【文章內(nèi)容簡介】 （即 ?i=0），則將 [K]中對角元素 Kii 改為 1，而第 i 行和第 i 列的其他元素改為 0，荷載向量 [R]中的第 i 個元素也改為 0。其實質(zhì)是將原有限方程中的第 i 個方程用方程 ?i=0 代替，而其他方程中 與 ?i 對應(yīng)的 系數(shù)也改為 0，表明 ?i 對其他方程沒有影響，同時保證了修改后的剛度矩陣 仍具有 對稱性。 ???????????????????????????????????????????????????????NNiNNNNNNRRRKKKKKKKKK????????????????000100002121212222111211???? (3) 乘大數(shù)法 若第 i 個結(jié)點位移已知，即 ii ??? ，則將 整體剛度矩陣 [K]中 的 對角元素 Kii 改為 ? Kii，其中 ?為一大數(shù) （如 1020）， 而 荷載向量 [R]中的第 i 個元素 Ri改為 ??iiK ，原方程成為以下形式 ???????????????????????????????????????????????????????????NiiiNiNNNiNNiNiiiiNiNiRKRRKKKKKKKKKKKKKKKK???????????????????????21212121222221111211 其實質(zhì)是將原有限方程中的第 i 個方程用 ii ??? 的以下近似方程代替 ： ??????? iiNiNiiiii KKKKK ?????? ??2211 將上述方程各項同除以大數(shù) ?，除第 i 項及方程右端項外，其他各項均趨于 0，故等價于 ii ??? 。 18 位移模式與解答的收斂準則 (1) 有限元解答的收斂準則 為使有限元解答能夠收斂于精確解，單元位移模式應(yīng)滿足以下條件： 1) 位移模式必須包含單元的剛體位移； 對彈性力學(xué) 平面問題 ，其 剛體位移表達式 為 ： u=u0??y， v=v0+?x 因此， 平面問題的位移模式必要包含上述剛體位移表達式中的各項，才能保證最終解答的收斂性。 2) 位移模式必須包含單元的常量應(yīng)變； 條件 (1)、 (2)合并起來可稱為完備性要求。對平面問題來說，就是要求位移模式必須包含常數(shù)項和完整的一次項。完備性條件是解答收斂的必要條件。 3) 位移模式應(yīng)盡可能保證位移的連續(xù)性。 該條件實際上就是協(xié)調(diào)性條件，但一般情況下并不是一個必要性條件。 如果位移模式同時滿足上述 完備性 和 協(xié)調(diào)性 條件，那么就組成了解答 收斂的充分條件。 對一般的彈性力學(xué)平面 或 空間問題，只需要求單元內(nèi)部以及相鄰單元的公共邊界上的位移本身連續(xù)，即位移模式具有 C0 連續(xù)性。對有些問題，可以放松對協(xié)調(diào)性的要求，只要通過分片試驗，那么也能保證解答的收斂性。 三結(jié)點三角形單元的位移模式既滿足完備性，又滿足協(xié)調(diào)性的要求（在單元邊界上呈線性分布，可由兩個結(jié)點位移唯一確定），是一種協(xié)調(diào)單元。 證明如下： 單元內(nèi)：單值連續(xù)； 相鄰單元之間： uij(1)= uij(2)？ vij(1)= vij(2)？ ij 邊的方程： y=ax+b，則 uij=?1+ ?2x+?3(ax+b)= cx+d uij(1)、 uij(2)均為坐標的線性函數(shù)， 故可由 i、 j 兩點的結(jié)點位移唯一確定。 圖 兩相鄰單元 (2) 多項式位移模式的一般選擇規(guī)則 位移模式應(yīng)與單元局部坐標的選取 無關(guān)，即滿足所謂的幾何各向同性。對于平面問題，位移模式中的 x 和 y 的各階項應(yīng)保持對稱，即有了 xmyn項，則應(yīng)同時具有y x (1) i j m p (2) 19 xnym項。