(shí)， x= x1 kx1 =Mg， 則 F最小，且 Fmin = Ma ???? t= ， F應(yīng)為最大，且 Fmax— Mg =M a ???? 從??兩式求出加速度 a= ，由?式得 Fmin=90N，由?式得 Fmax= 210N。 例 13．如圖所示，一個(gè)帶負(fù)電的小球，質(zhì)量 為 m，電量為 q，從傾角為 θ 的光滑斜面由靜止開始下滑，且斜面固定在磁感強(qiáng)度為 B的勻彈磁場(chǎng)中 .求小球在斜面上 滑行的最大距離和最大速度． 分析與解 ：小球開始運(yùn)動(dòng)后，受到重力 mg、斜面支持力不從心 FN和洛侖茲力 f =qvB的共同作用，且 f隨 v的增大而增大， FN = mg cosθ — qvB 隨 v增大而減?。划?dāng) FN=0 時(shí)，小球與斜面恰好分離，同時(shí)在斜面上的速度達(dá)到最大值．這時(shí)，小球僅受到重力和洛侖茲力的作用。由∑ Fy = 0 ,有 q B vmax= mg cosθ 所以在斜面上的最大速度為 vmax= mg cosθ / q B 小球在斜面上始終以加速度 a =gsinθ 作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)速度達(dá)到最大值時(shí)，沿斜面通過的距離也達(dá)到最大值．且為 Smax = ??sin2 cos2 22222m axBq gmav ? 12 例 14．如圖所示，一個(gè)半徑為 R的光滑半球，固定在磁感強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一個(gè)質(zhì)量為 m的帶電小球．從球頂由靜止開始沿右側(cè)滑下 ,且始終未脫離球面．試分析小球帶什么電荷 ?電量至少得多少 ? 分析與解 ：小球要始終不脫離球面，必須有洛侖茲力提供向心力，由左手定則，小球帶負(fù)電。 小球到達(dá)地面瞬時(shí)，速度最大．所需要的向心力最大．這時(shí)，重力的法線方向的分量為零，向心力由洛侖茲力和球面彈力提供，即 qvB — FN = mRv2 , 或 f — FN = mRv2 , f = FN + mRv2 ：當(dāng) FN恰好為 零時(shí)， f 有最小值，相應(yīng)的電量也最小。根據(jù)機(jī)械能守恒有 mgR =21 mv2 v = gR2 由牛頓第二定律， qvB = mRv2 ，所以小球帶電量至少為 BRgRm 2 ． 例 15．如圖所示 ,一個(gè)質(zhì)量為 m，帶電量為＋ q 的小球 ,固定在長(zhǎng)為 Ｌ 的輕桿一端，并可以另一端 O 為軸在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)．小球處于磁感強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．先將小球拉至左端水平位置；然 后無初速釋放 .試分析 :當(dāng)帶電量滿足什么條件時(shí)，小球在擺動(dòng)過程中才可能有時(shí)受到桿的拉力，有時(shí)又受到輕桿的壓力 ?且拉力和壓力各出現(xiàn)在什么范圍 ? 分析與解：在輕桿對(duì)小球的彈力從拉力 (沿桿指向圓心 )，變?yōu)閴毫Γㄑ貤U指向圓外）的過程中，必然存在著彈力 FN =0的分界限． 設(shè)桿轉(zhuǎn)過角度 θ 0時(shí) ，對(duì)小球的彈力恰好為零．且這時(shí)小球的速度為 v0，帶電量為 q0 如圖所示．根據(jù)機(jī)械能守恒 mg Lsinθ 0 = 21 mv02 得 v0 = 0sin2 ?gL Lv20 由牛頓第二定律和向心力公式得： q0 v0B — mgsinθ 0 = m 由上兩式可得 q0 = BLgLisnm 223 0? 所以，小球的帶電量應(yīng)滿足以下條件 q ≥ BLgLisnm 223 0? ， 對(duì) 應(yīng) 的 臨 界 角 為 θ 0 = sin— 1 gmBLq2 2292 根據(jù)擺球運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，可以看出： 當(dāng) 0＜ θ ＜ θ 0和 π — θ 0＜ θ ＜ π 時(shí)，小球受到桿的拉力； 當(dāng) θ 0＜ θ ＜ π — θ 0時(shí)，小球受到桿的壓力。 例 16． 如圖所示 ,豎直絕緣桿處于方向彼此垂直、大小為 E、 B的勻強(qiáng)電、磁場(chǎng)中 .