布朗尼蛋糕盤設(shè)計數(shù)學(xué)建模二等獎?wù)撐?編輯修改稿)
2024-11-13 11:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 度分布 函數(shù)為 2t a n)]2ln ( c o s21[ 221 ?? ??? ? vA v rT v （ 4） 其中 r 為距離尖端頂點的距離， ? ， ? 分別為 半頂角 的弧度值和角度值 ，?2ln21?v ， ??? ?? ，平均熱量分布函數(shù) TH? (5) 為簡化計算，該強度是在假設(shè)尖端 溫度 為 0 的條件下得到的， A 為待定常量?？紤]本文研究的是尖端，所以認為 1?? ，即 ??? 。 根據(jù)式（ 4）得到尖端溫度場與半頂角（用弧度表示）之間的關(guān)系，由關(guān)系式可得當 ? 固定時， ?r 時 ?T ，r 固定時， ?? 時 ?T ，當 ?? ??r 時 ?T ，并且 0221 2t a n)]2l n ( co s21[limlimlim1 11 11 1TvAvrTT vrrrrrr a????? ?????????????? 其中 011 , Tr? 為常數(shù)，且 0,0 11 ???? r? 。從上式可以得出，當 ? ， r 遠離常數(shù) 0 時，溫度 T 趨于平穩(wěn)，因此平均熱量分布函數(shù) H 的大小主要取決于 ? ， r 在取 0 時附近的溫度值。 在總熱量保持恒定的前提下，可以得出： （ 1）當??? ??00r?時，溫度值 ?T 時，總體平均熱量分布 ?H 。 （ 2）在尖端 0?r 附近，如果半頂角 ?? ，曲率 ? ， T 變化緩慢， ?H 。 綜上可得，當半頂角 2max ?? ?，也就是取圓形時，曲率最小，平均熱量分布函數(shù) H 取最大。 尖端 熱 效應(yīng)模型 的 Matlab 仿真 通過 Matlab 仿真 [910]實現(xiàn)了 半頂角 ? 固定，溫度 T 與距離 r 間的變化過程，見圖 4(a)。實現(xiàn)了距離 r 固定，溫度 T 與半頂角 ? 間的變化過程，見圖 4(b)。實現(xiàn)了溫度 T 與半頂角 ? 和距離 r 兩個因素間的變化過程，見圖 4(c)。 1 0 . 500 . 5100 . 0 50 . 1012345x 1 016S e m i a p e x aT i p t e m p e r a t u r e f i e l dF r o m t h e v e r t e x d i s t a n c e rTemperature field T 圖 7(a) 尖端溫度場隨到角端距離的變化 00 . 20 . 40 . 60 . 811 0 . 500 . 5102468x 1 013S e m i a p e x aT i p t e m p e r a t u r e f i e l dF r o m t h e v e r t e x d i s t a n c e rTemperature field T 圖 7(b) 尖端溫度場隨著半頂角的變化 00 . 5100 . 0 50 . 1050100150200250300350400 S e m i a p e x aT i p t e m p e r a t u r e f i e l d F r o m t h e v e r t e x d i s t a n c e r Temperature field T50100150200250300350 圖 7(c) 尖端溫度場 溫度 分布圖 根據(jù)圖 7(a)可知：隨著到尖端的距離的增大，溫度的變化趨于平穩(wěn)，即溫度分布相對均勻，也就是說，在尖端附近，溫度的變化比較劇烈，溫度分布不均勻。 根據(jù)圖 7(b)可知：隨著尖端角度的增大，曲率減小，溫度的變化趨于平穩(wěn)，即溫度分布相對均勻，也就是說，在尖端角度越小時，曲率越大，溫度的變化比較劇烈，溫度分布不均勻。 綜 上可知，距離尖端越近， 角度越小 即 曲率越大 時 ，溫度分布越不均勻，反之， 距離尖端較遠，角度越大即 曲率越小 時 ，溫度分布越均勻 ，如圖 7(c)所示 。 因此可以得知：由矩形到圓形過渡的圖形中，圓形的曲率最小，所以圓形烤盤邊緣平均熱量分布最均勻，與理論推導(dǎo)結(jié)果一致。 輻射傳熱模型 驗證結(jié)果 為了驗證尖端熱效應(yīng)模型的合理性和正確性，用常規(guī)的輻射傳熱模型來考慮平均熱量分布問題。 電烤箱的工作原理是由于電烤箱的電阻元件發(fā)熱以輻射熱的方式給電烤箱內(nèi)的物體加熱。由輻射熱的傳熱量公式 [11] tFhrr ??? 其中 : r? 為 輻射傳熱量 ， rh 為 輻射傳熱系數(shù) ， t? 為 溫度差 ， F 為 傳熱方向上的導(dǎo)熱面積 。 我們可以看出電烤箱內(nèi)物體所吸收的熱量與傳熱接觸面積有關(guān)，且當傳熱接觸面積 F 增大時，烤盤的吸熱量也會增大。當烤盤形狀從矩形到圓形變化，在 烤盤面積 A 一定 的情況 下 ， ALS ?側(cè) , ?? 側(cè)SL , ， ??r 。 所以 對于矩形烤盤和圓形烤盤，烤盤高度 h 相同，矩形的吸熱量大于圓形烤盤的吸熱量（ 圓形矩形 rr ??? ）所以 在相同時間內(nèi)（將面包烤熟） ， 矩形 烤 盤 內(nèi)部溫度較高 ，在邊緣和邊角處容易烤焦 。 所得結(jié)論能夠解釋問題中的現(xiàn)象，同時與尖端熱效應(yīng)模型結(jié)論一致，說明上述將溫度場類比于電場，并設(shè)計的尖端熱效應(yīng)模型是可 行的。 5 基于烤盤數(shù)量與熱量分布的雙目標規(guī)劃模型 在選擇烤盤形狀時要考慮兩方面因素：圖形密鋪效果和烤盤邊緣熱量分布。當選取與烤箱邊長比一致的矩形烤盤時，存在烤盤完全密鋪烤箱的情況，能夠充分利用烤箱空間。這樣，在面積 A 相等的情況下，烤盤為矩形時，箱內(nèi)所能容納 的烤盤數(shù)量最多。 但是，由尖端熱效應(yīng)模型可知，烤盤邊角越尖，曲率越小，即角度越小，其溫度梯度變化越大，溫度分布越不均勻。同時由于邊角處溫度場疊加，使得溫度升高，導(dǎo)致邊角處食物越容易變焦。 圖 8 矩形熱量分布圖 由尖端熱模型求解結(jié)果分析，
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