為保證位移模式關(guān)于 x 和 y 坐標的對稱性，通常從以下的 Pascal 三角形中選取多項式位移模式的各項： 1 x y x2 xy y2 x3 x2y x y2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 ???? 圖 Pascal 三角形 根據(jù)最小勢能原理建立的有限元，是以結(jié)點位移作為基本未知量，這種有限單元稱為位移元。由位移元得到的近似解答總體上是精確解 的一個下限。 高精度的三角形單元、矩形單元 高精度三角形單元 (1) 六結(jié)點三角形單元（二次單元 T6） 位移模式取坐標的完整二次式： u=?1+?2 x+?3 y+?4 x2+?5 xy+?6 y2 v=?1+? 2 x+? 3 y+? 4 x2+?5 xy+?6 y2 該位移模式包含了常數(shù)項和完整的一次項，滿足完備性要求；在單元的邊界上位移呈二次拋物線分布，可由三個結(jié)點位移唯一確定，故又滿足協(xié)調(diào)性的要求，是一種協(xié)調(diào)單元。 (2) 十結(jié)點三角形單元（三次單元 T10） 位移模式取坐標的 完整三次式： u=?1+?2 x+?3 y+?4 x2+?5 xy+?6 y2+?7x3+?8x2y+?9xy2+?10y3 v=?1+? 2 x+? 3 y+? 4 x2+?5 xy+?6 y2+?7x3+?8x2y+?9xy2+?10y3 該位移模式包含了坐標的完整一次式 （常數(shù)項和純一次項） ，滿足完備性要求；在單元的邊界上位移呈三次曲線分布，可由 4 個結(jié)點位移唯一確定，故又滿足協(xié)調(diào)性的要求，是一種協(xié)調(diào)單元。 20 高精度三角形單元 (3) 面積坐標表示的三角形單元形函數(shù) 在推導(dǎo)三角 形單元的列式時，直接利用整體坐標系（為直角坐標）下的位移模式將使得運算十分繁瑣和復(fù)雜。如果采用三角形單元內(nèi)的一種局部坐標 —— 面積坐標作為自然坐標，則可以使列式推導(dǎo)大為簡化。 定義單元內(nèi)任一點 P 的無量綱面積坐標（ Li, Lj, Lm）為 Li= Ai/ A （ i, j, m） 各種單元的形函數(shù)： 3 結(jié)點三角形單元（線性單元 T3）： Ni=Li （ i, j, m） 6 結(jié)點三角形單元（二次單元 T6）： Ni=(2Li?1) Li （ i, j, m） N1=4Lj Lm, （ 1, 2, 3； i, j, m） 三個結(jié)點 單元示意圖 面積坐標的特點： 1) 三角形三個角點的面積坐標： i(1,0,0)、 j(0,1,0)、 m(0,0,1) 三條邊 用面積坐標表示 的方程 為 ： jm 邊 Li=0 mi 邊 Lj=0 ij 邊 Lm=0 2) 三個面積坐標不獨立 ，其相互關(guān)系為 Li+ Lj+ Lm=1 面積坐標與直角坐標之間的關(guān)系： ???????????????????????????????yxcbacbacbaALLLmmmjjjiiimji 121 或 i(1,0,0) P j(0,1,0) m(0,0,1) Ai Aj Am i j m 3 1 2 i j m 21 ???????????????????????????????mjimjimjiLLLyyyxxxyx1111 四結(jié)點矩形單元（ R4 單元） (1) 采用雙線性的位移模式： u=?1+?2 x+?3 y+?4xy v=?1+? 2 x+? 3 y+? 4xy 可保證位移模式的完備性和協(xié)調(diào)性。 若寫成形函數(shù)形式，則為 ???? ?? 4 14 1 , i iii ii vNvuNu 四結(jié)點 矩形單元 這里 的 Ni（ i=1, 2, 3, 4） 可以先求出 8 個待定系數(shù)在獲得， 也 可以 根據(jù)形函數(shù)的性質(zhì)直接構(gòu)造，例如對 N1，可設(shè) ))(( 321 yyxxN ??? ? 