【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ln3d()ln3(dln3 exxxxx x ⒍414341212121de 2102210 210210 2 ????????? ?????? ?? eeedxexexx xxxx ⒎41412121221ln2ln21dln 212211212e1 ??????????????? ??? eeex d xxxx d xxxx eeee ⒏ ?? ????????? e eeexedxxxxxx x 1 121e1 2 12111ln1dln （四）證明題 ⒈證明：若 )(xf 在 ],[ aa? 上可積并為奇函數(shù)，則 0d)( ???aa xxf． 證 : ???????? ????????? a aa aaaa a dttfdttfdttfdxxftx )()()()(令 0)()()( ????? ??? ??? a aa aa a dxxfdxxfdxxf 證畢 ⒉證明：若 )(xf 在 ],[ aa? 上可積并為偶函數(shù)，則 ?? ?? aaa xxfxxf 0 d)(2d)(． 證： ??? ???? aaaa xxfxxfxxf 00 d)(d)(d)( ??? ?????? ? aaa xftftfxxftx 000 )(dt)(dt)(d)(, 是偶函數(shù)則令 ? 證畢?????? ????? ?? aaaaaaa xxfxxfxxfxxfxxfxxf 00000 d)(2d)(d)(d)(d)(d)( 11 高等數(shù)學(xué)（ 1）學(xué)習(xí)輔導(dǎo) (一 ) 第一章 函數(shù) ⒈理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù) )(xfy? 中符號(hào) f ( )的含義；了解函數(shù)的兩要素；會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等。 兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同。 ⒉了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。 若對(duì)任意 x ，有 )()( xfxf ?? ，則 )(xf 稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y 軸對(duì)稱。 若對(duì)任意 x ，有 )()( xfxf ??? ，則 )(xf 稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 掌握奇偶函數(shù)的判別方法。 掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖 形特點(diǎn)。 ⒊熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。 基本初等函數(shù)是指以下幾種類型： ① 常數(shù)函數(shù)： cy? ② 冪函數(shù)： )( 為實(shí)數(shù)??xy ? ③ 指數(shù)函數(shù)： )1,0( ??? aaay x ④ 對(duì)數(shù)函數(shù)： )1,0(lo g ??? aaxy a ⑤ 三角函數(shù)： xxxx c o t,ta n,c o s,s in ⑥ 反三角函數(shù)： xxx a r c ta n,a r c c o s,a r c s in ⒋了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單 的函數(shù)。 如函數(shù) )1(arctan2e xy ?? 可以分解 uy e? ， 2vu? ， wv arctan? ， xw ??1 。分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù)，而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。 ⒌會(huì)列簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。 例題選解 一、填空題 ⒈設(shè) )0(1)1( 2 ???? xxxxf ，則 f x( )? 。 解：設(shè) xt 1? ，則 tx 1? ，得 t ttttf22 11111)( ?????? 故 xxxf 211)( ???。 ⒉函數(shù) xxxf ???? 5)2ln (1)(的定義域是 。 解：對(duì)函數(shù)的第一項(xiàng)，要求 02??x 且 0)2ln( ??x ，即 2?x 且 3?x ；對(duì)函數(shù)的第二項(xiàng)，要求 05 ??x ，即 5?x 。取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?]5,3()3,2( ? 。 ⒊函數(shù) )(xf 的定義域?yàn)?]1,0[ ，則 )(lnxf 的定義域是 。 解：要使 )(lnxf 有意義，必須使 1ln0 ?? x ，由此得 )(lnxf 定義域?yàn)?]e,1[ 。 ⒋函數(shù) 392??? xxy的定義域?yàn)? 。 解：要使 392??? xxy有意義，必須滿足 092 ??x 且 03??x ，即 ??? ??33xx成立， 12 解不等式方程組，得出 ??? ? ??? 3 33x xx 或，故得出函數(shù)的定義域?yàn)?),3(]3,( ?????? 。 ⒌設(shè) 2)(xx aaxf ???，則函數(shù)的圖形關(guān)于 對(duì)稱。 解： )(xf 的定義域?yàn)?),( ???? ，且有 )(222)( )( xfaaaaaaxf xxxxxx ???????? ????? 即 )(xf 是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于 y 軸對(duì)稱。 二、單項(xiàng)選擇題 ⒈下列各對(duì)函數(shù)中，（ ）是相同的。 A. xxgxxf ?? )(,)( 2 ； B. f x x g x x( ) ln , ( ) ln? ?2 2； C. f x x g x x( ) ln , ( ) ln? ?3 3； D. f x xx g x x( ) , ( )? ?? ? ?2 11 1 解： A 中兩函 數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同 , xxx ??2 ， B, D 三個(gè)選項(xiàng)中的每對(duì)函數(shù)的定義域都不同，所以 A B, D 都不是正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng) C 中的函數(shù)定義域相等，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故選項(xiàng) C 正確。 ⒉設(shè)函數(shù) f x() 的定義域?yàn)?( , )???? ，則函數(shù) f x f x( ) ( )－ ? 的圖形關(guān)于（ ）對(duì)稱。 ＝ x； B. x 軸； 軸； 解：設(shè) )()()( xfxfxF ??? ，則對(duì)任意 x 有 )())()(()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF ??????????????? 即 )(xF 是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。