【文章內(nèi)容簡介】 ????????????????????acacaA1? 其中 baa?? ， bcc?? 且 1??c ， ca ???? 1 。 ?A 可分解為： ??????????????????????????11111?????A ?????????????????????????11111? 咸陽師范學(xué)院 2022屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 7 其中 ??? ??? ??? ca???? （ ） 由（ ）知 2 4 ??????? caa? 取 1?? 的解 設(shè) TSA ?? 其中 ???????? ??? )()( kAO OmAS ， ????????? )()( 2 1kFT TmFT 即： ?????????????????????????????????????????????acacaacacaS1111?????? ????????????????????????0100?????cT 首先求解方程組： fXS ?? ， 顯然 fXS ?? 可以化為兩個方程組： mfXmA ??? )( kfXkA ??? )( 這就把一個大方程組分解成兩個小的方程組求解。如此類推我們可以把一個大方程組分解成 3 個， 4 個甚至更多，從而方便了方程組的并行求解 。 擬 Toeplitz 帶狀矩陣線性方程組的并行算法 8 由 fXTSXA ??? )( ， 我們可以推得 ))(( 1111111 ????? ???????????????? mmmmm exxcexexAXXTAXX ?? 所以只需求解以下三個方程： 1eAp? ， meqA ? ， 1?? merA 按照文獻 [1]中的方法取 ? ?002 ，，， ?? tp ???? ????????? ?? ,0000 1 ????? ? ，，， ??? tttmq ????????? 0000 2 ，，，，， ????? ? tmr ??? 其中 ? 為 012 ????? ?? ac 中 1?? 的根，即 c???? 。由于 111 ?? ?????? tttt eceecpA ?? tmttmtmm eceeceqA ????? ??????? 111 ??? tmttmtmm eeceecrA ????? ??????? 111 ??? 所以 )(1)(1)(1 1 11 tmtmtmtmtm eeceeerqA ?????? ??? ????????? ???????????? )()1( 1 qrAc ??? ??? )()1()()1( 111 tmtmttmtmtm eeccecece ??????? ???????????? ????????? 因而解 X 的近似解 X )())(((1 1 1111 rqxqrc xcxpcxXX mmm ?????? ????? ??????????? ??? （ ） 通過如上的推理我們得到了近似解的表達式（ ）。 誤差分析 在此，我們進行如下的誤差分析 ： 咸陽師范學(xué)院 2022屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 9 因為 ))()()1((1 111 tmtmmttt eecxeexfXA ???? ?????????? ???????? )))(((1 11 tmtmmmmt eexxx ???? ???????? ??????? 取向量的無窮范數(shù)，那么有 ?????????? ? ???????????? ?? t mmmmtcxxxxcxfXA 11)1(ma x1 ????????? ， ? ?cXt ????? ，2m a x1 ??? 我們可以得到如下結(jié)論。 定理 ：由（ ）式得到的近似解 X ，那么 X 滿足 ? ?cXfXA t ?????? ，2m a x1 ??? 由此可見， X 得好壞直接取決于 t 的大小，若要求 kfXA ??? 10 ， 只需 kt Xc ???? ? 101 ??? ， 由此可得到： ? ???? lg lg2m a xlg)1l g ( Xckt ??????? ， （ ） 由于 tm? ，所以若要達到精度要求，矩陣的階數(shù)應(yīng)大一些。當(dāng)矩陣 A 中 bc? 時 A 就是一個對稱的。只要把 c 用 b 進行替代就可以處理三對角對稱情形。 并行性分析 為了方便起見，我們不妨設(shè) ??? ?? st ， mpn? ， p 是處理機臺數(shù)，每臺處理機求解 iiii fXUL ? 需要的時間為： ??? ????? )1(2)1(21 mmT 在修正過程需要時間運算量為： ?? 3)1(32 ??? tT 擬 Toeplitz 帶狀矩陣線性方程組的并行算法 10 并行通訊二次需要時間為： ?? 223 ??T 并行計算時間為： 321 TTTT ??? 串行元素按時間為： ??? )1(3)1(4 ????? tnT 所以 并行加速比為： ???? ??? 22334 )1(3)1(4 ???? ?????? tm tnTTs 并行效率 PSE? 按照并行算法的意義在 ??n 時， 1?E ， 可見該并行算法具有良好的并行性。 算例 方程 fAX? 中， A 為一 120 階非對稱 Toeplitz 矩陣 ??????????????????????????A ?????????????????????111???f 我們求得方程組 的近似解 X 要求 61021 ???? fAX ，由（ ）式可得 8?t 取 10?t 實際計算結(jié)果得： 0065 0 2 ??? efXA 我們舉第二個例子如下： 咸陽師范學(xué)院 2022屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 11 ?????????????????????943949439439?A ?????????????????????111???f 要求 61021 ???? fXA ，由（ ）式可得 24?t 取 24?t 實際計算解果得： 0066 9 3 ??? efXA 近似解 X 和精確解的誤差 XX? 在分裂后生成的誤差都小于 ?? 這就意味著解的各個分量誤差均小于 ?? ，解的符合性較好。 其中 ? 為把矩陣進行 LU 分解時的下三角矩陣中的元素， c? 為非對稱矩陣修正時的c ， X 是修正方程的近似解。由程序的運行結(jié)果和理論計算非常的接近，滿足誤差分析的精度要求。 由于實際的計算結(jié)果和理論結(jié)果結(jié)合的比較合適，沒有出現(xiàn)較大的誤差。由于矩陣的元素取值非常的苛刻，對于隨機輸入元素的計算結(jié)果離理論結(jié)果非常的遠，如主對角元素為 19?a ， 7?b ， 8?c 其出現(xiàn)的誤差達到了 ?? fXA ，離我們的理論結(jié)果 相去甚遠。 3 擬對稱七對角 Toeplitz 矩陣線性方程組的并行算法 并行算法 在許多的工程問題中都會出現(xiàn)特征值的求解問題。在對特征值求解的研究中，向后差分法和有限分法都存在比較狹窄的使用前提。對于滿足有邊界條件和輔助條件的系統(tǒng)是完全的且系數(shù)矩陣是對稱的，而以自然輔助條件取代邊界條件和輔助條件的系統(tǒng)，帶狀系數(shù)矩陣變成了非對稱的。對于帶狀擬對稱系統(tǒng)引 出了新的研究工作。為了尋找一個有效的并行解法求解工程中更為一般的問題，在文獻 [1]中引入了一個五角對角線擬Toeplitz 帶狀對稱矩陣的有效并行算法。為推廣該方法的應(yīng)用，我認為可以對其作進一擬 Toeplitz 帶狀矩陣線性方程組的并行算法 12 步的推廣，以適應(yīng)更為復(fù)雜的問題的求解。本文以七對角線為例，對于更高階的推廣可以依次進行類型的拓展。 首先，我們引入一個 nn? 階的系統(tǒng) gAX? （ ） 其中 ???????????????????????????1112131415111111111111111111111514131211aaacdbabcdbabcdcbabcdcbabaaaaaA???? ???????????????????????????1111111111111111111111111111abcdbabcdbabcdcbabcdcbabdcbaB???? （ ） ???????????????????????????????????1111121131