【文章內容簡介】 ????b b b1 2 3132452436341426???????????????????????????????????????????????????? ?b i i i inA A A? 1 2 ? T(i=1, ?,m) ? ? T21 mbbbA ??T635264432143421?????????????????AFriday, November 12, 2021 理論力學 CAI 數學基礎 26 矩陣的導數 ? 矩陣對時間的導數 ? 矩陣對變量的導數 矩陣 /導數 Friday, November 12, 2021 理論力學 CAI 數學基礎 27 矩陣對時間的導數 ? 元素為時間 t 的函數，記為 Aij(t)， 該矩陣記為 A(t) 矩陣 /導數 /對時間的導數 nmijtAt ??????????dddd d e fA ? ?? ?A ??A ij m n? ? nmij tAt ?? )()(A? 矩陣對時間導數的定義 – 矩陣對時間的導數為一 同階 矩陣 – 其各元素為原矩陣的元素 Aij(t)對時間的導數 Friday, November 12, 2021 理論力學 CAI 數學基礎 28 ? 矩陣對時間導數的運算 ? ? AAAAA ?? ????? ??????????ttt dddddd? ? BABABA ?? ?????????????????ttt dddddd? ? BABABABAAB ?? ????????????????ttt dddddd矩陣 /導數 /對時間的導數 Friday, November 12, 2021 理論力學 CAI 數學基礎 29 ? 例 已知 ? ?dd ? ?t A B A B? ? ?矩陣 /導數 /對時間的導數 ?????????? ttttc o ss ins inc o sA?????????200ttB? ? ?????????????????????????? 200c o ss i ns i nc o sddddtttttttt BAA?????????????????? ?????ttttt2001s i nc o sc o ss i nBA ??驗證 ???????? ???? ttt tttt c o ss in s inc o sdd 2???????? ???? ttt tt s in2c o s c o ss in1? ?dd ? ?t A B A B? ? ????????? ????ttttts in2c o sc o ss in1???????? ????tttts inc o sc o ss in B?????????? t20 01Friday, November 12, 2021 理論力學 CAI 數學基礎 30 ? 例已知 矩陣 /導數 /對時間的導數 ? ? ???????????????????????? 200c o ss i ns i nc o sddddtttttttt AB???????????????? ?????????????????? ?????ttttttttttt2001c o ss i ns i nc o s00s i nc o sc o ss i n2BABA ??? ?dd ? ?t AB A B A B? ??????????? ttttc o ss ins inc o sA?????????200ttB驗證 ???????????????????????? ttttttttttttttttttttttt s i nc o s2c o ss i nc o ss i n2s i nc o sc o ss i ns i nc o sdd2222??????????????ttttttttttttts i nc o s2c o ss i nc o ss i n2s i nc o s22????????????tttts inc o sc o ss inA?????????? t20 01B???????????????????????ttttttttttttttc o s2s i ns i n2c o ss i nc o sc o ss i n22??????????????tttttttttttttts i nc o s2c o ss i nc o ss i n2s i nc o s22Friday, November 12, 2021 理論力學 CAI 數學基礎 31 矩陣對變量的導數 ? 標量函數對變量的偏導數 ? 標量函數陣對變量的偏導數 矩陣 /導數 /對變量的的偏導數 Friday, November 12, 2021 理論力學 CAI 數學基礎 32 ? 標量函數對變量的偏導數 – 多變量的標量函數 (多元函數 ) 矩陣 /導數 /對變量的偏導數 對于一組（ n個）變量，通常引入一 n 階列矩陣表示這組變量，即 ? ? T21 nqqq ??q如果有一個標量 a，它是這組變量的函數 (n元函數 ) ，記為 )(),( 21 qaqqqaa n ?? ?21 2c o ss i n)( ???? qaa[例 ]對于二元函數 21 2c o ss in ???a? ?T21 ???q引入二階變量陣 標量函數 a可表為 Friday, November 12, 2021 理論力學 CAI 數學基礎 33 ? 標量函數對變量的偏導數 – 多變量函數 a 對 n 階變量陣 q 的偏導數為一 n 階 行陣 – 其元素分別為該標量函數對各自變量 qj 的偏導數 矩陣 /導數 /對變量的偏導數 [例 ]對于二階變量陣 的標量函數 ? ?T21 ???q 21 2c o ss i n)( ???? qaanjnqaqaqaqaaa????????????????????121d e fd e f?????????? ?qq? ?2121212s i ns i n22c osc os ?????????? ??????????? aaaq21?12?Friday, November 12, 2021 理論力學 CAI 數學基礎 34 ? 標量函數陣對變量的偏導數 – 多變量的標量函數陣 矩陣 /導數 /對變量的偏導數 對于有 n個變量，通常引入一 n 階列矩陣表示這組變量，即 ? ? T21 nqqq ??q如果有一個 m 階標量函數列陣 它的元素是上述變量的函數，記為 ? ? ? ? T21T21 )()()( qqq mm ?????? ?? ?????????????????????????????????)()()(21