一個(gè)質(zhì)量為 m、電量為 q的小球 ， 從靜止開始沿桿下滑 ,且與桿的摩擦因數(shù)為 μ ． 試計(jì)算 :： ? 小球速度多大時(shí) ， 加速度最大 ？ 最大值是多少 ? ? 小球下滑的最大速度是多少 ? 分析與解 ：小球開始下滑后，在水平方向始終受到方向相反的電場(chǎng)力（ qE）和洛侖茲力 13 mg = μ ( qvB — qE)，得最大速度為 vmax =qBqEmg ?? 各個(gè)階段和臨界狀態(tài)的受力圖如圖所示。 三．臨界量 a = 0或 ∑F= 0 的應(yīng)用 物體在作加速度隨時(shí)間不斷減小的變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí) ， 其運(yùn)動(dòng)速度最終會(huì)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值 ， 即收尾速度 ． 然后 ,開始以收尾速度作勻速直線運(yùn)動(dòng) ； 當(dāng)加速度方向與速度方向相同時(shí) ， 收尾速度最大 ， 當(dāng)加速度方向與速度方向相反時(shí) ， 收尾速度最小 ． 但是 ， 不論達(dá)到哪一種收尾速度，其臨界量都是加速度為零或者受到合外力為零 ,即 a = 0 或者 ∑F = 0 物體處于上述收尾速度恒定的動(dòng)平衡狀態(tài)或瞬時(shí)加速度為零的狀態(tài)時(shí) ,具有一系列的重要特點(diǎn) : ? 在電動(dòng)式導(dǎo)軌問題中 ,電源功率等于可動(dòng)邊的機(jī)械功率 與焦耳熱功率之和 .即 P 電 = P 機(jī) + P 熱 在發(fā)電式導(dǎo)軌問題中 ,外力的機(jī)械功率等于回路的電功率 ,即 P 機(jī) = P 電 瞬時(shí)加速度為零的物體可以作為慣性參照系 —— 瞬時(shí)慣性系 ． 例如 ,固定有半圓形光滑分析與解 ： ?當(dāng)安培力增大到恰好與重力沿斜面的分力平衡時(shí)，導(dǎo)體的加速度為零，其速度達(dá)最大值，即 mgsin30176。 = BIL I = ε /R = BLv /R 所以，最大速度 vmax = mgsin30176。 R/ B2 L2= ? 當(dāng)以最大速度勻速下滑時(shí)，重力的機(jī)械功率等于電功率，這 ab釋放的電功率為 P = mgsin 30176。 vmax = 例 18． .如圖所示 ,平行金屬導(dǎo)軌的間距為 Ｌ ， 與水平面的夾角為 θ ， 處于磁感強(qiáng)度為 B、方向垂直框架平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中 ， 所連電阻的阻值為 R， 導(dǎo)體 ab 的質(zhì)量為 m， 與導(dǎo)軌的摩擦因數(shù)為 μ ， 從靜止開始下滑 ， 不計(jì)其 它 電阻 ， 求 ab 的最大速度 ． 分析與解 ：當(dāng)阻礙運(yùn)動(dòng)的摩擦力、安培力與重力沿斜面的分力恰好平衡時(shí) ， ab 的 14 加速度為零，速度達(dá)到最大值，即 mg sinθ = μ mgcosθ + BIL????? 回路中的電流為 I = RBLvmax ????? 由上面兩式可得最大速度 vmax= 22 )c os(s in LBmgR ??? ?。 例 19． .如圖所示 ,絕緣細(xì)桿上 ,有一個(gè)質(zhì)量為 m、帶電量為＋ q 的小球 .小球與桿的摩擦因數(shù)為 μ ,置于磁感強(qiáng)度 B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中 ,且桿與 水平方向夾角為 θ. 小球由靜止開始下滑 .求小球下滑過程中的最大加速度和最大速度過 . 分析與解 ：小球滑動(dòng)后，受到重力 mg、支持力 FN、摩擦力 f =μ FN 和活侖茲力 F = qvB 的作用： F 隨 v 的增大而增大；支持力 FN = mgcosθ — qvB 及 f 均隨 v 的增大而減小。 加速度 a = m fmg ??sin 隨 v的增大而增大。 當(dāng) FN恰好等于零時(shí)，摩擦力 f = μ FN= 0，此時(shí)加速度恰好達(dá)到最 大值，此時(shí)小球受到的合力為 mgsinθ . 所以小球的加速度最大值為 amax= gsinθ 當(dāng) FN=0 時(shí)，有 mgcosθ = qBv0 。