金融數(shù)學引論簡化版利息理論部分(編輯修改稿)
2025-02-02 16:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ( 1 ) 1 0 0 ( 1 0 .0 6 ) 9 4A A d? ? ? ? ? 元94( 1 ) 100 %ii? ? ? ?2) 令定義 稱兩個貼現(xiàn)率或利率 等價 ，如果對給定的投資金額，在同樣長的時期內(nèi)兩者具有同樣的累積值或現(xiàn)值。 d與 i之間的幾種變形有一些有趣的字面解釋： 1) 1/(1+i) =1d 此方程兩邊均表示在期末支付1的現(xiàn)值 。 2) d=i/(1+i) 期初投資 1， 在 1時期末賺得的利息 i按貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)到期初即為貼現(xiàn)率 d。 3) id=id 某人可借貸 1而在期末歸還 1+i， 也可以借貸 1d而在期末歸還 1 。 表達式 id是所付利息的差額 ， 此種差額是因為所借本金相差 d而產(chǎn)生的 。 金額 d依利率 i在一時期末的利息就是 id. 19 . 名利率與名貼現(xiàn)率 在實際金融業(yè)務中，常會遇到這樣的說法：“年利10%,半年結(jié)算一次”、“季度復利 10%”或“月度復利 10%”等等。 由于一年內(nèi)結(jié)算次數(shù)不同產(chǎn)生了利率的“名不副實”，表面給定的數(shù)據(jù) 10%就是名利率。 定義 若在單位記息期內(nèi) , 利息依利率 換算 m次 , 則稱 i(m)為 名利率 (掛牌利率 ). ? ?Zmmim?,20 注 :所謂名利率 i(m)指每 1/m時期支付一次的利率，也就是說，對于每 1/m時期，一本金的利息是 i(m)/m而不是 i(m)。 定義 利息支付及再投資以賺取額外利息的周期稱為 “ 利息轉(zhuǎn)換時期 ” ?名利率與實利率的關(guān)系 設(shè)一時期的名利率為 i(m),與之等價的利率為 i， 則應有1+i=(1+i(m)/m)m。 于是有 或 ? ?11)( ??? mm imi1)1()(??? mmmii例 A開價年利率為 9%,貸款人 B開價季度復利 %，而貸款人 C開價月度 復 利 %。某人需要為期一年的貸款，問誰的貸款好？ 解 :對 B: 48 .7 5 %1 1 9 .0 4 %4i ??? ? ? ?????對 C: 128 .5 %1 1 8 .8 3 %12i ??? ? ? ?????故 C的貸款好 . 22 定義 每一時期支付 m次的名貼現(xiàn)率記作 d(m).表示每 1/m 時期支付 d(m)/m 的實貼現(xiàn)率。 例 100元在兩年之末的累積值。 A)如果名利率為季度轉(zhuǎn)換 6%. B)如果名貼現(xiàn)率為季度轉(zhuǎn)換 6%. 解 : ? ?41 ) 6%i ? 426%( 2 ) 1 0 0 ( 1 ) 1 1 2 .6 54A?? ? ? ?? ?42) 6%d ?設(shè)累積值為 x,則 426%1 0 0 14x?????????426%1 0 0 1 1 1 2 .8 54x????? ? ?????23 ?名利率與名貼現(xiàn)率之間的關(guān)系 pPmmpdmii ?????? ]1[]1[1 )()(考慮 )(mi 與 )( pd() 如果 m=p,則 ( ) ( )11 [ 1 ]mmidmm?? ? ?() 將 ()式兩端同乘以（ 1d(m)/m)得 mdmimdmi mmmm )()()()( ??? () 它表明每一利息轉(zhuǎn)換時期內(nèi)利息與貼現(xiàn)的差額是因為期初本金相差 d(m)/m產(chǎn)生的。金額 d(m)/m依利率 i(m)/m在該利息轉(zhuǎn)換時期末的利息就是 (i(m)/m)(d(m)/m)。 25 連續(xù)利息計算 定義 設(shè)累積函數(shù) a(t)為 t的連續(xù)可微函數(shù) ,則稱 )()(39。)()(39。tatatAtA
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