【文章內(nèi)容簡介】 析時產(chǎn)生嚴重的誤判或者看不到樁底反射。可以考慮使用數(shù)字濾波手段或者改變拾振點位置來獲取更多有效信息 。 第二章 基本原理 2. 1 波動方程及其解的形式 樁的動測技術(shù)以一維波動理論為理論基礎(chǔ)。當給樁頂施加無論是振動還是錘擊等激勵能量時，都以應力波形式沿樁身傳播，傳遞過程是以一維波動方程為數(shù)學模型的。 波動方程 在建立應力波沿樁身傳遞的一維波動方程的時候，由于在樁頂施加的是 微小激振力，作了以下假定 : （ 1)樁身材料是均勻和各向同性的 。 (2)位移假設相當微小以至對動力激發(fā)的反應總是線彈性的，服從胡克定律 。 (3)樁受激振動時，其橫截面保持為平面，而且每個截面上的應力是均勻分布的。 有了以上假定我們便可以建立樁的一維波動方程 (如圖 21) 取樁身的縱向為 X 軸，方向如圖 (21)所示。設樁長為 L,截面積 為 A,密度為 P，彈性模量為 E，受軸向力 F 作用，將沿樁身縱向產(chǎn)生位移 u，則質(zhì)點運動速度 和應變 ，它們只是 x 和時間 t 的函數(shù) 。 于 t 時刻在 x 處取一微元 dx，受力情況如圖 21 所示。由牛頓第二定律建立方程 : (2. 1 .1) 其中 F= σ A(其中。為軸向應力 )，可得平衡方程 : （ ） 又考慮一般情況下 連續(xù)可微，則有 : （ ） 根據(jù)胡克定律有 將其代入式 (2. 1. 2), (2. )中 便有 : （ ） 令 ，并將 和 代入 到上式中整理得 : （ ） 此式即為一維波動方程， c 實際上就是一維桿件中的應力波傳播速度。 2. 1. 2 波動方程解的形式 2. 1 .2. 1 分離變量法求解波動方程 采用分離變量法求解波動方程 (2. 1. 5 )，令其解有如下形式 : （ ） 代入波動方程得 ： （ ） 令上式左右兩邊等于一個常數(shù) 并代入 上式，可得以下兩個常微分方程 : （ ） （ ） 它們的通解分別為 ： （ ） （ ） 采用行波理論求解波動方程 式 (2. 1. 5)一維波動方程為二階偏微分方程，可以采用達朗貝爾通解求解此式，可得有下列形式的解 : （ ） 2. 2 彈性波的反射與透射 在截面不變的樁中波的傳播 首先研究一維波動方程的通解 ， 這里單獨把下行波拿出來研究，下行波的質(zhì)點運動速度記作 v↓ ，其值為 : （ ） 下行波產(chǎn)生的應變?yōu)?： （ ） 式中符號表示以壓縮變形的壓力為正。此時下行波的力為 : （ ） 將式 (2. 2. 1)代入式 ()中可得 : （ ） 式中， 為樁的波阻抗。 同樣，對于上行波可以得到類似的式子 : （ ） 在一般情況下，樁身上任一截面上測到的質(zhì)點運動速度或力都是上行波與下行波的疊加的結(jié)果 （ ） 下面研究兩種樁中常見情況下力和質(zhì)點速度疊加的情況 : (1) 樁端為自由端時，邊界條件為 ，則 : （ ） 將式 (( 2. 2. 4 )與 (( 2. 2. 5 )代入上式可得樁端質(zhì)點速度 : （ ） 公式 ()和 ( 2. 2. 8)表示應力達到自由端后，將產(chǎn)生一個符號相反、幅值相同的反射波，即壓力波產(chǎn)生拉力反射波，在樁端處疊加， 使樁端力為 0，而樁端質(zhì)點運動速度增加一倍。 (2) 樁端為固定端時，邊界條件 ，則 : （ ） 將式 (2. 2. 4 )與 (2. 2. 5 )代入上式得 : （ ） 上兩式表示應力波達到固定端后，產(chǎn)生一個與入射波相同的反射波，即入射壓力波產(chǎn)生壓力反射波，在樁端處由于波的疊加使樁端反力增加一倍，樁端速度為 0。 2. 2. 2 樁身截面變化時波的傳播 當樁身截面發(fā)生突然變化時 (見圖 22 ), 此時波阻抗由 變?yōu)?，根據(jù)變截面處的平衡條 件與連續(xù)條件，可有 : （ ） 將式 (2. 2. 4 ), ( 2. 2. 5 )代入上式中，整理后可得 : （ ） 當剛開始傳播時只有下行波 P↓變截面，上式變?yōu)?: () 同理，當截面上只有上行波 P↑變截面時，式 (2. 2. 12)變?yōu)?: () 式 ( 2. 2. 13 ), ( 2. 2. 14)表明當原有的下行波及上行波通過變截面時，都會分成透射波與反射波兩部分。透射波的性質(zhì)與入射波一致，幅值為原入射波的 2Z2/(Z1+Z2) 倍 。反射波的幅值為倍，根據(jù) 的正負號來決定反射波的性質(zhì)是否發(fā)生 變化。 2. 2. 3 反射系數(shù)與透射系數(shù) 根據(jù)以上的討論我們可以得出反射波法測定樁身質(zhì)量的基本原理，當樁身阻抗發(fā)生變化時，可以用波在樁身的傳播規(guī)律進行 分析，此時根據(jù)式 (2. 2. 13 ),( 2. 2. 14 )，定義反射系數(shù) Rr、透射系數(shù) Rt，分別為 : () ( ) 其中 n=Z1/Z2 為阻抗比。