[工學(xué)]9現(xiàn)代信號(hào)處理-功率譜估計(jì)(編輯修改稿)
2024-11-12 18:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 nwnxnyPiiii ????? ????（ ） 式中， w(n)為白噪聲 , 且 0)]()([,)]()([,0)]([ ,2 ??? lwnxElwnwEnwE lnw ??將 ()式中 x(n)的用 AR(2P)表示，即將 ()式帶入 ()式中， 得到 )()()(21nwinxanyPii ???? ??（ ） 將（ ）式中的 n用 ni代替 , x(ni)=y(ni)w(ni) 再將上式帶入 ()式 , 得到 ?????????PiiPii inwanwinyany2121)()()()(() 上式可以看成一個(gè)特殊的 ARMA(2P,2P)模型 ， 括弧中的兩個(gè) 2P分別表示 ARMA模型系統(tǒng)函數(shù)分子和分母的階次 。 它與一般的ARMA模型比較 ， 有三方面不同： (1) 它的 AR部分和 MA部分具有相同的參數(shù) ， 它們存在共同的因子； (2) 由于特征多項(xiàng)式 ()式的根的模為 1， 故 AR部分特征多項(xiàng)式不滿足平穩(wěn)性條件 ， MA部分特征多項(xiàng)式也不滿足可逆性條件； （ 3） AR部分的 y(n)=x(n)+w(n)， y(n)是含白噪聲的觀測(cè)值 ，而通常為信號(hào)的 x(n)不含白噪聲 。 特征分解法譜估計(jì) 這種特殊的 ARMA模型結(jié)構(gòu) ， 不能用一般的 ARMA模型結(jié)構(gòu)求解 。 下面介紹特征分解技術(shù) 。 將（ ）式寫(xiě)成矩陣形式： YTA=WTA () 式中 TT221T)]2(,),1(),([],1[)]2(,),1(),([pnwnwnwWaaaApnynynyYp??????????用向量 Y左乘 ()式 , 并取數(shù)學(xué)期望 , 得到 E［ YY T］ A=E［ YW T］ A () 式中 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyRrprprprrrprrrYYE ???????????????????????)0()12()2()12()0()1()2()1()0(][T??????IWWEWWXEYWE w2TTT ][])[(][ ?????將上面關(guān)系式帶入 ()式 , 得到 AAR wyy 2??() 式中 ,σ w2是自相關(guān)函數(shù) Ryy的特征值 。 A是對(duì)應(yīng) σ w2的特征矢量 。 由于 x(n)與 w(n)互不相關(guān) ， 由 （ ） 式求 y(n)的自相關(guān)函數(shù) , 得到 IRR wxxyy 2???式中 Rxx是 x(n)的自相關(guān)函數(shù) , 可以推導(dǎo)出在特征方程 ()式中 , σ w2是 Ryy的最小特征值 ,且 Ryy的階數(shù)超過(guò) (2P+1)(2P+1)時(shí) ， σ w2就是其多重最小特征值 。 這一結(jié)論為我們尋求向量 A提供了重要的依據(jù) 。 () 當(dāng)特征向量 A求出后 ， 就可以通過(guò)解特征方程 ， 解出各個(gè)根 ， 求出各正弦波的頻率值 ， 特征方程為 01 22221120?????? ?????? PPPkkk zazazaza ?（ ） 該方程有 2P個(gè)根，這些根在 z平面的單位圓上，它們是 iωiz je?i=1, 2, 3, … , 2P （ ） 式中的 ω i即是正弦波的頻率 。 當(dāng)各正弦頻率由 ()式求出后 , 各正弦波的功率也可以求出 , 對(duì)于白噪聲中 P個(gè)實(shí)正弦組合信號(hào) , 它的自相關(guān)函數(shù)為 ????Piiwyy Pr12)0( ? （ ） mPmr iPiiyy ?c o s)(1???m≠ 0 () 式中 qi是頻率為 ωi的正弦波的幅度， Pi是其功率。 將 ()式寫(xiě)成矩陣形式 : FP=r () 式中 ???????????????PPPPPPF?????????c o sc o sc o s2c o s2c o s2c o sc o sc o sc o s212121??????