布朗尼蛋糕盤設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模二等獎(jiǎng)?wù)撐?閱讀頁
2024-10-28 11:48本頁面
【正文】 emperature field T 圖 7(a) 尖端溫度場隨到角端距離的變化 00 . 20 . 40 . 60 . 811 0 . 500 . 5102468x 1 013S e m i a p e x aT i p t e m p e r a t u r e f i e l dF r o m t h e v e r t e x d i s t a n c e rTemperature field T 圖 7(b) 尖端溫度場隨著半頂角的變化 00 . 5100 . 0 50 . 1050100150200250300350400 S e m i a p e x aT i p t e m p e r a t u r e f i e l d F r o m t h e v e r t e x d i s t a n c e r Temperature field T50100150200250300350 圖 7(c) 尖端溫度場 溫度 分布圖 根據(jù)圖 7(a)可知：隨著到尖端的距離的增大，溫度的變化趨于平穩(wěn)，即溫度分布相對(duì)均勻，也就是說，在尖端附近，溫度的變化比較劇烈，溫度分布不均勻。 綜 上可知，距離尖端越近， 角度越小 即 曲率越大 時(shí) ，溫度分布越不均勻，反之， 距離尖端較遠(yuǎn)，角度越大即 曲率越小 時(shí) ，溫度分布越均勻 ，如圖 7(c)所示 。 輻射傳熱模型 驗(yàn)證結(jié)果 為了驗(yàn)證尖端熱效應(yīng)模型的合理性和正確性，用常規(guī)的輻射傳熱模型來考慮平均熱量分布問題。由輻射熱的傳熱量公式 [11] tFhrr ??? 其中 : r? 為 輻射傳熱量 ， rh 為 輻射傳熱系數(shù) ， t? 為 溫度差 ， F 為 傳熱方向上的導(dǎo)熱面積 。當(dāng)烤盤形狀從矩形到圓形變化，在 烤盤面積 A 一定 的情況 下 ， ALS ?側(cè) , ?? 側(cè)SL , ， ??r 。 所得結(jié)論能夠解釋問題中的現(xiàn)象，同時(shí)與尖端熱效應(yīng)模型結(jié)論一致，說明上述將溫度場類比于電場，并設(shè)計(jì)的尖端熱效應(yīng)模型是可 行的。當(dāng)選取與烤箱邊長比一致的矩形烤盤時(shí)，存在烤盤完全密鋪烤箱的情況，能夠充分利用烤箱空間。 但是，由尖端熱效應(yīng)模型可知，烤盤邊角越尖，曲率越小，即角度越小，其溫度梯度變化越大，溫度分布越不均勻。 圖 8 矩形熱量分布圖 由尖端熱模型求解結(jié)果分析，圓形的曲率最大， 溫度梯度變化平穩(wěn)，溫度分布均勻，所以圓形烤盤邊緣熱量分布最均勻，食物不易烤糊。然而，圓形的密鋪效果相對(duì)來說比較差，烤盤之間縫隙大，造成烤箱空間的浪費(fèi)。 雙目標(biāo)規(guī)劃模型 在考慮烤箱的外觀的美觀性的前提下，依據(jù)黃金分割理論，假定烤箱的寬長比 ?LW 為定值，即使有變化也變化不大，也就是不會(huì)出現(xiàn)狹長形狀的烤箱這種情況。埃奇沃思框圖如下： 圖 10 埃奇沃思 盒圖 其中 LN 為烤箱內(nèi)烤盤單元的最大數(shù)量、 KH 為平均熱量分布。說明忽略熱量分布的情況下，烤盤邊數(shù)越少，越趨近于矩形，烤箱內(nèi)所能容納的烤盤數(shù)越多，也就是效應(yīng)越大，無差異曲線離原 點(diǎn)越遠(yuǎn)效應(yīng)越大；藍(lán)色的曲線為平均熱量分布，其原點(diǎn)在右上角，說明在不考慮烤盤數(shù)量的前提下，隨著邊數(shù)越來越多，熱量分布越來越均勻，效應(yīng)越大。 顯然可見，當(dāng) 1?p 時(shí)，為烤盤數(shù)量 N 最多的密鋪模型，其結(jié)果為正方形密鋪；當(dāng) 0?p 時(shí)，為平均熱量分布函數(shù) H 最大的尖端熱效應(yīng)模型，其結(jié)果為圓形（正 n 多邊形，其中 ???n ）。則令 0?dndW 帶入公式可得 06 ???? ndndW 解之得 6?n 即選擇正六邊形的烤盤能同時(shí)滿足數(shù)量最多， 受熱最均勻。在圓形烤盤內(nèi)，熱量平均分布在外部邊緣，最后的成品邊緣不會(huì)烤焦。 由此我們建立了蛛網(wǎng)模 型 [1314]， 令 n 表示烤盤為正多邊形的邊數(shù)， (n)U 表示烤箱容納效用（烤箱容納效用即為使用者對(duì)烤箱容納烤盤數(shù)的滿意度） 根據(jù)文獻(xiàn) [15]得到烤箱容納效用與烤盤邊數(shù)的關(guān)系式： 221 0 nn(n) 2 ??U （ 1） 其中， ?,5,4,3?n ，當(dāng) ???n 時(shí)，此時(shí)的多邊形為圓。 g=x.*x+10*x22。 plot(x,g) hold on plot(x,h) 從圖像顯示隨著角數(shù)的增加，烤箱容納效用是減少的，烤箱的平均熱量分布效用是增加的。 由蛛網(wǎng)模型定理可知，函數(shù) (x)g 與 (x)h 的交點(diǎn)即是系統(tǒng)穩(wěn)定點(diǎn)，即 ?x 。 由此，我們給出了 在權(quán)重不同，即 顧客對(duì)烤出的蛋糕要求不同時(shí)，選擇烤盤形狀的流程圖，如下圖所示： 觀察上圖，根據(jù)不同 P 值對(duì)應(yīng)的不同結(jié)果，我們給出如下建議：當(dāng)對(duì)蛋糕數(shù)量要求較高時(shí)，選擇矩形烤盤；當(dāng)質(zhì)量成為第一考慮要素時(shí)，選擇圓形烤盤，如一些品牌蛋糕店；當(dāng)對(duì)兩者沒有特殊要求時(shí)，或希望兩者綜合考慮效果最好時(shí)，選擇正六邊形烤盤。并且又利用輻射傳熱傳熱量的計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)，進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。 在模型的建立與求解過程中 ,我們假定烤箱的寬長比為定值 ,而實(shí)際情況下 ,烤箱的寬長比在一個(gè)范圍 內(nèi)波動(dòng) ,因此模型求解結(jié)果存在一定誤差。 二、 烤 盤 ， 能保持溫度恒定，受熱均勻，更適合客戶自己掌握火候，烤出的 蛋糕 更 美 味 。 四、 烤 盤 的材料 鋁合金，易導(dǎo)熱。 六 、 烤 盤使用壽命長，只要保護(hù)得當(dāng)，一輩子不成問題。提出的蜂窩理論設(shè)計(jì)的正六邊形，在烤箱空間利用率優(yōu)于圓形烤盤，在受熱均勻程度上優(yōu)于方形烤盤，適用于大眾蛋糕店。 玩 “味 ”族，潮流隨你所 D（欲）。s make Brownie better
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