【文章內(nèi)容簡介】 Pn(t) = (λt)n n！ eλt n=1,2,3…. ， t 0 (在 0時刻系統(tǒng)中有 0個顧客的概率等于 1） 單臺泊松 當(dāng)定義 t為 1個單位長度 在一個時間單位到達(dá) x個 顧客的概率 P(x),為 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 34 dP0(t) dt = λ P0(t) 由 解得 : P0(t) = e λt dPn(t) dt = λ Pn(t) + λ Pn1(t) 對于 兩邊乘以積分因子 eλt 并移項(xiàng)，有： dPn(t) dt + λ Pn(t) eλt = λ eλt Pn1(t) eλt d dt [ Pn(t) eλt ]= λ eλt Pn1(t) 進(jìn)行積分得： Pn(t) eλt= λ∫ Pn1(t) eλt dt 依次代入 n=1,2,…. P1(t) eλt= λt n=1: P1(t)= λte λt Pn(t) = (λt)n n！ eλt n=1,2,3…. ， t 0 分布證明： n=2： , n=3… E[N]= λt D[N]= λt 為平均到達(dá)數(shù) 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 35 系統(tǒng)中有 n個顧客 四、關(guān)于 模型 [M/M/1]:[∞/∞/FCFS] 特征指標(biāo)的證明 Pn的計(jì)算 在任意時刻 t，狀態(tài)為 n的概率 Pn(t)（瞬態(tài)概率），它決定了系統(tǒng)的運(yùn)行特征。 已知顧客到達(dá)服從參數(shù)為 λ 的泊松過程，服務(wù)時間服從參數(shù)為 μ 的負(fù)指數(shù)分布?，F(xiàn)仍然通過研究區(qū)間 [t， t+Δ t）的變化來求解在時刻t+Δ t，系統(tǒng)中有 n 個顧客不外乎有下列四種情況。（ t， t+Δ t）內(nèi)到達(dá)或離開 ,2個及其以上 沒列入）。 ？ 單臺泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 36 區(qū)間 (t, t + Δ t) 情況 時刻 t的顧客 到達(dá) 離去 時刻 t+ Δ t的顧客 (t, t + Δ t) 的概率 [0 , t + Δ t ] 的概率 A n n 1 λΔ t+ O ( Δ t) 1 μΔ t +O ( Δ t) P n (1 λΔ t+ O ( Δ t)) （ 1 μΔ t +O ( Δ t) ） B n+1 √ n 1 λΔ t+ O ( Δ t) μΔ t +O ( Δ t) P n +1 (1 λΔ t+ O ( Δ t)) （ μΔ t +O ( Δ t) ） C n 1 √ n λΔ t+ O ( Δ t) 1 μΔ t +O ( Δ t) P n 1 ( λΔ t+ O ( Δ t)) （ 1 μΔ t +O ( Δ t) ） D n √ √ n λΔ t+ O ( Δ t) μΔ t +O ( Δ t) P n ( λΔ t+ O ( Δ t)) （ μΔ t +O ( Δ t) ） 這四種情況是互不相容的，所以 Pn(t+Δ t)應(yīng)是這四項(xiàng)之和，則有： tttPtttPtttPttP nnnn ??????????????? ? ?????? )1)(()()1)(1)(()( 1)()1()(1 tOtttP n ?????? ? ?? 所有的高階 無窮小和并 單臺泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 37 t)t(P)t(P)t(O))t(Ott)(t(P nnn ???????????????? ? 11)t(O)t(O)t(Pt)t(P)t(O)t(P nnn ??????????? ??? 111)t(Ot)t(Pt)t(P)tt)(t(P nnn ????????????????? ?? 111t)t(O)t(P)()t(P)t(Pt)t(P)tt(Pnnnnn ?????????????????? 11 令 Δ t→0 ，得關(guān)于 Pn(t)的微分差分方程： )()()()()( 11 tPtPtPdt tdP nnnn ???????? ?? … .(1) 當(dāng) n=0時，只有表中的（ A）、（ B）兩種情況，因?yàn)樵谳^小的 Δ t內(nèi)不可能發(fā)生（ D）（到達(dá)后即離去），若發(fā)生可將 Δ t取小即可。 單臺泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 38 )t()t)(t(P)t)(t(P)tt(P ????????????? 11 100 ∴ )t(P)t(Pdt )t(dP 100 ????? ∴ ……… (2) 這種系統(tǒng)狀態(tài) (n)隨時間變化的過程就是生滅過程 （ Birth and Death Process） 。 穩(wěn)態(tài)時， Pn(t)與時間無關(guān) , 可以寫成 Pn, 011 ???????? ?? nnn P)(PP010 ????? PP ……… (3 ……… (4) 單臺泊松 它對時間的導(dǎo)數(shù)為 0， 所以由 (1)、 (2)兩式得： 方程 (1)、 (2) 解是瞬態(tài)解 ,無法應(yīng)用。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 39 由此可得該排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖： 由（ 4）得： 001 PPP ????? 其中 ρ ——服務(wù)強(qiáng)度 將其代入（ 3）式并令 n=1,2,…( 也可從狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖中看出狀態(tài)平衡方程 )得： 011 ???????? ?? nnn P)(PP010 ????? PP ……… (3 ……… (4) 關(guān)于 Pn的差分方程 n1 n n+1 2 0 1 …… ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 單臺泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 40 0120 ???????? P)(PP n=1 0020 ?????????? P)(PP ∴ 0202021 PP)(P)(P ????????????? ????????? n=2 0231 ???????? P)(PP00230 ????????????????????? P)(PP ∴ 0303022 23 1 PP)(P)(P ????????????? ???? ???????單臺泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 41 以此類推 … ，當(dāng) n=n時， 00)( PPPnnn ????? ……… (5) 1????? ∵ 10????nnP 及概率性質(zhì)知： 11 1000 ?????????PPnn （ 數(shù)列的極限為 ） ∴ ??11??? 10Pnn )(P ????? 