式 (), ()便為低應變反射波法對樁身缺陷或樁反射信號進行分析判斷的重要依據(jù)，由上兩式可得出 以下結(jié)論 : (1)當 n=1 時， Rr=0，說明界面處不存在阻抗不同或截面不同的材料，無反射波信號。 (2)當 n1 時， Z1Z2, R, 0，反射波與入射波同號。說明界面是由高阻抗 硬材料進入低阻抗軟材料或大截面進入小截面。這在工程實際中對應于樁身存在縮頸、斷裂、混凝土離析、夾泥等之中的某種或幾種情況。 (3)當 n1 時， Z1Z2, Rr0，反射波與入射波反號。說明界面是由低阻抗軟材料進入高阻抗硬材料或小截面進入大截面。這在工程實際中對應于樁身存在擴頸或嵌巖樁樁底等阻抗相對增大的情況。 而透 射波始終不改變符號和方向，這從式 (2. 2. 13), (2. 2. 14)中都能看出，它與初始入射波方向一致。 2. 3 端承樁瞬態(tài)動測響應的數(shù)學模型 本文主要的研究樁型為端承樁，而其基于低應變動力測樁的正演理論的數(shù)學模型是研究此種樁型的必要手段，這里列舉的是分布參數(shù)系統(tǒng)建立的端承樁數(shù)學模型。它需要做以下幾點假設 : (1)樁受激振動是在彈性限度內(nèi)。由于通常低應變法的激振力很小，且可以控制，所以樁的振動完全滿足這一假設。 (2)樁材料是均勻或分段均勻且各向同性的。 (3)樁受激振動時，其截面保持為平面。與前面 所討論的樁的橫向幾何彌 散一樣，對于樁的長徑比也要大于一定的數(shù)值，這樣才能滿足這一假設要求。 一般 L/D=10 就能滿足假設要求。 2. 3. 1 完整端承樁瞬態(tài)動測響應的數(shù)學模型 基于以上所做的假設可以建立起以下阻尼波動方程 (如圖 ): () 式中，β 為樁側(cè)土的等效粘滯作用阻尼系數(shù) 。其它參數(shù)與式 (2. 1. 5)一致。 對 (2. 3. 1)采用分離變量法，令 ,可得 : () v 是分離常數(shù) 。Y(x)為波動函數(shù)，它與時間 t 無關(guān) 。Z(t)為振動函數(shù) ，它與坐標 x 無關(guān)。 求解可得 : () 由上式可知 就是應力波的圓波數(shù)。 解方程 (( 2. 3. 2○ 2 )并消去 時的大阻尼和臨界阻尼這兩種不屬于振動的解的情況，只取 時的小阻尼情況，可得其振動型解 : () 式中，ω 就是樁阻尼振動圓頻率。于是便可得位移函數(shù) : () a, b, c0, d0 為待定系數(shù)，它們由初始條件和邊界條件所決定。 初始條件 :當樁頂面 (x=L)受一 瞬時沖擊力作用時，在沖擊力作用的末時刻 ( t=0)，樁頂獲得的初速度為 : () 邊界條件 :指在 to 的任何時刻，應力波在樁的邊界截面 (樁頂、 樁底 )上的狀態(tài)，有 : 樁底剛性固定 : () 樁頂面自由 : () 由于低應變的瞬態(tài)激振施加的激振力不可能使端承樁振動起來，于是便有 : () 把初始條件和邊界條件分別代入到位移函數(shù) ()可得到相對應的待定系數(shù)的值。由邊界條件 (2. 3. 7)可得 : ，在t0 時 Z (t)不為零，因而只有 Y (0) =0，從而 a=O。干是 便 有 : () 又由邊界條件 (2. 3. 8 )有 ,必有 再將 ()代入其中， 有 : ,又 v, b 均不為零，所以就有下式 : () 上式就是應力波圓波數(shù) v 必須滿足的方程，稱為波數(shù)方程。由此可得到圓波數(shù)的一個序列 : () 因而樁的自振圓頻率的一個序列為 : () 相應可得到樁阻尼自振頻率的一個序列為 : () 則可得到下面兩個函數(shù)序列 : () 因而位移函數(shù)為 : () 這里已將 bn 并入 Cn 和 dn 中構(gòu)成了兩個新的系數(shù)序列 An 和Bn。將上式代入到 ()中可得 An=0, ，從而得到 : (7) 式中 I 代表瞬時沖擊力對樁的沖量， pA為 單位長度的質(zhì)量。由于在實際樁基檢測時，傳感器放置在樁頂面上，既僅僅觀測樁頂面的振動響應。故令 x=L 代入到 (2. 3. 17)中，便可得到完整端承樁瞬態(tài)動測振動位移響應的數(shù)學模型 : () 對上式分別求一階導和二階導可得到相應的動測振動速度和振動加速度響應，它們的數(shù)學模型分別為 : () () 式中， M= ρ AL 為樁身的質(zhì)量。 2. 5. 2 缺陷端承樁瞬態(tài)動測響應的反射波法數(shù)學模型 缺陷端承樁，泛指樁體材料的楊氏模量 E、密度 P 和 截面 A3 個參數(shù)存在間斷的端承樁?？梢圆捎脙煞N方法建立正演模型，一種就是如前所述求解波動方程導出振動響應的數(shù)學模型 。另一種就是利用應力波在樁身缺陷處產(chǎn)生反射波并在該處疊加，通過疊加原理來建立振動的響應的數(shù)學模型。在前面的論述中已具體提過應力波的反射和投射問題，這里利用它來建立反射波法的數(shù)學模型。 其原理就是利用端承樁缺陷處的應力波回到樁頂面與頂面的應力波疊加起 來，便產(chǎn)生了疊加現(xiàn)