非標準分析——經典數學的一種延伸(編輯修改稿)
2024-11-03 08:22 本頁面
【文章內容簡介】 NnRRxRRxxxxxRR，例如記為為無窮小，則稱均有如果對每個設為負無窮大。則稱成立如果對每個為正無窮大，例如則稱成立如果對每個設）定義（無窮大和無窮小。，簡記為，例如們簡化一些記號，產生誤解的情況下，我為敘述的簡便，在不至為非標準自然數。稱為非標準實數，中的元素，稱和為了區(qū)分如果如果定義定義。中的元素引進絕對值的，可以對線性有序化鑒于?上的等價關系。為和∽容易驗證，不是有限接近的。與彼此有限接近，而，為超自然數，則例如，）（）是指的星系（有限接近，并記作和是有限數，則稱如果∽）是指的單子（∽無限小接近，并記作和，則稱∽如果設定義RnnyxRyxGxyxyxyxyxRyxmxyxyxyxRyx*/3}|*{g a l a x y.}|*{)(m o n a d.0*,??????????????????。便不是上確界了，矛盾的一個上界限，但是則另一方面，如果矛盾。由無窮小定義易見上確界，設的是。若不然，設有上界，但沒有上確界事實上，確乎沒有邊界。成的集合，作為全體正負無窮小所被模糊的云霧所圍繞。即稱為的哲學名詞，在法語里）是單子（aaamamamaamamammx,2/)0(2/),0(),0(2),0()0()0()0(,h a l ol e i b n i zm o n a d?????不是相等，便是相交。任意兩個單子推論則且），設我們只證（無窮小。積仍是，無窮小與有限數的乘的一個理想，這就是說是）（的一個子環(huán)。是）全體無窮小集（績仍是有限數。有限數的和、差以及成說，的一個序子環(huán)，也就是）是（的集）全體有限超實數所成（定理)(),(4r|st|r,|ts|r|ts|r / 2 ,|t|r / 2 ,|s|,),0(,1)0()0(3*)0(2*012ymxmRrGtsGmRmRG?????????亦導致同樣的矛盾。時，＜同樣，當）的實數一定小于決定矛盾（小于由這與＞時，當。，滿足存在為無窮小，若不然，便即證∽可證分割決定了唯一的中的一個作為則是有限的，命證：設和。準實數與一個無窮小之可唯一地表示為一個標均因此，每個有限超實數∽便是也就是說，不是無限接近于唯一的一個每個有限超實數有限超實數基本定理,2,r/ 2 ,rxrx||R||,x}rR,r|{rx } ,rR,r|{r*,212122221111xrrrxrxDDrxrxrxRrDe d e k i n dRDDDDRxrxrxRrx??????????????????????????????)()()()()()()()()()()(0,00,)(*ystxstyxystxstyxstystxstxystystxstyxstGyxRGstRGrxstxrxrRx?????????????時，當），（的保序環(huán)同態(tài)，即對于）到（是標準部分映射定理叫做標準部分映射。）（映射記作的標準部分，為的唯一標準實數∽為有限數，稱滿足設非標準模型 ? NSA的應用應竟可能涵蓋經典數學的所有研究對象，而經典數學的定義都是用的集合論語言。所以我們先引入足以包括經典數學所有研究對象的標準結構 —— 超結構。 ? 從超結構出發(fā)，用純粹的集合論方法構造其對應的超冪型非標準模型，則得到的非標準模型涵蓋經典數學。從而可將經典數學置于 NSA體系下研究。 xyXVyXxXVXnnXVXVXVXXVXVXVXXVXVXVPXVXVXXVXVREXEnnNnnnnnn???????????????),(,)(.)1)(()()()()()()()())(()()()()(,1010則對所有”，即如果的個體是所謂的“原子即中的元素外我們約定，不需要高階量詞了，此這樣定義論域，我們就中的實體具有秩稱的個體，的實體也叫做的實體，的元素叫做上的超結構稱為如下：歸納定義累積冪集并假定本點集），度空間或拓撲空間的基為任一非空集（比如測命定義（超結構）?超結構的某些性質 ? ?為實體 ? 每個 Vn(X)為實體 ? 實體的元素為實體 ? 實體的子集為實體 ? 實體的冪集為實體 ? V(X)的有限子集為實體 ? 實體的有序 n元組及 Cartesian積為實體 ?
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