該表達式滿足在結(jié)點 4 取值均為零的性質(zhì) ； 再令 Ni(1)=1， 可得待定系數(shù) ab41?? 這里設(shè)矩形 單元的邊長各為 2a、 2b。 (2) 局部坐標下的形函數(shù) 設(shè)矩形長和寬各為 2a 和 2b，在矩形形心為原點建立局部坐標（自然坐標）系?o?，它與直角坐標的變換式： 局部坐標系下的矩形單元 1 y x 2 3 4 ????o ??4 ??1 2 3 ?= ?1? ?=1??= ?1??=1??? 22 b yya xx oo ???? ?? , 則四個角點的局部坐標分別為 1(?1, ?1)， 2(1, ?1)， 3(1,1)， 4(?1,1)。 位移模式為： ??????4141 , i iii ii vNvuNu Ni（ i=1, 2, 3, 4）可根據(jù)形函數(shù)的性質(zhì)直接構(gòu)造出來： )1)(1(41),1)(1(41)1)(1(41),1)(1(414321????????????????????NNNN 或 )4,3,2,1()1)(1(41 ???? iN iii ???? (3) 單元應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣 單元應(yīng)變?yōu)椋? {?}=[B]{?}e 其中 [B]=[B1 B2 B3 B4]，)4,3,2,1(00100][ ??????????????????????????????????????????????????????? iNbNaNaNbabxNyNyNxNBiiiiiiiii????。 單元應(yīng)力為： {?}=[S]{?}e=[D][B]{?}e 其中 [S]= [S1 S2 S3 S4]， [Si]=[D] [Bi] C0連續(xù)型單元形函數(shù)的構(gòu)造 在有限單元法中， 根據(jù)結(jié)點布置方式的不同可將 矩形單元 分為 兩類，一類稱為Lagrange 矩形單元 ， 另一類稱為 Serendipity 矩形單元。前者 在 單元縱橫 網(wǎng)格 線的 交 23 點 上 均布置結(jié)點 ， 而后者僅在單元的邊界線上 布置結(jié)點 ，如圖 所示。 (a) Lagrange 矩形單元 (b) Serendipity 矩形單元 兩類 矩形單元 Lagrange 矩形單元 (1) 一維 Lagrange 插值多項式 過 n 個結(jié)點（坐標分別為 x1, x2, … , xn）的一維 Lagrange 插值多項式為 ),2,1()( ,11 nixx xxxl n ijj ji jni ??? ??? ??? 一維 Lagrange 插值多項式 l1(x) 例如 n=2，則有： 121)1(2212)1(1 )(,)( xx xxxlxx xxxl ?????? 。 若令 x1=0， x2= l，則 lxxll xlxl ??? )(,)( )1(2)1(1 。 用該多項式作為形函數(shù)，可滿足形函數(shù)的性質(zhì)。 (2) Lagrange 矩形單元的形函數(shù) 在矩形的各個網(wǎng)格交點上均 布置 結(jié)點， x x1 x2 x3 xn xi 1 24 如水平方向 r+1 個，豎向 p+1 個。于是 第 I 列 J 行結(jié)點 i 的相應(yīng)形函數(shù)： Ni= NIJ= lI(r)(?) lJ(p)(??) 其中， lI(r)(?)、 lJ(p)(??)均為一維 Lagrange 插值多項式， )(,)()(,)(0,0)(0,0)(byylaxxlpIjj jJjpJrIjj jIjrI??????????????????? ?????? ??? Ni在結(jié)點 i 為 1，在其他結(jié)點處為零；單元邊界上的結(jié)點數(shù) =形函數(shù)階數(shù) +1，能夠保證邊界位移的唯一性和協(xié)調(diào)性。 這類 單元 包含較多的內(nèi)部結(jié)點，增加了單元的自由度，