一個(gè)人若懷疑數(shù)學(xué)的極端可靠性,他就會(huì)陷入混亂之中,……(編輯修改稿)
2025-11-04 17:38 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 貝爾 非歐幾何的誕生 二、幾何學(xué)的變革 1733年 ， 薩凱里： 《 歐幾里得無(wú)懈可擊 》 薩凱里四邊形 銳角？直角？鈍角？ 銳角？三角形內(nèi)角之和小于兩直角；過(guò)給定直線外一給定點(diǎn)，有無(wú)窮多條直線不與該給定直線相交；等等 無(wú)邏輯矛盾，但不合乎情理。 非歐幾何的誕生 二、幾何學(xué)的變革 1763年 , 克呂格爾在其博士論文中首先指出薩凱里的工作實(shí)際上并未導(dǎo)出矛盾 , 只是得到了似乎與經(jīng)驗(yàn)不符的結(jié)論 . 開(kāi)始懷疑平行公設(shè)能否由其他公理加以證明 . 1766年，蘭伯特 :《 平行線理論 》 蘭伯特四邊形 銳角？直角？鈍角？ 蘭伯特并不認(rèn)為銳角假設(shè)導(dǎo)出的結(jié)論是矛盾 ， 而且他認(rèn)識(shí)到一組假設(shè)如果不引起矛盾的話 ， 就提供了一種可能的幾何 。 因此 ， 蘭伯特最先指出了通過(guò)替換平行公設(shè)而展開(kāi)新的無(wú)矛盾的幾何學(xué)的道路 。 非歐幾何的誕生 二、幾何學(xué)的變革 C. F. Gauss, 17771855 高斯從 1799年開(kāi)始意識(shí)到平行公設(shè)不能從其他的歐幾里得公理推出來(lái) ， 并從 1813年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中不成立的新幾何 。 他起先稱之為“ 反歐幾里得幾何 ” ，最后改稱為 “ 非歐幾里得幾何 ” ， 所以“ 非歐幾何 ” 這個(gè)名稱正是來(lái)自高斯 。 非歐幾何的誕生 二、幾何學(xué)的變革 J. Bolyai 18021860 1832年 2月 14日 ， 《 絕對(duì)空間的科學(xué) 》 其中論述的所謂“ 絕對(duì)幾何 ” 就是非歐幾何 。 F. Bolyai 17751856 非歐幾何的誕生 二、幾何學(xué)的變革 1826年在喀山大學(xué)發(fā)表了 《 簡(jiǎn)要論述平行線定理的一個(gè)嚴(yán)格證明 》 的演講 ， 報(bào)告了自己關(guān)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn) 。 1829年發(fā)表了題為 《 論幾何原理 》 的論文 ， 這是歷史上第一篇公開(kāi)發(fā)表的非歐幾何文獻(xiàn) ， 但由于是用俄文刊登在《 喀山通訊 》 上而未引起數(shù)學(xué)界的注意 。 Н. И. Лобачевский 17921856 非歐幾何的誕生 二、幾何學(xué)的變革 羅巴切夫斯基非歐幾何的基本思想與高斯、波約是一致的，即用與歐幾里得第五公設(shè)相反的斷言： 通過(guò)直線外一點(diǎn)，可以引不止一條而至少是兩條直線與已知直線不相交。 作為替代公設(shè)，由此出發(fā)進(jìn)行邏輯推導(dǎo)而得出一連串新幾何學(xué)的定理。 羅巴切夫斯基明確指出，這些定理并不包含矛盾，因而它的總體就形成了一個(gè)邏輯上可能的、無(wú)矛盾的理論，這個(gè)理論就是一種新的幾何學(xué) ——非歐幾里得幾何學(xué)。歐幾里得幾何學(xué)在這里僅成了羅巴切夫斯基幾何的一個(gè)特例。 非歐幾何的誕生 二、幾何學(xué)的變革 1854年，黎曼發(fā)表論文《 關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè) 》 B. Riemann, 18261866 發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想，并建立了一種更廣泛的幾何。即現(xiàn)在所稱的黎曼幾何。羅巴切夫斯基幾何以及歐幾里得幾何都只不過(guò)是這種幾何的特例。 黎曼的研究是以高斯關(guān)于曲面的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何為基礎(chǔ)的。 非歐幾何的誕生 二、幾何學(xué)的變革 在黎曼幾何中，最重要的一種對(duì)象就是所謂的常曲率空間，對(duì)于三維空間，有以下三種情形：曲率為正常數(shù)；曲率為負(fù)常數(shù)；曲率恒等于零。黎曼指出后兩種情形分別對(duì)應(yīng)于羅巴切夫斯基的非歐幾何學(xué)和通常的歐幾里得幾何學(xué)，而第一種情形則是黎曼本人的創(chuàng)造，它對(duì)應(yīng)于另一種非歐幾何學(xué)。在這種幾何中，過(guò)已知直線外一點(diǎn)，不能作任何平行于已知直線的直線。這實(shí)際上是以前面提到的薩凱里等人的鈍角假設(shè)為基礎(chǔ)而展開(kāi)的非歐幾何學(xué)。 非歐幾何的誕生 二、幾何學(xué)的變革 在黎曼之前，從薩凱里到羅巴切夫斯基，都認(rèn)為鈍角假設(shè)與直線可以無(wú)限延長(zhǎng)的假定矛盾，因而取消了這個(gè)假設(shè)。但黎曼區(qū)分了 “ 無(wú)限 ” 與 “ 無(wú)界 ” 這兩個(gè)概念，認(rèn)為直線可以無(wú)限延長(zhǎng)并不意味著就其長(zhǎng)短而言是無(wú)限
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