影院座位設(shè)計(jì)建模論文(編輯修改稿)
2024-11-12 06:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 取到 ? 時所有觀眾的平均滿意程度最大。 問題 3 的模型建立與求解 問題 2 中求得的最優(yōu)解中， 第一排的 a r c t a n( ) 14Hcd? ?? ? ?，超過了條件中的 30? ，因此改進(jìn)計(jì)劃中第一要解決的就是使 ? 角符合條件區(qū)域更廣；其次，還要盡可能的進(jìn)一步提高 ? 角的平均值。 引理 豎直方向上的兩定點(diǎn)，在與它們相距一定水平距離的豎直方向上有一動點(diǎn)，當(dāng)該動點(diǎn)位于兩定點(diǎn)的垂直平分線上時，動點(diǎn)與兩定點(diǎn)形成的視角最大。動點(diǎn)距兩定點(diǎn)的垂直平分線越近，動點(diǎn)與兩定點(diǎn)形成的視角越大。證明見附錄 二 。 于是似乎地板線設(shè)計(jì)成水平面，高度為 2hH? ，即屏幕的垂直平分線，這樣所有點(diǎn)的視 角都最大。但實(shí)際上某人的視角范圍內(nèi)里有其他人時，視角就要減小，如上述水平面，只有第一排觀眾視角最大，其它排的視角為其一 半，若考慮眼睛到頭頂?shù)母叨?，則視角更小。可見，第 一 排觀眾的 視 高 不能超過屏幕下邊緣的高度，否則后面的人就會被擋住。也就是說座位 （考慮人的視高）的平均高度 要盡量接近屏幕的中垂線，且要盡量防止前排觀眾擋住后排觀眾的一部分視線（可通過增加排間高度差來實(shí)現(xiàn)）。這正好驗(yàn)證了第 2 問的結(jié)論，地板線傾 角???時，平均視角最大，因?yàn)檫@樣才能使所有的點(diǎn)距屏幕中垂線最近。那么如何進(jìn)一步提高觀眾的滿意度呢？考慮到屏幕中垂線處視角最大，可采取抬高各排 高度的措施。 由題， 各排的排 間高度差相等時，則 觀眾眼睛連線 為直線。 如果考慮到人的眼睛到頭頂?shù)木嚯x（按照平均水平并理想化，這個距離給定為 ），若后排不被前排擋住視線（理想簡化模型，不考慮靠后的座位視角下邊被前排遮擋的情 8 況），則地板線傾角應(yīng)當(dāng)至少為 rc ta n ? ? ? ?.經(jīng)過進(jìn)一步分析，平均視角最大的情況只可能在一下條件下發(fā)生：（ 1）最后一排觀眾的視高在 ()2hHH?范圍內(nèi)變化；（ 2）地板線傾角在 ??范圍內(nèi)變化。 因此，我們在這兩個條件的約束下求解最優(yōu)解。 設(shè)最后一排的坐標(biāo) ( , )DDy ，列出直線方程 ： ta n ( )Dy y x D d?? ? ? ?，于是 ，觀眾眼睛的位置可以表示為： ( , ( ) ta n )Dx x D d y?? ? ?。我們利用 C語言進(jìn)行搜索（具體程序見附錄三），求出最大平均視角 ???， 5Dym? ，傾角 ???.座位安排的示意圖如下： 在直線階梯狀的基礎(chǔ)上充分考慮到 ? ， ? 的限制因素， 平均滿意度主要取決于視角 ? 和仰角 ? ，把每一排的 ? 相加再除以 n 就得到 ? ，把 每一排的 ? 相加再除以n 就得到 ? ，于是我們就得到下列關(guān)系式： 11( , )niiniinfn??????????? ??????????? 為了保證第 k 排座位所在的位置應(yīng)高于第 1?k 排座位所在的高度 ； 前一排的觀眾不會擋住后一排 ，同時滿足 觀眾的視線視角盡可能大 ,即眼睛的位置應(yīng)盡可能分布在 垂直平分線 的附近 ，且 仰角 大 的座位所占的比例盡可能 小 。 因此，對原直線模型各排的座高 盡可能改進(jìn)到視角盡可能大，現(xiàn)設(shè)計(jì)如下模型： 9 2 ( ( 1 ) c o s )ta n ( ( 1 ) c o s ) ( ( 1 ) c o s ta n ) ( ( 1 ) c o s ta n )h k l dk l d k l H c k l H h c?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 運(yùn)用第一問中的三個模型分別探討第二問要就的 ? 值 ，使觀眾的平均滿意度S 最大。由平均座高 ? 的最大值為 176。5 1. 1a rc ta n 15 .0 ? ? 只有未知量 ? ，且 176。0 ??? ， 其中 在直線模型的基礎(chǔ)上，不改變第一排及最后一排的位置，為達(dá)到平均視角最大，仰角較小，對中間各排座位的高度進(jìn)行一下調(diào)整，設(shè)計(jì)趨近直線型的拋物線遞增型，且其導(dǎo)函數(shù)遞減型的座高模型，以提高平均視角，即進(jìn)一步提升觀眾的滿意度， x 分別為 0， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，且有曲線上的點(diǎn)（ 0,）、（ ,）、（ ， 5） 通過曲線的二次擬合給定拋物線形如圖所示。 （程序見附錄四） 2? 1? 1? 2? 176。?? 平均滿意度最大的地板線 設(shè)計(jì)改進(jìn)后的地板線 10 5 . 1 5 4 . 9 4 . 8 4 . 7 4 . 6 4 . 5 4 . 4 4 . 3 4 . 2 4 . 1 1 5 1 050 得到的擬合二次函數(shù)的表達(dá)式為： 20 . 0 0 7 3 0 . 1 6 1 8 4 . 1 9 4 0y x x? ? ? ?. 易得此時觀眾的平均視角得到進(jìn)一步提升，仰角在條件范圍內(nèi)的區(qū)域增大，即觀眾滿意度得到了進(jìn)一步提升。 6．模型結(jié)果的分析與檢驗(yàn) 我們可以看到，我們的模型中有許多結(jié)合實(shí)際考慮的部分，例如考慮到實(shí)際座位前后間隔，和實(shí)際中前排觀眾對后排觀 眾視角的影響等。這樣的 考慮，使得我們的模型具有了一定的實(shí)際運(yùn)用價值以及更加好的合理性。 對問題一，我們可設(shè)計(jì)如下模型進(jìn)行結(jié)果的檢驗(yàn) )t a n)(t a n()( )(a r c t a nm a x 2 chHxcHxdx dxh ??????? ?? ??? ????? ??????????? ta nta n33330.. cHxdcHdDxts 對問題二，我們可做如下算法設(shè)計(jì) 進(jìn)行結(jié)果的檢驗(yàn) 11 （ 1） 讓地板線 傾角θ在 ]20,0[ 0 內(nèi)逐一取值，步長為 。 （ 2） 讓 x 在 [,19]內(nèi)逐一取值，步長為
法律信息相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1