【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 13? 0112X一般性討論 1）有限長序列 12()()0x n n n nxno th e r s???? ??21( ) ( )nnnnnX z x n z???? ?1212120 , 0 , 00 , 0 , 00 , 0 , 0n n zn n zn n z? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?收斂域：有限項(xiàng)，只考慮 0 和 ，其余地方都收斂 無負(fù)冪項(xiàng) 無正冪項(xiàng)（因果序列） 同時(shí)有正、負(fù)冪項(xiàng) ?2）無限長右邊序列 1110( ) ( ) ( ) ( )n n nn n nn n n n nX z x n z x n z x n z? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?RzRz??? ? ?? ? ? 因果序列，無正冪項(xiàng) 非因果序列，有正冪項(xiàng) 因此，收斂域?yàn)椋? 有限長序列 0 z? ? ?無限長序列 zR?? 3）無限長左邊序列 22 10( ) ( ) ( ) ( )n n n nnn n nn n nX z x n z x n z x n z?? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?220 , 00 , 0z R nz R n??? ? ?? ? ?因此，收斂域?yàn)椋? 有限長序列 20 , 0zn? ? ? ?無限長序列 zR??20 , 0zn? ? ? ?或 若 則無收斂域 4) 無限長雙邊序列 11 1( ) ( ) ( ) ( )nnnnn n nn n n nX z x n z x n z x n z?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?11121( ) ( )( ) ( )nnnnnnnnX z x n zX z x n z??? ??????????? Rz? ? ? ?0 zR???左序列 右序列 RR???若 則其收斂域?yàn)? R z R????RR???? 例 ， a為實(shí)數(shù)，求其 z變換及收斂域 () nx n a?() n nnX z a z??? ? ?? ?1010n n n nnnn n n nnna z a za z a z??? ? ?? ?? ??????????????1az ?1 1az ? ?第一項(xiàng)的收斂域 第二項(xiàng)的收斂域 1za??za?若 公共收斂域?yàn)? 1a ? 1a z a ???若 則沒有公共收斂域 10() n n n nnnX z a z a z?????????001212 1 21111111( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )1 ( 1 ) ( )( 1 ) ( 1 )n n n nnna z a zazaz azaaz aza z z aaz z aa z aza??????????? ? ???????????????????1a ?1a z a ???0,z ?? 1,zaa?零點(diǎn) 極點(diǎn) Re [ ]zI m [ ]z01aaX X? ROC在 z平面是中心在原點(diǎn)的圓環(huán)或圓盤 ? 當(dāng)且僅當(dāng) x (n)的 z變換的收斂域包括單位圓時(shí)， x (n)的傅里葉變換才絕對(duì)收斂 ? ROC內(nèi)不能有任何極點(diǎn) ? 若 x (n)是有限長序列，即除在有限區(qū)間 內(nèi)，其余均為零，那么 ROC就是整個(gè) z平面，可能不包含 z=0或 z變換收斂域的性質(zhì) 12N n N?? ? ? ? ? ?z ??? 若 是右序列，那么 ROC是從 X(z)最大幅度的有限極點(diǎn)向外延伸至 (可能包括 ) ? 若 是左序列，那么 ROC是從 X(z)最小幅度的非零極點(diǎn)向內(nèi)延伸至 (可能包括 ) ? 若 是雙邊無限序列， ROC是由一個(gè)圓環(huán)組成，內(nèi)外界均有某一極點(diǎn)確定，且其內(nèi)不能包含任何極點(diǎn) ? ROC必須是一個(gè)連通區(qū)域 ()xn()xn()xnz??0z ?01()0na n Nxno th e r s? ? ? ????1011()11 ( )NnnnN N N NNX z a za z z aaz z z a??????????????2 , 1 , 2 , 1jrNz a e r N?? ? ?0z?0z ? 0z ?零點(diǎn) 極點(diǎn) 收斂域 或 za? 既不是零點(diǎn)也不是極點(diǎn) 12N ?( ) ( )Nx n R n?1011()111 ( 1 )NnnNNNX z zzzz z z??????????????2 , 1 , 2 , 1jrNz e r N?? ? ?0z?0z ? 0z ?零點(diǎn) 極點(diǎn) 收斂域 或 1z? 既不是零點(diǎn)也不是極點(diǎn) 12N ? z變換性質(zhì) ? 線性 設(shè)： 121122( ) [ ( ) ] ,( ) [ ( ) ] ,xxX z Z T x n R O C RX z Z T x n R O C R??12( ) ( ) ( )x n ax n bx n??( ) [ ( ) ]X z Z T x n?1212( ) ( ) , x x xaX z bX z R R R? ? ?則 收斂域至少是兩個(gè)單一收斂域的交集，若有零極點(diǎn)相消的情況，那么收斂域?qū)⒁蝗缒承┝泓c(diǎn)抵消的極點(diǎn)，收斂域?qū)U(kuò)大。 ?時(shí)移 設(shè)雙邊 z變換 ( ) [ ( ) ] , xX z Z T x n RO C R??00[ ( ) ] ( ) ,n xZ T x n n z X z RO C R?? ? ?0[ ( ) ]Z T x n n?則 置換變量 0()nnx n n z??? ? ????0()() mnmx m z???? ? ?? ?0 ()n mmz x m z?? ?? ? ?? ?0m n n??0[ ( ) ]Z T x n n?證明 00[ ( ) ] ( ) ,n xZ T x n n z X z RO C R? ? ??時(shí)移 設(shè)單邊 z變換 ( ) [ ( ) ] , xX z ZT x n R O C R????00000001[ ( ) ] ( ) ( )[ ( ) ( ) ]nnmn m nn nnnZ T x n n x n n z x m z zz X z x n z???? ? ?? ? ??? ????? ? ? ??????則 000000010[ ( ) ] ( ) ( )[ ( ) ( ) ]nnmn m nnn nnZ T x n n x n n z x m z zz X z x n z??? ? ???????? ? ? ??????? 對(duì)于因果序列 ( ) ( ) ( ) 0 , 0X z X z x n n?? ? ?且000100[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ]nn nnnZ T x n n z X z x n z z X z Z T x n n???? ? ???? ? ? ? ? ??0000110000[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ][ ( ) ]nnnn nnnnZ T x n n z X z x n z z X z x n zZ T x n n??? ? ? ???? ? ? ? ?????但左移 右移 ? 乘以指數(shù)序列 設(shè) ( ) [ ( ) ] , xX z Z T x n RO C R??( ) ( ) ,n xy n a x n R O C a R??1( ) [ ( ) ] ( )nY z Z T a x n X a z???( ) [ ( ) ]nY z Z T a x n?11( ) ( ) ( ) ( )n n nnna x n z x n a z X a z??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???則 證明 1xxR a z R????? xxa R z a R???? xRO C a R?所以 或 ? X (z)的微分 設(shè) ( ) [ ( ) ] , xX z Z T x n RO C R??()( ) [ ( ) ] ,xd X zY z ZT n x n z R O C Rdz? ? ? ?1() ( ) ( ) [ ] ( )n n nn n nd X z d dx n z x n z n x n zd z d z d z? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ?11( ) [ ( ) ]nnz n x n z z Z T n x n?? ? ?? ? ?? ? ? ??證明 ()( ) [ ( ) ] d X zY z ZT n x n zdz? ? ?? 復(fù)序列的共軛 設(shè) ( ) [ ( ) ] , xX z Z T x n RO C R??