【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 九 、（本題滿分 10 分） 有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線 )0)(( ?? yyx ? 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為 2 ，當(dāng)以 min/3 3m 的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí)，液面的面積將以 min/2m? 的速率均勻擴(kuò)大（假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無(wú)液體） . (1) 根據(jù) t 時(shí)刻液面的面積，寫(xiě)出 t 與 )(y? 之間的關(guān)系式； (2) 求曲線 )(yx ?? 的方程 . (注： m 表示長(zhǎng)度單位米， min 表示時(shí)間單位分 .) 十 、（本題滿分 10 分） 設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且.0)( ?? xf 若極限 ax axfax ????)2(lim 存在，證明： (1) 在 (a,b)內(nèi) f(x)0。 (2)在 (a,b)內(nèi)存在點(diǎn) ? ，使)(2)(22??fdxxf abba ???； (3) 在 (a,b) 內(nèi)存在與 (2)中 ? 相異的點(diǎn) ? ，使 ????? ba dxxfaabf .)(2))(( 22 ? ?? 十 一、（本題滿分 10 分） 若矩陣???????????60028022aA 相似于對(duì)角陣 ? ，試確定常數(shù) a 的值；并求可逆矩陣 P 使.1 ??? APP 十二 、（本題滿分 8 分） 已知平面上三條不同直線的方程分別為 :1l 032 ??? cbyax ， :2l 032 ??? acybx ， :3l 032 ??? baycx . 試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為 .0??? cba 2022 年考碩數(shù)學(xué)（二）真題 一 . 填空題（本題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分 . 把答案填在題中橫線上 . ） （ 1）設(shè)2( 1)( ) lim 1n nxfx nx?? ?? ?, 則 ()fx的間斷點(diǎn)為 x? . （ 2）設(shè)函數(shù) ()yx 由參數(shù)方程 333131x t ty t t? ? ? ???? ? ??? 確定 , 則曲線 ()y yx? 向上凸的 x 取值范圍為 ____.. （ 3）1 2 1dxxx?? ??? _____.. （ 4）設(shè)函數(shù) ( , )z z x y? 由方程 23 2xzz e y???確定 , 則 3 zzxy????______. （ 5）微分方程 3( ) 2 0y x dx xdy? ? ?滿足1 65xy ? ?的特解為 _______. （ 6）設(shè)矩陣 2 1 01 2 00 0 1A???????, 矩陣 B 滿足 2AB A BA E????, 其中 A? 為 A 的伴隨矩陣 , E 是單位矩陣 , 則 B? ______. 二 . 選擇題（本題共 8 小題，每小題 4 分，滿分 32 分 . 每小 題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求 , 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) . ） （ 7）把 0x ?? 時(shí)的無(wú)窮小量 20 cosx t dt? ??, 20 tanx tdt? ??, 30 sinx t dt? ??排列起來(lái) , 使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小 , 則正確的排列次序是 （ A） , , .? ? ? （ B） , , .?? ? （ C） , , .??? （ D） , , .? ? ? ?? （ 8）設(shè) ( ) (1 )f x x x??, 則 （ A） 0x? 是 ()fx的極值點(diǎn) , 但 (0,0) 不是曲線 ()y f x? 的拐點(diǎn) . （ B） 0x? 不是 ()fx的極值點(diǎn) , 但 (0,0) 是曲線 ()y f x? 的拐點(diǎn) . （ C） 0x? 是 ()fx的極值點(diǎn) , 且 (0,0) 是曲線 ()y f x? 的拐點(diǎn) . （ D） 0x? 不是 ()fx的極值點(diǎn) , (0,0) 也不是曲線 ()y f x? 