【文章內(nèi)容簡介】 N?? ??????????mx121[ ( 1 ) ] 1 4Nnnnn n x x? ??? ? ??1110, ( ) ( 1 ) ( ) d ( 1 ) ( )1nnm n m n mml L u n n x x x x n nN?? ??? ? ? ? ? ? ? ???1220, ( 1 4 ) ( ) d 1 4( )1m m mmg g x x x xN??? ? ? ? ? ? ? ???歸結(jié)起來，可寫出 1( 1 ) ( )1nmnml n nN????21 4( )1mmgN?? ?情況 1: N=1 1 1 1122 , 2()uxlgxx?? ???? ? ?????? ? ????????情況 2: N=2 121322 92 4 259???????????????????? ?? ??????121 3 1421 9 1 82 2 2 6 2493??? ? ? ?? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ?????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 3 2 31 2 13 1 2( ) ( ) ( )18 3 18 18 3u x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?情況 3: N=3 1233 3 522 4 42 3 3 29 2 7 1 322 4 4???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?可以得出 ??????????????????????????????????????????????3121413452921549427427321023631292???)(312165)(31)(21)( 04242 xuxxxxxxxxu ????????對于點選配情況 N=3，又一次回復(fù)到精確解。 [討論 ] (1) 對于點選配的情況， N+1階矩陣中的 N階主子陣并不等于在 N時的系數(shù)矩陣 (和 Galerkin情況不同 )。因此當(dāng) N逐漸變大時計算量無法節(jié)約。 (2) 點選配雖然看起來非常簡單，然而其內(nèi)在的道理極其深刻。這一點可以從數(shù)值積分看出。研究表明任何數(shù)值積分方法，不論矩形、梯形、二次樣條等，說到底都是選擇積分區(qū)域的點和區(qū)域點所對應(yīng)的系數(shù)，由此產(chǎn)生 Gauss積分的思想。所以在矩量法中，研究最佳點選配將是一個十分有意義的課題 。 矩量法在離散化過程中用展開函數(shù)取代基函數(shù)，帶來了方便和自由。但是，隨之而來的如何確保解的收斂性的問題卻值得人們重視。 在尚未了解 u(x)函數(shù)性態(tài)的條件下，采用有限個展開函數(shù) {ui(x)}， i=1， 2， ...， N時要確保解收斂顯然在理論上存在不少困難，采用分域基函數(shù)可以說是比較穩(wěn)妥的一種解決方案。因為大多數(shù)良態(tài)函數(shù) (不做高速振蕩 )均可以采用有限段直線或樣條加以逼近，如圖 5176所示。 圖 5176 分域基函數(shù)近似 下面從最簡單的脈沖函數(shù)著手展開討論。 一般的脈沖函數(shù)可以表述為 112 ( 1 ) 2 ( 1 )112 ( 1 ) 2 ( 1 )( , )1( ) {0 ( , )ii NNiii NNx x xP x xx x x????? ? ???? ? ?(51726) 式 (51726)表示以 ｘ i為中點，密度為 1/(N+1)的脈沖函數(shù)，在實際情況下，密度可以根據(jù)問題靈活改變，如圖 5177所示。 圖 5177 脈沖函數(shù) 圖 5178 三角形函數(shù) 三角形函數(shù)也是常用的一種分域基，如圖 5178所示。 若采用三角形函數(shù)展開未知函數(shù) ｕ (x)，則有 (51727) 所得的 解的合成相當(dāng)于折線連接 ，分段三角形函數(shù)所得的折線包絡(luò)如圖 5179所示。 為了研究具體例子，這里先給出三角形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念。引入如圖 51710所示的階梯函數(shù) H(xxi)，其定義為 ? ?)(01{)(1,11,11??????????? ?iiiixxxxi xxxxxxxxT iii)()(1nNnn xxTxu ?? ???圖 5179 分段三角形函數(shù)所得的折線包絡(luò) 圖 51710 H(xxi) 函數(shù) 121()0iiiixxH x x x xxx???? ? ??? ?? (51728) 再引入大家熟悉的 Diracδ函數(shù)，也即脈沖函數(shù)，其定義為 (51729) ()0iiixxxxxx?????? ???如圖 51711所示。 圖 51711 δ(xxi)函數(shù) Diracδ函數(shù)有兩個重要的性質(zhì)： (51730) (51731) 這里不加證明的給出 Diracδ函數(shù)和階梯函數(shù)之間的重要關(guān)系。 (51732) 有了以上基礎(chǔ)就可以把三角形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)用階梯函數(shù) H表示，具體為 (51733) [ ( ) ] ( )iid H x x x xdx ?? ? ?? ?1 1 1 11 1 1 111()( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i iii i i ix x x x x x x xdT x xdxH x x H x x H x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ?( ) 1ix x dx???????( ) ( ) ( )iif x x x d x f x???????圖 51712給出形象的幾何表示。 圖 51712 三角形函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何表示 [例 4] 重新研究 Harrington(哈林登 )問題， L(u)=g，其中 L= ， g= ，邊界條件為 u(0)=u(1)=0。 試用以三角函數(shù)作為展開函數(shù)，脈沖函數(shù)作為權(quán)函數(shù)的矩量法求解。 22ddx?241 x? [解 ] 根據(jù)要求可寫出 于是有 上式已計及 選擇權(quán)函數(shù) 于是矩陣單元 上式要分三種情況討論。 )()(1nNnn xxTxu ?? ???? ? ? ? ? ?2 2 11( ) ( ) ( 1 ) ( ) 2 ( ) ( )dn n n n ndxL T x x T x x N x x x x x x? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? 1)(NmmmmxxxP?? ?10 ()m n m nl L T x x d x????? ?1 110 ( ) ( 1 ) ( ) 2 ( ) ( )m n n nP x x N x x x x x x d x? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??1111 1i i i iNx x x x??? ? ???此外，激勵單元為 結(jié)果可歸納為 12 ( 1 )12 ( 1 )11 2 2 200 ( 1 4 ) ( ) ( 1 4 ) ( 1 4 )m Nm Nxm m m xg x d x P x x x d x x d x?????? ? ? ? ? ? ?? ? ?110)1()1(2??????????????nmnmnmNNl mn2 132411 ( 1 )1mm N Ng?? ?????????1mm Nx ??? ?10 ()m n m nl L T x x d x????? ?1 110 ( ) ( 1 ) ( ) 2 ( ) ( )m n n nP x x N x x x x x x d x? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??情況 1： N=1 考慮到對比： 則有 和 的對比如圖 51713所示。 11 4,L ? 1 2524g ?25 60 41 696i? ??? ? 240 5 1 16 2 3u x x x x? ? ?01 13 2 48u?? ??????? ?1ux 0 ()ux圖 51713 和 ? ?1ux 0 ()ux情況 2： N=2 l=