【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (方程組 )如下 (10413) ???????????40414243aaaaaaaa第 10章 信道編碼 改寫式 (10413)所示的監(jiān)督方程組得 (10414) ???????????????000004142434aaaaaaaa第 10章 信道編碼 將式 (10414)用矩陣表示為 ?????????????????????????????????????????00001000101001001010001101234aaaaa第 10章 信道編碼 所以， (5， 1)重復(fù)碼的監(jiān)督矩陣為 其中 ? ?410001010010010100011PIH ???????????????????????????1111P第 10章 信道編碼 因?yàn)榈湫蜕删仃?G為 G=［ PTIk］ 所以 (5， 1)重復(fù)碼的典型生成矩陣為 ? ? ? ? ? ?111111 ??? IPIPG TkT第 10章 信道編碼 例 奇、偶監(jiān)督碼是另一類簡(jiǎn)單的線性分組碼，用(n, n1)表示，長(zhǎng)度為 n的碼字中信息碼元為 n1個(gè)，只有 1位監(jiān)督碼元。求長(zhǎng)度為 4的偶監(jiān)督碼的監(jiān)督矩陣 H和生成矩陣 G。 解 設(shè)長(zhǎng)度為 4的偶監(jiān)督碼的碼字為 A=［ a3a2a1a0］，其中前 3位表示信息碼元，最后 1位表示監(jiān)督碼元。由于偶監(jiān)督碼要求碼字中“ 1”的碼元數(shù)為偶數(shù)，即各碼元模 2加為 0，所以 (4， 3)偶監(jiān)督碼中監(jiān)督碼元與信息碼元滿足如下關(guān)系 00123 ???? aaaa第 10章 信道編碼 此方程用矩陣表示為 所以監(jiān)督矩陣為 H=［ 1 1 1 1］ =［ PI1］ 其中 P=［ 1 1 1］ ? ? ? ?0 11110123?????????????aaaa第 10章 信道編碼 得典型生成矩陣為 利用生成矩陣 G及式 (10410)可求出全部 8個(gè)碼字，所求得碼字與表 1031中所列的偶監(jiān)督碼碼字完全相同，讀者可自行加以驗(yàn)證。 ? ?????????????1100101010013TPIG第 10章 信道編碼 線性分組碼的譯碼 設(shè)發(fā)送端發(fā)送碼字 A=［ an1an2… a1a0］，此碼字在傳輸中可能由于干擾引入錯(cuò)誤，故接收碼字一般說來與 A不一定相同。設(shè)接收碼字 B=［ bn1bn2 … b1b0］，則發(fā)送碼字和接收碼字之差為 BA=E，或?qū)懗?B=A+E。 E是碼字 A在傳輸中產(chǎn)生的錯(cuò)碼矩陣， E=［ en1en2… e1e0］。 如果 A在傳輸過程中第 i位發(fā)生錯(cuò)誤，則 ei=1，反之，則ei=0。例如，若發(fā)送碼字 A=［ 1001110］，接收碼字 B=［ 1001100］，則錯(cuò)碼矩陣 E=［ 0000010］。錯(cuò)碼矩陣通常稱為錯(cuò)誤圖樣。 第 10章 信道編碼 譯碼器的任務(wù)就是判別接收碼字 B中是否有錯(cuò)，如果有錯(cuò)，則設(shè)法確定錯(cuò)誤位置并加以糾正，以恢復(fù)發(fā)送碼字 A。 由式 (1045)可知，碼字 A與監(jiān)督矩陣 H有如下約束關(guān)系 AHT=0 當(dāng) B=A時(shí)，有 BHT=0 0為 1行 r列的全“ 0”矩陣。 第 10章 信道編碼 當(dāng) B≠A時(shí)，說明傳輸過程中發(fā)生了錯(cuò)誤，此時(shí) 令矩陣 S=BHT=EHT (10415) 稱 S為伴隨式，伴隨式 S是個(gè) 1行 r列的矩陣 ， r是線性分組碼中監(jiān)督碼元的個(gè)數(shù)。由上面的分析可知，當(dāng)接收碼字無錯(cuò)誤時(shí)，S=0；當(dāng)接收碼字有錯(cuò)誤時(shí)， S≠0。又由式 (10415)可知， S與錯(cuò)誤圖樣有對(duì)應(yīng)關(guān)系，與發(fā)送碼字無關(guān)。