【文章內(nèi)容簡介】 n m m m? ? ? ? ?0nmxymm?? ),(),( mnrmnc xyxy ?若對所有 n和 m ，則稱兩個(gè)隨機(jī)過程互不相關(guān) ( , ) 0xyc n m ? n r n i m r m ix y n m r i r ix x y y r i r i r i r ir n m E x y x jx y jyp x x y y d x d x d y d y????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??????*, , ,( , ) [ ] ( ) ( )( , , , )實(shí)隨機(jī)過程情況？ 練習(xí)：證明 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) 對于互相關(guān)函數(shù)以及互相關(guān)系數(shù)，同樣具有下述性質(zhì) * 22n m n mE x y E x E y?| [ ) | [ | | ] [ | | ]n m x y n mx y c n m v a r x v a r y? ?( , ) ( , ) / [ ] [ ]1nmxy? ?| ( , ) |當(dāng)且僅當(dāng) 與 線性相關(guān)時(shí)，等式成立 nx my相關(guān)系數(shù)為正值、負(fù)值的物理含義？ xn大于均值時(shí)， ym傾向于小于均值，則相關(guān)系數(shù)極性？ 思考 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) 注意定義上的區(qū)別 x y n mr n m E x y? *( , ) [ ]y x n mr n m E y x? *( , ) [ ]x y n nr n n E x y? *( , ) [ ]y x n nr n n E y x? *( , ) [ ]y x x yr n n r n n? *( , ) ( , )后面的變量取共軛 第 1個(gè)隨機(jī)變量與第1個(gè)時(shí)刻變量對應(yīng) 7 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)值特征 如果一個(gè)離散隨機(jī)過程 {xn} 的均值與時(shí)刻 n無關(guān)，相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān) [則方差也與時(shí)刻 n無關(guān) ]，則稱其為廣義平穩(wěn)的。 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) []xnm E x?2 2 220nx n x x xxxE x m r n n mrm? ? ? ? ???[ | | ] ( , )()x x n n mr n n m r m E x x ?? ? ? *( , ) ( ) [ ] 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是嚴(yán)格平穩(wěn)過程，即它們的概率分布不一定是時(shí)不變的。 對任意的 n， 值不變 n n mE x x ?*[]8 各態(tài)歷經(jīng)離散平穩(wěn)隨機(jī)過程 假設(shè)離散隨機(jī)過程 x的一個(gè)現(xiàn)實(shí) 如果 N??，該現(xiàn)實(shí)中的取值能夠遍歷隨機(jī)過程的各 種可能的取值，則稱其為各態(tài)經(jīng)歷的 (1)隨機(jī)過程的時(shí)間平均 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) 11l im NnnNnxXN?? ?? ? ? ?**11l im ( 0 )Nmn n m n n mNnx x X X mN??????? ? ? ??時(shí)間均值 12{ , , ... , }NX X X**11l im ( 0 )Nn n m n n mNnmx x X X mN???? ??? ? ? ??現(xiàn)實(shí)：對隨機(jī)過程 x(t)進(jìn)行 1次觀測實(shí)驗(yàn)所獲取的觀測 序列 (樣本 )， x1=X1,x2=X2,… 時(shí)間自相關(guān)函數(shù) 對隨機(jī)過程的觀測有時(shí)只能獲得一個(gè)現(xiàn)實(shí) { [ ] } 1nnP x E x? ? ? ?**{ [ ] } 1n n m n n mP x x E x x??? ? ? ?第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) (2) 各態(tài)歷經(jīng)特性 (埃爾哥德性 ),如果廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程滿足 性質(zhì) : 各態(tài)經(jīng)歷隨機(jī)過程必定是 (時(shí)間 )廣義平穩(wěn)的 (反之不一定 )；對任意的時(shí)間起點(diǎn) m，有 1111 1 1l im l im ( )1 1 1l im l im ( )N N mn n n nNNn n m nN N N mn n nNNn m n m n Nx X X XN N NX X XN N N? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?則稱該過程各態(tài)經(jīng)歷 依概率收斂 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) 1l im NmnNnmXN??? ?? ?111l im l imN N mn n nNNn n mx X XNN?? ? ? ???? ? ? ???即： 對任意的 m成立 當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù) N足夠大時(shí)，各態(tài)經(jīng)歷離散隨機(jī)過程的時(shí)間均值與時(shí)間起點(diǎn) m無關(guān) 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) 對任意的 k成立 **1*1l im 1 l im ( 0 )Nmn n m n n mNnN k mn n mNnkx x X XNX X mN????????????? ? ?????同理可以得到 (練習(xí) ) **1*11l im1 l im ( 0 )Nn n m n n mNnmNkn n mNn k mx x X XNX X mN??????????? ? ?? ? ?????各態(tài)經(jīng)歷隨機(jī)過程的 (時(shí)間 )自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn) k無關(guān) 即各態(tài)經(jīng)歷過程的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)滿足 (時(shí)間 )廣義平穩(wěn)性 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) 11l im ( )Nx n l nNnm x x tN?? ?? ? ? ? ?