【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 n1 n Pn=(λ n 1/μ n )Pn1=( ∏ λ i / ∏ μ j )p0 i=0 j=1 0 n 1 2 3 λ0 λ2 λ1 λn1 λn μ1 μn μ3 μ2 μn+1 泊松輸入 — 指數(shù)服務(wù)排隊(duì)模型 50 系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)： (穩(wěn)態(tài)時(shí)） ： ∞ L=∑KPk k=0 ： Lq=∑(KC) Pk kc 泊松輸入 — 指數(shù)服務(wù)排隊(duì)模型 51 λe: 穩(wěn)態(tài)情況下 ， 單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)的期望值等于單位時(shí)間內(nèi)離開(kāi)系統(tǒng)的顧客數(shù)的期望值 即： λe=μe 當(dāng)系統(tǒng)中有 n個(gè)顧客時(shí) ， 每單位時(shí)間進(jìn)入系統(tǒng)的顧客平均數(shù)為 λn， 每單位時(shí)間離開(kāi)系統(tǒng)的顧客平均數(shù)為 μn λe=∑λnPn μe=∑μnPn 泊松輸入 — 指數(shù)服務(wù)排隊(duì)模型 52 ,L q,λe ,W ,Wq之間的關(guān)系： Little證明了： W=L/λe , Wq=Lq/λe 幾何解釋?zhuān)? 穩(wěn)態(tài)時(shí) ， 一個(gè)顧客 ， 進(jìn)入系 統(tǒng)后 ， 每單位時(shí)間 ， 平均到達(dá) λe顧客 。 λe λe λe λe λe 進(jìn)入時(shí)刻 離開(kāi)時(shí)刻 總時(shí)間 Ws 隊(duì)長(zhǎng) Ls由時(shí)間段內(nèi)個(gè) λe組成的 Ls=λeWs 泊松輸入 — 指數(shù)服務(wù)排隊(duì)模型 53 同理： Lq=λeWq 又 W=Wq+（ 1/μ） W與 Wq只相差一段平均服務(wù)時(shí)間 1/μ L=Lq+(λe/μ) 泊松輸入 — 指數(shù)服務(wù)排隊(duì)模型 排隊(duì)論解題要點(diǎn) ?判斷排隊(duì)問(wèn)題： 3方面； ? Kedall符號(hào)描述模型； ?參數(shù) ?, ? (單位一致；顧客數(shù) /單位時(shí)間 )； ?繪狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖，找出 pn 與 p0 的關(guān)系； ?求 p0 , pn , Ls , Lq , Ws , Wq , ?e 等 Little 公式 55 M/M/1 無(wú)限源系統(tǒng) 穩(wěn)態(tài)概率方程： Pn= (λ/μ)Pn1=…… = (λ/μ)nP0 1?n ? N 0 N1 1 2 N2 λ λ λ λ μ μ μ μ N 1． M/M/1/N/∞ 參數(shù) λ， μ 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度： 56 N 由 ∑ Pn=1 n=0 M/M/1 無(wú)限源系統(tǒng) N ∑( λ/μ )nP0=1 , ? = λ/μ n=0 Pn= 1/(N +1) λ =μ (1 ? ) ?n/(1 ?N +1） λ ?μ N P0=1/[∑ ?n]= n=0 1/(N +1) λ =μ (1 ?)/(1 ?N +1） λ ?μ 57 N L=∑ nPn n=0 M/M/1 無(wú)限源系統(tǒng) 各計(jì)算公式： ?e =∑?n Pn =? (1PN )+0PN (只有 PN 不再進(jìn)人 ， 故 ?N =0， 其余均為 λ) μ e =∑ μ nPn=0P0+μ (1P0)（ 同理 ） W =L/λ e , Wq=W (1/μ ), Lq=Wqλ e 58 其他指標(biāo)： λ損 =λλe=λPN P忙 =1P0 , P閑 =P0 （ 只有一個(gè)服務(wù)臺(tái) ） 平均服務(wù)臺(tái)忙期的長(zhǎng)度 T忙 ， 平均服務(wù)臺(tái)閑期的長(zhǎng)度 T閑 ， T忙 / T閑 = P忙 / P閑 =(1 P0)/ P0 T閑 =1/λ(是從一個(gè)顧客到下一個(gè)顧客到達(dá)的平均間隔時(shí)間 ) 于是 T忙 =(1 P0)/ λP0 M/M/1 無(wú)限源系統(tǒng) 59 ? ∞/∞: λ μ M/M/1 無(wú)限源系統(tǒng) 穩(wěn)態(tài)概率方程： Pn=（ λ/μ） Pn1=(λ/μ)nP0 令 ρ =λ/μ 0 n 1 2 n1 λ λ λ λ μ μ μ μ λ μ ∞ 當(dāng) ρ ? 