小二乘法線性詳細(xì)說明(編輯修改稿)
2025-06-20 02:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 者從 實驗數(shù)據(jù)的變化趨勢 來推測判斷。 ? 如根據(jù)實驗得到的一組數(shù)據(jù) （或其在 x y坐標(biāo)上的數(shù)據(jù)點）初步判斷經(jīng)驗公式為線性關(guān)系時，即可用最小二乘法按⑤，⑥式求出b, a值，并進而擬合出直線的線性關(guān)系式： y=a+bx 回歸方程。 ? ?yixi,20 3. 回歸方程的精度和相關(guān)系數(shù) ? 用最小二乘法確定 a, b存在誤差 。 ? 總結(jié)經(jīng)驗公式時 ， 我們初步分析判斷所假定的函數(shù)關(guān)系是正確 ， 為了解決這些問題 ， 就需要討論回歸方程的 精度 和 相關(guān)性 。 ? 為了估計回歸方程的精度 ， 進一步計算數(shù)據(jù)點 偏離最佳直線 y=a+bx的大小 ， 我們引入概念 —— 剩余標(biāo)準(zhǔn)差 ， 它反映著回歸方程與各數(shù)據(jù)點的擬合程度 。 ? ?yixi,s?21 ? 剩余標(biāo)準(zhǔn)差 ? 公式中： s?2)1(222???? ??nsRnv yyis?? ? ??nyysiiyy2)(2yyxxxysssR ?22 ? R稱為相關(guān)系數(shù)。其值可正可負(fù)，一般有： ? a:當(dāng) R=177。 1時， = ,即各數(shù)據(jù)點與最佳直線完全重合。 ? b： 0R1時，各數(shù)據(jù)點與最佳直線不完全重合。有兩種情況： ? 一種可能是各數(shù)據(jù)點與該線偏差較小，一種可能是各數(shù)據(jù)點與該線偏差較大。 ? 當(dāng) 時， 減小，一般的數(shù)據(jù)點越靠近最佳值兩旁。兩變量間的關(guān)系線性相關(guān)，可以認(rèn)為是線性關(guān)系，最佳直線所反應(yīng)的函數(shù)關(guān)系也越接近兩變量間的客觀關(guān)系。同時還說明了測量的精密度高。 ? 當(dāng) 時， 增大，根據(jù)數(shù)據(jù)點的分布，也許能得到一條“最佳”直線。然而，數(shù)據(jù)點與“最佳”直線的偏差過大。 10 ?? Rs? 02 ?? iv1?R s?1??R s?23 24 ? 這時“最佳”二字只能說明數(shù)據(jù)點距這直線的總偏差較小，但不能反映出數(shù)據(jù)點的分布規(guī)律?；蛘哒f，我們事先的初步判斷是錯誤的。數(shù)據(jù)點的分布規(guī)律不是線形的 ,根本就不能用一條直線表示。 ? 為了幫助我們理解這一點 ,我們再討論極限情況。 當(dāng) R=0時（ 最大） , , ,所以b=0,a= , 從而得到 y= 的錯誤結(jié)論。這說明數(shù)據(jù)點的分布不是線性 ,不能擬合為線性關(guān)系曲線。 s? 0?xys 0?yys 0?xxsy y25 起碼相關(guān)系數(shù) ? 的值與數(shù)據(jù)點的個數(shù) n有關(guān)。書中 P40表 53中給出了起碼相關(guān)系數(shù) 的值。 ? 如果有一組數(shù)據(jù)點初步觀測為線性分布。那么， 為多大時，就可以用一條最佳直線來表示其分布呢？ ? 只有相關(guān)系數(shù) R≥ 時，才能用線性回歸方程y=a+bx來描述數(shù)據(jù)的的分布規(guī)律。否則毫無意義。 0R0R0RR0R26 回歸方程的精密度 ? 根據(jù)統(tǒng)計理論還可以求出 a和 b的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為： xxsbs?? ?sxxibansxinx ??? ???? ?2227 回歸分析法的運算步驟 ? 首先計算 R，判斷是否能擬合成線性曲線。 R≥ ? 利用最小二乘法計算出 b, a得出回歸方程即兩個變量之間的關(guān)系式。 ? 計算 ，并利用 肖維涅準(zhǔn)則 判斷有無粗差。 ? 如果有粗差，剔除后重復(fù)①，②，③步驟計算。 ? 如無粗差，計算 , ，給出最后的回歸方程。 s?b? a?0R28 〔 例題 〕 ? 用伏安法測電阻，測量數(shù)據(jù)如表。問能否擬合成線性關(guān)系曲線？若可以，試判斷有無粗差并計算出 b, a, , . 表一 a? b?Xu(V) YI(mA) Xu(V) YI(mA) 29 ? 解：已知 n=11,首先計算下列量 ?
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