1 ……… (6) ∴ 否則排隊(duì)無限遠(yuǎn) 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率 系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo) 單臺泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 42 2. 系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo) (1) 系統(tǒng)中的隊(duì)長 Ls（ 平均隊(duì)長 ） ? ? nnnns nPnL ???????? ?????? 001...)((n...)()()( n ?????????????????????? 113121 32...nn... nn ?????????????????? ? 143322 3322?????????????132 ...... n (0ρ1) ???????????????????1?????Ls 即 : ……… (7) 期望 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 43 (2) 隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù) Lq ? ? nnnnq nPnL ?????????? ?????? 111)1()1(? ? nnnn)(n ???????????? ?? ???? 1111?????????????12sL ……… (8) (3) 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間 Ws， 顧客在系統(tǒng)中的逗留時間是隨機(jī)變量 ， 可以證明 ， 它服從參數(shù)為 μ λ 的負(fù)指數(shù)分布 ， 分布函數(shù) ???????? 11nn單臺泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 44 和密度函數(shù)為： w)(e)w(F ?????? 1w)(e)()w(f ???????? （ w≥0 ） )WsLs( ??? ? ?????1wEWs ∴ (4)顧客在隊(duì)列中的平均逗留時間 Wq 顧客在隊(duì)列中的平均逗留時間應(yīng)為 Ws減去平均服務(wù)時間。 ??? ??????????? 111WsWq )WqLq( ??等待時間 考慮 LS與 WS的關(guān)系 單臺泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 45 ?????LsLsLLq s ????? ?????????? 12WsLs ??WqLq ?? 四個指標(biāo)的關(guān)系為 (Little 公式 ) 3. 系統(tǒng)的忙期與閑期 系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率： ??? 10P系統(tǒng)處于繁忙狀態(tài)的概率： ,1)0(0 ????? PNP服務(wù)強(qiáng)度 單臺泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 46 在繁忙狀態(tài)下，隊(duì)列中的平均顧客數(shù) Lb： Ls)N(P LL qb ???? ??? ???????? 0 顧客平均等待時間 : Ws)N(PWW qb ???????10 忙期的平均長度 : ????1B????1IB (由 來 ) 一個忙期平均服務(wù)顧客數(shù)為： ???????? 111 Lb P(N≥0)=L q 單臺泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 47 )(!)/(!)/(1100????????????? ccpccnn167。 多服務(wù)臺泊松到達(dá)、 負(fù)指數(shù)服務(wù)時間的排隊(duì)模型（ M / M / C / ∞ / ∞） 1. 系統(tǒng)中無顧客的概率 設(shè)：單位時間顧客平均到達(dá)數(shù) ? ，單位平均服務(wù)顧客數(shù) ? 。 一、模型特征函數(shù)公式 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 48 4. 顧客花在排隊(duì)上的平均等待時間 Wq = Lq / ? , 02)()!1()/( PccLcq ?????????2. 平均排隊(duì)的顧客數(shù) :Lq 多臺泊松 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + ? /? , 5. 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間 Ws = Wq+ 1/? , 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 49 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率 0)()(!1 pcccpcw ???????0!)/( pnpnn??? 當(dāng) n≤ c時 0)(!)/( pccp nn ????當(dāng) nc時 多臺泊松 7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個顧客的概率 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 50 P0 =, Lq = (個 顧客 ), Ls = Lq + ? /? = (個 顧客 ), Wq = Lq / ? = （分鐘） , Ws = Wq+ 1/? = （分鐘） , Pw = (必須排隊(duì)等待的概率）， 系統(tǒng)中有 1到 5個顧客的概率： P1 = , P2 = , P3 = , P4 = , P5 = 。 系統(tǒng)里有 6個人的概率或多于 6個人的概率為 。 多臺泊松 在前例的儲蓄所里多設(shè)一個服務(wù)窗口，即儲蓄所開設(shè)兩個服務(wù)窗口。顧客的到達(dá)過程仍服從泊松分布，平均每小時到達(dá)顧客仍是 36人；儲蓄所的服務(wù)時間仍服從負(fù)指數(shù)分布，平均每小時仍能處理 48位顧客的業(yè)務(wù)，其排隊(duì)規(guī)則為只排一個隊(duì)，先到先服務(wù)。試求這個排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)。 解 : C = 2， 平均服務(wù)率 : ? = 48/60 = 。 平均到達(dá)率 : ? = 36/60 = ， 二、例題計(jì)算分析 將 C、 ? 、 ?代入特征函數(shù)公式并進(jìn)行計(jì)算結(jié)果如下所示 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 51 多臺泊松 我們在第二節(jié)與第三節(jié)發(fā)現(xiàn)公式有三個公式是完全相同的，實(shí)際上這三個公式表示了任一個排隊(duì)模型（不僅僅是 M/M/1或 M/M/2）中， Ls，Lq， Ws， Wq之間的關(guān)系，也就是說：對任一個排隊(duì)模型成立。 當(dāng)然在多服務(wù)臺的 M/M/C模型中，計(jì)算求得這些數(shù)量指標(biāo)是很繁瑣的。管理運(yùn)籌學(xué)軟件有排隊(duì)論的程序，