的拐點(diǎn) . ?? （ 9） 2 2 212l im l n (1 ) (1 ) (1 )nnnn n n?? ? ? ?等于 （ A） 2 21 ln xdx?. （ B） 212 lnxdx?. （ C） 212 ln(1 )x dx??. （ D） 2 21 ln (1 )x dx?? ?? （ 10）設(shè)函數(shù) ()fx連續(xù) , 且 (0) 0f? ? , 則存在 0?? , 使得 （ A） ()fx在 (0, )? 內(nèi)單調(diào)增加 . （ B） ()fx在 ( ,0)?? 內(nèi)單調(diào)減小 . （ C）對(duì)任意的 (0, )x ?? 有 ( ) (0)f x f? . （ D）對(duì)任意的 ( , 0)x ??? 有 ( ) (0)f x f? . ?? （ 11）微分方程 2 1 si ny y x x?? ? ? ? ?的特解形式可設(shè)為 （ A） 2 ( sin c o s )y a x b x c x A x B x? ? ? ? ? ?. （ B） 2( sin c o s )y x a x b x c A x B x? ? ? ? ? ?. （ C） 2 siny ax bx c A x? ? ? ? ?. （ D） 2 c osy ax bx c A x? ? ? ? ? ?? （ 12）設(shè)函數(shù) ()fu 連續(xù) , 區(qū)域 ? ?22( , ) 2D x y x y y? ? ?, 則 ()D f xy dxdy??等于 （ A） 2211 ()xxdx f xy dy?? ? ??? . （ B） 222002 ( )yydy f xy dx???. （ C） 2 s in 200 ( s in c o s )d f r d r??? ? ???. （ D） 2 s in 200 ( s in c o s )d f r r d r??? ? ??? ? ? （ 13）設(shè) A 是 3 階方陣 , 將 A 的第 1 列與第 2 列交換得 B , 再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C , 則滿足 AQ C? 的可逆矩陣 Q 為 （ A） 0 1 01 0 01 0 1??????. （ B） 0 1 01 0 10 0 1??????. （ C） 0 1 01 0 00 1 1??????. （ D） 0 1 11 0 00 0 1??????. ? ? （ 14）設(shè) A ,B 為滿足 0AB? 的任意兩個(gè)非零矩陣 , 則必有 （ A） A 的列向量組線性相關(guān) ,B 的行向量組線性相關(guān) . （ B） A 的列向量組線性相關(guān) ,B 的列向量組線性相關(guān) . （ C） A 的行向量組線性相關(guān) ,B 的行向量組線性相關(guān) . （ D） A 的行向量組線性相關(guān) ,B 的列向量組線性相關(guān) . ?? 三 . 解答題（本題共 9 小題，滿分 94 分 . 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . ） （ 15）（本題滿分 10 分） 求極限301 2 c o slim 13 xxxx???????????????. （ 16）（本題滿分 10 分） 設(shè)函數(shù) ()fx在（ ,???? ）上有定義 , 在區(qū)間 [0,2] 上 , 2( ) ( 4)f x x x??, 若對(duì)任意的 x 都滿足 ( ) ( 2)f x k f x??, 其中 k 為常數(shù) . (Ⅰ )寫(xiě)出 ()fx在 [ 2,0]? 上的表達(dá)式 。 (Ⅱ )問(wèn) k 為何值時(shí) , ()fx在 0x? 處可導(dǎo) . （ 17）（本題滿分 11 分） 設(shè) 2( ) si nxxf x t dt??? ? ,(Ⅰ )證明 ()fx是以 ? 為周期的周期函數(shù) 。(Ⅱ )求 ()fx的值域 . （ 18）（本題滿分 12 分） 曲線 2xxeey ??? 與直線 0 , ( 0)x x t t? ? ?及 0y? 圍成一曲邊梯形 . 該曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體 , 其體積為 ()Vt , 側(cè)面積為 ()St , 在 xt? 處的底面積為 ()Ft . (Ⅰ )求 ()()StVt的值 。 (Ⅱ )計(jì)算極限 ()lim()t StFt???. （ 19）（本題滿分 12 分）設(shè) 2e a b e? ? ? , 證明 2224ln ln ( )b a b ae? ? ?. （ 20）（本題滿分 11 分） 某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)