() PT=［ P1, P2, … , PP］ )](,),2(),1([T Prrrr yyyyyy ??() () 由于各正弦波的頻率已求出 , 矩陣 F, r已知 , 由 ()式解出各正弦波的功率或幅度 。 最后噪聲功率由下式求出 : ????piiyyw Pr12 )0(?() 以上就是皮薩論科譜分解法的全過(guò)程 。 Prony譜分析法 Prony曾在 1975年提出用指數(shù)函數(shù)的一個(gè)線性組合去描述等間距采樣數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型，其方法并不是通常意義下的譜估計(jì)技術(shù)。這里介紹有 Kay和Marple（ 1981年）提出的可用于估計(jì)非有理式譜密度的擴(kuò)充的 Prony方法。 基本的 Prony法是一種內(nèi)插法。它是采用等間隔復(fù)指數(shù)值的線性組合來(lái)擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)。每個(gè)復(fù)指數(shù)包含幅度和指數(shù)因子兩部分，因此 p個(gè)復(fù)制數(shù)值就含有 2p個(gè)代求因子，若用 p個(gè)指數(shù)項(xiàng)去逼近 2p個(gè)數(shù)據(jù)，這種逼近可以精確實(shí)現(xiàn)。 當(dāng)用 p個(gè)指數(shù)去逼 N(N2p)個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，可用最小二乘法準(zhǔn)則來(lái)實(shí)現(xiàn) Prony方法的譜估計(jì)但這是一種非線性最小二乘法問(wèn)題，直接求解相當(dāng)困難，常用迭代法求解。 經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展后， Prony方法可用來(lái)計(jì)算有理式功率譜密度，本節(jié)介紹這種擴(kuò)展 Prony方法。擴(kuò)展Prony方法采用的數(shù)學(xué)模型為一組 p個(gè)具有任意幅值、相位、頻率與衰減因子的復(fù)指數(shù)線型組合來(lái)擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)，其離散時(shí)間的函數(shù)形式為 Prony譜分析法 多重信號(hào)分類 MUSIC 現(xiàn)代譜估計(jì)的應(yīng)用 MUSIC為： Multiple Signal Classification 即多重信號(hào)分類。 MUSIC 方法是一種估計(jì)空間參數(shù)的現(xiàn)代譜計(jì)算方法，它將功率譜推廣為空間譜，是最早問(wèn)世的子空間方法。這種算法是通過(guò)對(duì) 數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行本征分解 獲得信號(hào)空間譜估計(jì)的。 當(dāng)空間存在多個(gè)信號(hào)源時(shí)，常常用要對(duì)些空間信號(hào)進(jìn)行分離，以便跟蹤或檢測(cè)我們感興趣的空間信號(hào)，抑制那些被認(rèn)為是干擾的空間信號(hào)。為此，需要使用天線陣列對(duì)多個(gè)空間信號(hào)進(jìn)行接收。對(duì)天線陣列接收的空間信號(hào)所進(jìn)行的分析與處理統(tǒng)稱為 陣列信號(hào)處理。 空間譜是陣列信號(hào)處理中的一個(gè)重要概念。時(shí)域頻譜表示信號(hào)在各個(gè)頻率上的能量分布，而空間譜則是表示信號(hào)在空間各個(gè)方向上的能量分布，它能夠?qū)Χ鄠€(gè)空間信號(hào)進(jìn)行識(shí)別（即分類）。 波束形成器 特征子空間分析 MUSIC算法及其改進(jìn) 最佳波束形成器的基本原理是使來(lái)自非期望波達(dá)方向（ DOA－ direction of arri
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