這時(shí)小球的速度 v0 = mgcosθ /q B 當(dāng)小球的速度增至 v′＞ v0后，相應(yīng)的洛侖茲力也增至 F′ =qBv′＞ mgcosθ 于是，細(xì)桿對(duì)小球的彈力反向，垂直于桿向下，如圖所示。這時(shí)，摩擦力為 f′ =μ FN= μ ( qv′ B — mgcosθ ) f ′隨 v′ 增大而增大，小球受到的合外力為（ mgsinθ — f′）隨 v′的增大而減小，即小球做加速度 減小的變加速運(yùn)動(dòng)。 當(dāng)加速度恰好為零時(shí)，速度達(dá)到最大值，根據(jù)合力為零列方程： mgsinθ = f′ = μ (qB vmax— mgcosθ ) vmax=qB mg? ??? )c os(s in ? 例 ，套著質(zhì)量 m = ,帶正電荷 q =4 10— 4C 的小球，彼此間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ = ．置于相互垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)之中，如圖所示．電場(chǎng)強(qiáng)度 E=10N./C，磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=．小球由靜止開始沿棒滑下，求最大加速度和最大速度 分析與解 ：小球運(yùn)動(dòng)后受重力 mg、電場(chǎng)力 F=qE、洛侖茲力FB=qvB、彈力 FN =qE+qvB，摩擦力 f =μ FN的共同作用，加速度為 a= m qv BqEmg )( ?? ? 。當(dāng) v=0時(shí)，加速度最大，為 amax= mqEmg ?? =2m/s2 當(dāng) a =0時(shí)，速度最大，為 vmax=qBqEmg? ??=5m/s 例 21． .如圖所示 ,間距 L=1m 的平行金屬導(dǎo)軌 ,處于磁感強(qiáng)度為 B= 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中 .質(zhì)量 m=、電阻 R= 的金屬桿 ab,可以在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動(dòng) ． ab 中點(diǎn) 懸掛 15 有質(zhì)量 中產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì) ε 0 = BLv，從而使 ab中的電流強(qiáng)度為 I= RBLv?? ， Ｆ B、∑ F均隨 v的增大而減小，當(dāng)∑ F減為零時(shí)， a=0，速度達(dá)到最大值，即 （ Ｍ＋ m） g = FB+ BIL = F+ B LRBLvmax?? ．所以，小球在水中的收尾速度最大，即 vmax= 22 ])[( LB RFgmMBL ????=． 當(dāng)小球以 vmax出水后，浮力為零，安培力為 FB= B LRBLvmax?? =10N．因?yàn)?FB＜ (M+m)g，合外力方向向下 ，ab開始向上作變減速直線運(yùn)動(dòng)．這時(shí) FB 隨 v減小而增大，合外力∑ F＝ (M+m)g— FB則隨 v的減小而減?。? 當(dāng)∑ F=0 時(shí)， a＝０，速度達(dá)到最小值．由 （ Ｍ＋ m） g= B LRBLvmin?? ? 線框勻速上升過程中產(chǎn)生的焦耳熱 。 ? 線框勻速上升過程中導(dǎo)線橫截面的電量 .． 分析與解 ：?以系統(tǒng)為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件 (M— m)g =BIL =B LRBLv 得勻速上升的速度為 v =22 )( LB gRmM? ?當(dāng)勻速粘升時(shí)，系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能等于線框中產(chǎn)生的焦耳熱，所以 Q =(M— m) gL = J ?根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，線框進(jìn)入磁場(chǎng)中產(chǎn)生的感應(yīng)電量為 q = I △ t = RttRtR ?????????? 1? = RBL2 =． 例 24．如圖所示 ,在寬為 L=10cm的光滑豎直導(dǎo)軌上 ,電源