故 S能確定傳輸中是否發(fā)生了錯(cuò)誤及錯(cuò)誤的位置。 0)( ??????????? TTTTT HEHEHAHEAHB第 10章 信道編碼 下面以上一節(jié)中所列舉的 (7， 3)碼為例，具體說明線性分組碼的譯碼過程。 (1) 首先根據(jù)式 (10415)求出錯(cuò)誤圖樣 E與伴隨式 S之間的關(guān)系，并把它保存在譯碼器中。由 (7， 3)線性分組碼編碼一節(jié)可知，此碼最小碼距 d0=4，能糾正碼字中任意一位錯(cuò)誤，碼長(zhǎng)為 7的碼字中錯(cuò) 1位的情況有 7種，即碼字中錯(cuò) 1位的錯(cuò)誤圖樣有7種，如碼字第一位發(fā)生錯(cuò)誤，錯(cuò)誤圖樣為 E=［ 1000000］ 第 10章 信道編碼 由式 (10415)求得伴隨式為 由上式可看出，伴隨式 S6等于 HT中的第一行。 ]1110[1000010000100001101111100111]1 0 0 0 0 0 0[6???????????????????????????THES第 10章 信道編碼 如碼字在傳輸過程中第二位發(fā)生錯(cuò)誤，錯(cuò)誤圖樣為 E=［ 0 1 0 0 0 0 0］ 則伴隨式為 即伴隨式 S5等于 HT中的第二行。 ]0111[1000010000100001101111100111]0 1 0 0 0 0 0[5???????????????????????????THES第 10章 信道編碼 由此可求出錯(cuò) 1位的 7種錯(cuò)誤圖樣所對(duì)應(yīng)的伴隨式，它們剛好對(duì)應(yīng) HT中的 7行。錯(cuò)誤圖樣與伴隨式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表 1043所示。 第 10章 信道編碼 第 10章 信道編碼 (2) 當(dāng)譯碼器工作時(shí)，首先計(jì)算接收碼字 B的伴隨式 S，然后查表 1043得錯(cuò)誤圖樣 E 如接收碼字為 B=［ 1100111］，用式 (10415)求出其伴隨式為 根據(jù)此伴隨式，查表 1043得錯(cuò)誤圖樣 E=［ 1000000］，可知接收碼字 B ]0 1 1 1 0[1000010000100001101111100111]1 1 0 0 1 1 1[ ???????????????????????????THBS第 10章 信道編碼 (3) 最后用錯(cuò)誤圖樣糾正接收碼字中的錯(cuò)誤。 根據(jù)接收碼字 B及錯(cuò)誤圖樣 E即可得到發(fā)送碼字 A，方法是 A=B+E=［ 1 1 0 0 1 1 1］ +［ 1 0 0 0 0 0 0］ =［ 0100111］ 如果此 (7， 3)分組碼用于檢錯(cuò)，碼距 d0=4的 (7， 3)分組碼最多能檢 3位錯(cuò)誤。檢錯(cuò)譯碼的方法是：計(jì)算接收碼字的伴隨式 S，如果 S=0，譯碼器認(rèn)為接收碼字中沒有錯(cuò)誤；如果 S≠0，則譯碼器認(rèn)為接收碼字中有錯(cuò)誤，譯碼器會(huì)以某種方式將此信息反饋給發(fā)送端，發(fā)送端將重發(fā)此碼字。 第 10章 信道編碼 最后還要指出，若接收碼字中錯(cuò)誤位數(shù)超過 1時(shí)， S也有可能正好與發(fā)生 1位錯(cuò)誤時(shí)的某個(gè)伴隨式相同，這樣，經(jīng)糾錯(cuò)后反而“越糾越錯(cuò)”。如發(fā)送碼字 A=［ 0100111］，傳輸過程中發(fā)生 3位錯(cuò)誤，設(shè)錯(cuò)誤圖樣 E=［ 0000111］，此時(shí)接收碼字B=［ 0100000］。根據(jù)上述所介紹的糾錯(cuò)譯碼方法，計(jì)算出此接收碼字的伴隨式 S=［ 0111］，查表 1043得錯(cuò)誤圖樣 E=［ 0100000］，譯碼器認(rèn)為第二位發(fā)生了錯(cuò)誤，將第二位糾正，得糾正后的碼字為［ 0000000］。由此可見，本來接收碼字中有 3位錯(cuò)誤，但通過糾錯(cuò)譯碼后，錯(cuò)誤不但沒有減少反而增加了 1位，這就所謂的“越糾越錯(cuò)”。 第 10章 信道編碼 在傳輸過程中，也會(huì)發(fā)生發(fā)送碼字的某幾位發(fā)生錯(cuò)誤后成為另一發(fā)送碼字的情況，這種情況收端也無法檢測(cè)，這種錯(cuò)誤我們稱之為不可檢測(cè)的錯(cuò)誤。