非標(biāo)準(zhǔn)分析——經(jīng)典數(shù)學(xué)的一種延伸(編輯修改稿)
2024-11-03 08:22 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 NnRRxRRxxxxxRR，例如記為為無(wú)窮小，則稱均有如果對(duì)每個(gè)設(shè)為負(fù)無(wú)窮大。則稱成立如果對(duì)每個(gè)為正無(wú)窮大，例如則稱成立如果對(duì)每個(gè)設(shè)）定義（無(wú)窮大和無(wú)窮小。，簡(jiǎn)記為，例如們簡(jiǎn)化一些記號(hào)，產(chǎn)生誤解的情況下，我為敘述的簡(jiǎn)便，在不至為非標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)。稱為非標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)，中的元素，稱和為了區(qū)分如果如果定義定義。中的元素引進(jìn)絕對(duì)值的，可以對(duì)線性有序化鑒于?上的等價(jià)關(guān)系。為和∽容易驗(yàn)證，不是有限接近的。與彼此有限接近，而，為超自然數(shù)，則例如，）（）是指的星系（有限接近，并記作和是有限數(shù)，則稱如果∽）是指的單子（∽無(wú)限小接近，并記作和，則稱∽如果設(shè)定義RnnyxRyxGxyxyxyxyxRyxmxyxyxyxRyx*/3}|*{g a l a x y.}|*{)(m o n a d.0*,??????????????????。便不是上確界了，矛盾的一個(gè)上界限，但是則另一方面，如果矛盾。由無(wú)窮小定義易見上確界，設(shè)的是。若不然，設(shè)有上界，但沒(méi)有上確界事實(shí)上，確乎沒(méi)有邊界。成的集合，作為全體正負(fù)無(wú)窮小所被模糊的云霧所圍繞。即稱為的哲學(xué)名詞，在法語(yǔ)里）是單子（aaamamamaamamammx,2/)0(2/),0(),0(2),0()0()0()0(,h a l ol e i b n i zm o n a d?????不是相等，便是相交。任意兩個(gè)單子推論則且），設(shè)我們只證（無(wú)窮小。積仍是，無(wú)窮小與有限數(shù)的乘的一個(gè)理想，這就是說(shuō)是）（的一個(gè)子環(huán)。是）全體無(wú)窮小集（績(jī)?nèi)允怯邢迶?shù)。有限數(shù)的和、差以及成說(shuō)，的一個(gè)序子環(huán)，也就是）是（的集）全體有限超實(shí)數(shù)所成（定理)(),(4r|st|r,|ts|r|ts|r / 2 ,|t|r / 2 ,|s|,),0(,1)0()0(3*)0(2*012ymxmRrGtsGmRmRG?????????亦導(dǎo)致同樣的矛盾。時(shí)，＜同樣，當(dāng)）的實(shí)數(shù)一定小于決定矛盾（小于由這與＞時(shí)，當(dāng)。，滿足存在為無(wú)窮小，若不然，便即證∽可證分割決定了唯一的中的一個(gè)作為則是有限的，命證：設(shè)和。準(zhǔn)實(shí)數(shù)與一個(gè)無(wú)窮小之可唯一地表示為一個(gè)標(biāo)均因此，每個(gè)有限超實(shí)數(shù)∽便是也就是說(shuō)，不是無(wú)限接近于唯一的一個(gè)每個(gè)有限超實(shí)數(shù)有限超實(shí)數(shù)基本定理,2,r/ 2 ,rxrx||R||,x}rR,r|{rx } ,rR,r|{r*,212122221111xrrrxrxDDrxrxrxRrDe d e k i n dRDDDDRxrxrxRrx??????????????????????????????)()()()()()()()()()()(0,00,)(*ystxstyxystxstyxstystxstxystystxstyxstGyxRGstRGrxstxrxrRx?????????????時(shí)，當(dāng)），（的保序環(huán)同態(tài)，即對(duì)于）到（是標(biāo)準(zhǔn)部分映射定理叫做標(biāo)準(zhǔn)部分映射。）（映射記作的標(biāo)準(zhǔn)部分，為的唯一標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)∽為有限數(shù)，稱滿足設(shè)非標(biāo)準(zhǔn)模型 ? NSA的應(yīng)用應(yīng)竟可能涵蓋經(jīng)典數(shù)學(xué)的所有研究對(duì)象，而經(jīng)典數(shù)學(xué)的定義都是用的集合論語(yǔ)言。所以我們先引入足以包括經(jīng)典數(shù)學(xué)所有研究對(duì)象的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu) —— 超結(jié)構(gòu)。 ? 從超結(jié)構(gòu)出發(fā)，用純粹的集合論方法構(gòu)造其對(duì)應(yīng)的超冪型非標(biāo)準(zhǔn)模型，則得到的非標(biāo)準(zhǔn)模型涵蓋經(jīng)典數(shù)學(xué)。從而可將經(jīng)典數(shù)學(xué)置于 NSA體系下研究。 xyXVyXxXVXnnXVXVXVXXVXVXVXXVXVXVPXVXVXXVXVREXEnnNnnnnnn???????????????),(,)(.)1)(()()()()()()()())(()()()()(,1010則對(duì)所有”，即如果的個(gè)體是所謂的“原子即中的元素外我們約定，不需要高階量詞了，此這樣定義論域，我們就中的實(shí)體具有秩稱的個(gè)體，的實(shí)體也叫做的實(shí)體，的元素叫做上的超結(jié)構(gòu)稱為如下：歸納定義累積冪集并假定本點(diǎn)集），度空間或拓?fù)淇臻g的基為任一非空集（比如測(cè)命定義（超結(jié)構(gòu)）?超結(jié)構(gòu)的某些性質(zhì) ? ?為實(shí)體 ? 每個(gè) Vn(X)為實(shí)體 ? 實(shí)體的元素為實(shí)體 ? 實(shí)體的子集為實(shí)體 ? 實(shí)體的冪集為實(shí)體 ? V(X)的有限子集為實(shí)體 ? 實(shí)體的有序 n元組及 Cartesian積為實(shí)體 ?
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1