遼寧工業(yè)大學高數習題課(9)(編輯修改稿)
2025-11-14 21:02 本頁面
【文章內容簡介】 ????zxyz DDd z d xxd y d zy 22 11?? ?? 3 0 1 0 212 dzdxx 3412 ???? ?? 23zox又 在 ， ? yoz所以 ； 0????zdxdy1?xyz1yzDxzDn?o【 例 3】 計算曲面積分 。 ???????? dxdyzydz dxzyxdy dzxzI )2()( 2222其中 為上半球體 ， 的表面外側。 ? 222 ayx ?? 2220 yxaz ????分析 由于 為封閉曲面，所以可采用框圖中線路 1的方法計算。 ?解：本題中， ， ， 。積分曲面 2xzP ? 22 zyxQ ?? zyR 22 ?? ?為封閉曲面，設 所圍成的空間閉區(qū)域為 ，則 ? ?? ： ， ； 222 ayx ?? 2220 yxaz ????或 ： ， ， 。 ? ar ??020???? ???? 20于是由 Gauss公式，得 ???? ????????? dx dy dzzRyQxPI )( ??????? d x dy d zyxz )( 222??? ????? ?? a drrrdd 0 222 0 2 0 s i n552 a??xyza?n?n?aa0注：若將本題中的積分曲面 改為上半球面 的 ? 222 yxaz ???上側，則由于 不是封閉曲面，又不是平面塊，從計算方法 ?的框圖上看，采用線路 2 22的方法計算較為簡便，現(xiàn)計算 ?如下： 補平面塊 取下側， )( ,0 : 222 ayxz ???? ?則 與 構成一封閉曲面，且取外側。 ? ??????在封閉曲面 上應用 Gauss公式， ?xyza??n?1n?aa0??? ????? ?? a drrrdd 0 222 0 2 0 s i n552 a??又 ??? ????? dx dyzydz d xzyxdy dzxz )2()( 2222??? ??? d xd yzy )2( 2 222 ad x d yxyD????? ??故 ?? ??? ??? ? ??????? dxdyzydz dxzyxdy dzxzI )2()( )( 2222)2(52 25 aa ????? )5(5 32 aa ?????? ??????? d xd yzyd z dxzyxd y d zxz )2()( 2222???? ????????? dvzRyQxP )( ??????? dvyxz )( 222【 例 4】 計算曲面積分 ，其中 為 ??? ?????212222)()(zyxdxdyazaxdy dzI ?下半球面 的下側。 222 yxaz ???? )0( ?a分析 由于 ， ， 21222 )( zyxaxP???0?Q212222)()(zyxazR????定義在曲面 上，所以被積函數滿足曲面方程 ? 222 yxaz ????故應首先考慮用曲面方程化簡被積函數 , 即 然后再計算。其次本題可考慮用高
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