從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來看，這種情況出現(xiàn)的概率很小。如發(fā)送碼字 A=［ 0100111］，傳輸過程中發(fā)生 4位錯(cuò)誤變成 B=［ 0111010］，計(jì)算其伴隨式發(fā)現(xiàn) S=0，譯碼器認(rèn)為沒錯(cuò)。事實(shí)上，接收到的 B是另一個(gè)發(fā)送碼字。不管是這種情況還是上述的“越糾越錯(cuò)”，發(fā)生原因都是因?yàn)榇a字中的錯(cuò)誤個(gè)數(shù)超出了碼的糾錯(cuò)能力。所以在設(shè)計(jì)信道編碼方案時(shí)，應(yīng)充分考慮信道發(fā)生錯(cuò)誤的情況。 第 10章 信道編碼 例 (例 )(7， 4)漢明碼的譯碼。 解 例 (7， 4)漢明碼的監(jiān)督矩陣為 由例 ， (7， 4)漢明碼的碼距 d0=3，能糾正 1個(gè)錯(cuò)誤。碼長(zhǎng)為 7的碼字錯(cuò) 1位的錯(cuò)誤圖樣有 7種，利用式 (10415)可求出這 7種錯(cuò)誤圖樣所對(duì)應(yīng)的伴隨式。對(duì)應(yīng)關(guān)系如表 1044所示。 ???????????100110101010110010111H第 10章 信道編碼 第 10章 信道編碼 由表 1044可知， HT中的每一行都是一個(gè)伴隨式。由于(7， 4)漢明碼中監(jiān)督碼元的個(gè)數(shù)為 3，所以伴隨式是個(gè) 1行 3列的矩陣。三位二進(jìn)制不同的組合共有 8種，除全“ 0”組合外還有 7種，這 7種組合剛好與錯(cuò) 1位的 7種錯(cuò)誤圖樣一一對(duì)應(yīng)。所以，碼長(zhǎng)為 7的碼字中至少加入 3位監(jiān)督碼元才能糾單個(gè)錯(cuò)誤。(7， 4)漢明碼在 7位碼字中只有 3位監(jiān)督碼元，因此， (7， 4)碼是一種糾單個(gè)錯(cuò)誤的高效的線性分組碼。 第 10章 信道編碼 7種錯(cuò)誤圖樣與 7個(gè)伴隨式之間的關(guān)系只要一一對(duì)應(yīng)就不會(huì)影響碼的糾、檢錯(cuò)能力。所以，我們也可改變表 1044的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而得到不同于例 HT，即得到不同于例 (7， 4)漢明碼的監(jiān)督關(guān)系。如改變表 1044中的對(duì)應(yīng)關(guān)系得到 ???????????????????????100010001111110011101TH第 10章 信道編碼 所以，監(jiān)督矩陣為 ???????????100110101011100011011H第 10章 信道編碼 由 ,得到另一個(gè) (7， 4)漢明碼的監(jiān)督關(guān)系方程組為 ??????????????????????????????????0000123456aaaaaaaH??????????????????000034613452356aaaaaaaaaaaa第 10章 信道編碼 按此方法還可構(gòu)造出不同的 (7， 4)漢明碼的監(jiān)督關(guān)系。我們知道，監(jiān)督關(guān)系不同，碼字集中的碼字也會(huì)不同，但按這種方法構(gòu)造的所有 (7， 4)漢明碼具有相同的性能，即編碼效率相同，糾、檢錯(cuò)能力相同。 第 10章 信道編碼 例 試驗(yàn)證 (5， 1)重復(fù)碼最多能糾 2位錯(cuò)誤。 解 最多能糾 2位錯(cuò)誤的碼必須能糾任意位置上的單個(gè)錯(cuò)誤及任意位置上的 2個(gè)錯(cuò)誤。長(zhǎng)度為 5的碼字發(fā)生單個(gè)錯(cuò)誤的錯(cuò)誤圖樣有 種，分別是 515 ?C]0 0 0 0 1[ ]0 0 0 1 0[]0 0 1 0 0[ ]0 1 0 0 0[ ]1 0 0 0 0[54321?????EEEEE第 10章 信道編碼 任意錯(cuò) 2位的錯(cuò)誤圖樣有 種，它們是