選項(xiàng) D 正確。 3．設(shè)函數(shù) f x() 的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù) )()( xfxf ?? 是（ ）． ； ； ； 解： A, B, D 三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿足。 設(shè) )()()( xfxfxF ??? ，則對(duì)任意 x 有 )()()()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF ????????????? 即 )(xF 是偶函數(shù)，故選項(xiàng) C 正確。 ⒋函數(shù) )1,0(11)( ????? aaaaxxf xx（ ） ； B. 是偶函數(shù)； ； 。 解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。 )(11)1( )1(11)()( xfaaxaa aaxaaxxf xxxx xxxx ????????????? ???? 所以 B 正確。 ⒌若函數(shù) 22 1)1( xxxxf ??? ，則 ?)(xf （ ） A. 2x ； B. 22?x ； C. 2)1( ?x ； D. 12?x 。 解：因?yàn)?2)1(2121 22222 ???????? xxxxxx 所以 2)1()1( 2 ???? xxxxf 13 則 2)( 2 ?? xxf ，故選項(xiàng) B 正確。 第二章 極限與連續(xù) ⒈知道數(shù)列極限的“ ??N ”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。 ⒉理解無(wú)窮小量的 概念；了解無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無(wú)窮大量的關(guān)系；知道無(wú)窮小量的比較。 無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有： ① 有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量； ② 有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量； ③ 無(wú)窮小量和有界變量的乘積是無(wú)窮小量。 ⒊熟練掌握極限的計(jì)算方法：包括極限的四則運(yùn)算法則，消去極限式中的不定因子，利用無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個(gè)重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。 求極限有幾種典型的類型 （ 1） aaxaxaxaaxax axakkkkxkkx 21)())((limlim222020 ???????????? （ 2） 1001002 ))((limlim00 xxxxxxxxxx baxxxxxx ??????? ???? （ 3） ???????????????? ?????????mnmnbamnbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnxx 00111011100lim0 ?? ⒋熟練掌握兩個(gè)重要極限： limsinx xx? ?0 1 lim( )x xx?? ? ?1 1 e （或 lim( )x xx? ? ?011 e） 重要極限的一般形式 ： limsin ( )( )( )???xxx? ?0 1 lim ( ( ) )( ) ( )f x f xf x? ? ? ?11 e （或 lim ( ( ))( ) ( )g x g xg x? ? ?011 e） 利用兩個(gè)重要極限求極限，往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則，如 3133s inlims inlim3133s ins in31lim3s ins inlim0000 ?????????xxxxxxxxxxxxxx 312122eee])11[(lim])21[(lim)11()21(lim1121lim)12(lim ?????????????????????????? ????????????? xxxxxxxxxxxxxxxxxxx ⒌理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念；會(huì)對(duì)函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類。 間斷點(diǎn)的分類： 已知點(diǎn) 0xx? 是的間斷點(diǎn)， 若 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 的左、右極限都存在，則 0xx? 稱為 )(xf 的第一類間斷點(diǎn)； 若 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 的左、右極限有一個(gè)不存在，則 0xx? 稱為 )(xf 的第二類間斷點(diǎn)。 ⒍理解 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為 0）及復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論。 典型例題解析 一、填空題 ⒈極限 limsinsinxx xx? ?02 1 。 14 解： 010s inlim1s inlim)s in1s in(lims in 1s inlim00020 ?????? ???? xxxxxxxxx xxxxxx 注意： 01sinlim0 ?? xxx （無(wú)窮小量乘以有界變量等于無(wú)窮小量） 111s inlim 1s in1lims inlim000 ???????xxxxxxxxx，其中 xxx sinlim0? =1 是第一個(gè)重要極限。 ⒉函數(shù) ?????????0101sin)(xxxxxxf的間斷點(diǎn) 是 x? 。 解：由 )(xf 是分段函數(shù)， 0?x 是 )(xf 的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在 0?x 處的連續(xù)性。 因?yàn)? 1)0(1)1(lim01s inlim 00 ???? ?? ?? fxxx xx 所以函數(shù) )(xf 在 0?x 處是間斷的， 又 )(xf 在 )0,(?? 和 ),0( ?? 都是連續(xù)的，故函數(shù) )(xf 的間斷點(diǎn)是 0?x 。 ⒊⒋⒌⒍設(shè) 23)( 2 ??? xxxf ，則 f f x[ ( )]? ? 。 解： 32)( ??? xxf ，故 201842)32(3)32()]([ 22 ????????? xxxxxff ⒎函數(shù) )1ln( 2xy ?? 的單調(diào)增加區(qū)間是 。 二、單項(xiàng)選擇題 ⒈函數(shù) f x x x( ) sin? 1 在點(diǎn) x?0 處（ ）． ； ； ； 解： )(xf 在點(diǎn) x?0 處沒(méi)有定義，但 0sinlim0 ?? xxx （無(wú)窮小量 ? 有界變量 =無(wú)窮小量） 故選項(xiàng) B 正確。 ⒉下列函數(shù)在指定 的變化過(guò)程中，（ ）是無(wú)窮小量。 A. e 1x x, ( )? ? ； B. sin , ( )xx x ? ?； C. l