1時(shí) , ∑ρn不收斂，故應(yīng) ρ1, n=0 即 λμ 60 ∞ P0=1/(∑ ρn)= 1ρ 或 P0=1λ/μ n=0 M/M/1 無(wú)限源系統(tǒng) Pn=ρn(1ρ) 或 Pn=(λ/μ)n(1λ/μ) 61 M/M/1 無(wú)限源系統(tǒng) 進(jìn)而： ∞ L =∑ n(ρn ρn+1) n=1 ∞ ∞ =∑ nρn ∑nρn+1 n=1 n=1 ∞ ∞ =ρ+ ∑ nρn ∑ nρn +1 n=2 n=1 ∞ = ρ+∑ ρn +1 n=1 = ρ+ρ2/(1ρ) = ρ/(1ρ) = λ/(μλ) (ρ=λ/μ) 取出第一項(xiàng) 寫(xiě)成 ∞ ∑ （ n+1） ρn+1 n=1 與后一項(xiàng)合并 62 這里 : λe=μ(1P0)=λ W=L/λe=1/（ μλ） Wq=W1/μ=λ/[μ(μλ)] Lq=λWq=λ2/[μ(μλ)] M/M/1/1: 顧客到達(dá)若服務(wù)臺(tái)被占用立即離開(kāi) 。 M/M/1 無(wú)限源系統(tǒng) 63 P1=λ/（ μ+λ） P損 =P忙 =P1= λ /（ μ+λ） P閑 =P0= μ /（ μ+λ） M/M/1 無(wú)限源系統(tǒng) 直接可得： P0= (1ρ) / (1ρ)2 = 1 / (1+ρ) =μ / (μ+λ) P0+P1=1 1..M/M/C/N M/M/C 無(wú)限源系統(tǒng) 0 N1 1 2 N2 λ λ λ λ μ cμ 2μ cμ N C C1 λ λ cμ cμ C+1 3μ λ (c1)μ λ cμ cμ λ λ 穩(wěn)態(tài)概率應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系： 當(dāng) nc時(shí) ， Pn=[λ/(nμ) ]Pn1 當(dāng) n?c時(shí) ， Pn =[λ/(cμ)] Pn1 令 ρ=λ/（ cμ） 系統(tǒng)負(fù)荷強(qiáng)度系數(shù) 65 c/nρPn1=… =/n﹗ ρnP0 nc ρPn1=… =cc/c﹗ ρnP0 c?n ? N M/M/C 無(wú)限源系統(tǒng) 于是 Pn= N 由 ∑ Pn=1 可得 n=0 C1 N ∑ /n!ρnP0+ ∑ cc/c!ρnP0=1 n=0 n=c c1 P0=[∑ /n!ρn+ (cc/c!)*((ρcρN+1)/(1ρ))]1 n=0 66 N Lq=∑( nc)Pn n =c+1 =… =(cc/c! ρc+1P0)/{ [1(Nc+1) ρNc +(Nc) ρ Nc+1]/(1ρ )2} M/M/C 無(wú)限源系統(tǒng) 運(yùn)行指標(biāo)： 67 λe=λ(1PN) Wq=Lq/λe W=Wq+1/μ L=Wλe=Lq+λe/μ （ M/M/C/∞/∞） 此即上面的 M/M/C/N系統(tǒng)中 ,N∞的情形 ρ=λ/(cμ)?1時(shí) ， 不收斂 ， 設(shè) ρ1, M/M/C 無(wú)限源系統(tǒng) c1 P0=[∑c n /n﹗ ρn+c c /c﹗ (ρc /1ρ)]1 n=0 68 ( / n!)ρnP0 nc (cc/c!)ρnP0 n? c M/M/C 無(wú)限源系統(tǒng) Pn= Lq = ccρc+1P0 / [c! (1ρ)2] λe =λ Wq = Lq/λ W = Wq+ 1/μ L=λW = Lq+λ/μ 69 （ M/M/C/C/∞） 此即 M/M/C/N中 N=C 的情形 M/M/C 無(wú)限源系統(tǒng) c P0= [∑ / n!ρn]1 n=0 Pn= / n!ρnP0 λe=λ(1Pc) Lq=0, Wq=0(不等待 ) W=1/μ L=λeW=λe/μ=(λ/μ) (1Pc) λ損 =λλe=λPc 例 :某車(chē)站售票處有三個(gè)窗口 ， 同時(shí)售各車(chē)次的車(chē)票 。 顧客到達(dá)服從泊松分布 ， 平均每分鐘到達(dá) λ=（ 人 ） ， 服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布 ， 平均服務(wù)率μ=24（ 人 /h） ， 分兩種情況： ?1. 顧客排成一隊(duì) ， 依次購(gòu)票； ? ， 不準(zhǔn)串隊(duì) 。 求 :（ 1） 售票處空閑的概率 。 （ 2） 平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間 。 （ 3） 隊(duì)長(zhǎng)和隊(duì)列長(zhǎng) 。 例 題 解 析 71 例 題 解 析 ? 穩(wěn)態(tài)概率： ? 當(dāng) n3時(shí) Pn=[λ /（ nμ ） ]Pn1=(λ n/n!)ρ nP0 ? =3n/n!ρ nP0 ? 當(dāng) n?3時(shí) Pn=[λ /（ cμ ） ]Pn1=(33/3!)ρ nP0 ? = nP0 解： 1. M