舉例：通常所研究的平穩(wěn)隨機(jī)過程都是各態(tài)經(jīng)歷的，可以通過其中任意的一個(gè)樣本函數(shù)研究其統(tǒng)計(jì)特性 任意 l 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) 性質(zhì) : 各態(tài)經(jīng)歷隨機(jī)過程的 (期望 )均值與 (期望 )相關(guān)函數(shù)可以通過樣本的 (時(shí)間 )均值與 (時(shí)間 )相關(guān)函數(shù)來計(jì)算 ,但要求樣本點(diǎn)數(shù)為無窮大 . 問題 : 樣本點(diǎn)數(shù)有限則如何 ? 只能得到 (期望 )均值與 (期望 )相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值。 *1*1l i m ( ) ( ) 0()1l i m ( ) ( ) 0Nml n l n mNnx n n m Nl n l n mNnmx t x t mNr m x xx t x t mN??????????????? ? ? ? ?? ?????任意 m、 l (3) 有限樣本集合統(tǒng)計(jì)平均 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) 11? ()Nxnm x nN?? ?2211? ?| ( ) |Nxxnx n mN?????*11( ) ( ) ( ) ( 1 0 )NmxNnr m x n x n m N mN??? ? ? ? ??*11( ) ( ) ( ) ( 1 0 )NxNnmr m x n x n m N mN??? ? ? ??假設(shè)觀測值 X X … 、 XN為連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的 一個(gè)樣本函數(shù) x(t)的采樣樣本，記 ( ) ( )nnX t X x n??偏自相關(guān)序列 ||[ ( ) ] ( ) ( )x N x xNmE r m r m r mN???(練習(xí)：證明 ) 思考及說明 : 如果這樣定義 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) *11( ) ( ) ( ) ( 0 )NmxNnr m x n x n m mNm??? ? ?? ?*11( ) ( ) ( ) ( 0 )NxNnmr m x n x n m mNm??? ? ?? ?[ ( ) ] ( )x N xE r m r m?則 : 無偏 為什么不這樣定義 : (1)影響功率譜的非負(fù)性 。 (2)使得相關(guān)圖與周期圖不等價(jià) ,影響功率譜的快速計(jì)算 。 (3)給信號處理過程的推導(dǎo)帶來不便 . 有關(guān)概念將在后面介紹 [ ] ( )n n m xE x x r m? ??第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) 說明：對于實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，有 [ ] ( )n n m xE x x r m? ? 考慮到實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的偶函數(shù)特性 (參見前面有關(guān)證明 )， ；在有的教材中，定義 ( ) [ ]x n n mr m E x x ?? 對于實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，兩種定義是完全等價(jià)的，本 PPT不區(qū)分兩種定義；對于復(fù)隨機(jī)過程，兩種定義得到的自相關(guān)函數(shù)互為共軛，本 PPT采用第 1種定義： *( ) [ ]x n n mr m E x x ??( ) ( )xxr m r m??第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) 性質(zhì) (練習(xí)：證明 )：對于有限點(diǎn)數(shù)據(jù)的實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程采樣以及時(shí)間相關(guān)函數(shù)，有 ||1| | 11( ) ( ) ( | |) 1 ( ) ( | |) ( 1 1 )NmxNnNnmr m x n x n mNx n x n m N m NN??????? ? ? ? ? ???||1| | 11( ) l im ( ) ( | |) 1 l i m ( ) ( | | ) ( 1 1 )NmxNnNNnmr m x n x n mNx n x n m N m NN??????????? ? ? ? ? ???偶函數(shù)特性；兩種定義等價(jià) 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) 說明：對于雙邊的有限點(diǎn)數(shù)據(jù)的實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程采樣 {x(n)|n=N,N+1,… ,1,0,1,… ,N1,N} ||||1( ) ( ) ( | |) 211 ( ) ( | | ) ( 1 1 )21NmxNnNNn N mr m x n x n mNx n x n m N m NN???? ? ????? ? ? ? ? ????||||1( ) l im ( ) ( | |) 211 l i m ( ) ( | | ) ( 1 1 )NmxNnNNNn N mr m x n x n mNx n x n m N m NN???????? ? ????? ? ? ? ? ???偶函數(shù)特性；兩種定義等價(jià) 例 11 隨機(jī)初始相位正弦序列 其中A， f， Ts均為常數(shù)， Ф是一隨機(jī)變量 (對于不同的樣本函數(shù)中的每個(gè) n， Ф隨機(jī)地取不同的值，對于同一樣本函數(shù)的不同的 n， Ф為常數(shù) )， 在 0~2π內(nèi)服從均勻分布，求其均值和自相關(guān)函數(shù)，并判斷其平穩(wěn)性。 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) 2nsx A f n T?? ? ?s i n ( )10220npothe rs??? ??????? ???()2nx n sm E x E A f n T?? ? ? ?[ ] [ s i n ( ) ]201202s in( )sA fn T d? ? ? ??? ? ??解： 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識(shí) ? ?2( , ) s in ( 2 ) s in [ 2 ( ) ]x s sr n n m E A fn T f n m T??? ? ? ? ? ? ?2201s in ( 2 ) s in [ 2 ( ) ]2ssA fn T f n m T d? ? ? ? ? ??? ? ? ??]2c o s [22sf m TA ??由于 及 所以隨機(jī)初始相位正弦波是廣義平穩(wěn)的 。 0?nm x2( , ) (