【文章內(nèi)容簡介】 矩矢量 ， 垂直于由 和 作用線組成的平面 ,并且 的指向按右手規(guī)則來確定 。 類似地 ， 質(zhì)點的動量 對點0的矩可表示成 (3． 17) 它垂直于質(zhì)點的矢徑 和動量 所組成的平面 ， 且 的指向也由右手規(guī)則確定 。 F OFrFm ??)(oOA?r)(Fmo r Fvm)(Fmovrvm mmo ??)()( vm mor vm 靜力學里曾指出 ， 力對于通過點 O的任一軸 ， 例如 Oz軸 的矩 ， 等于它對點 O的矩在該軸上的投影 ， 并且可以寫成 = 該動量矩具有量綱 在國際單位制中 ， 動 量 矩 的 常 用 單 位是 。 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 12 ??? 時間長度質(zhì)量時間長度質(zhì)量長度動量矩)1212 ?? ???? smkg（秒米千克? ?zo )(Fm)(Fm z設坐標系 Ozyz是固定直角坐標系 ， 以矢徑 r與牛頓第二定律的方程作叉乘 ， 有 等號右端就是力 F對原點 O的矩 ， 左端可以改造為 但 ， 所以上式等號右端第二項等于零 (兩個平行矢量的叉積等于零 )， 而第一項就是質(zhì)點對點 O的動量矩矢量 對時間的導數(shù) 。 于是得 Frvr ??? )( mdtd)(Fmovrvrvr mdtdmdtdmdtd ????? )()(vr ?dtd)( vm mo (3． 18) 即質(zhì)點對任意固定點的動量矩對時間的導數(shù) ， 等于該質(zhì)點所受的力對同一點的矩 。 這就是質(zhì)點的動量矩定理 。 若 =O， 則 =常矢量 。 即若質(zhì)點所受的合力對某固定點的矩恒等于零 ， 則 質(zhì)點對同一點的動量矩守恒 。 該結(jié)論說明了質(zhì)點動量矩守恒的條件 。 動量矩定理很容易由質(zhì)點推廣到質(zhì)點系 。 按式(3． 18)對質(zhì)點系內(nèi)每個質(zhì)點寫出動量矩方程 ， 然后相加 ，得 ? ? )()( Fmvm oo mdtd ?)(Fmo )( vm mo? ? ? ? )()()( Fmmvmdtdmvmdtd ooo ??? ??其中末等號左端方括號中就是整個質(zhì)點系對固定點 O的動量矩 ， 用 Ho代表 ， 即 等號右端等于質(zhì)點系所受合外力對點 O之矩的矢量和 ， 用Mo代表 。 內(nèi)力成對地出現(xiàn) ， 它們對任一點之矩的矢量和恒等于零 。 于是有 (3． 19) 可見 ， 質(zhì)點系對任一固定點的動量矩對時間的導數(shù) ， 等于該質(zhì)點系所受全體外力對同一點之矩的矢量代數(shù)和 。這就是質(zhì)點系動量矩定理 。 特殊情況：若 ， 則 Ho =常矢量 。 )( mvmH oo ??ooo MFmdtdH ?? ? )(0)( ?? Fm o 姿態(tài)動力學方程 設航天器在空間以角速度 旋轉(zhuǎn) ， 其動量矩為 Ho。為了方便起見 ， 基準點選航天器本體坐標系 Oxyz的原點 ，也即航天器質(zhì)心 0， M是作用在航天器相對于質(zhì)心 0的合外力矩 ， 所以航天器的動量矩即為 (3． 20) 式中，矢量 r是剛體內(nèi)相對于質(zhì)心的矢徑； dr/dt是質(zhì)量元 dm在空間相對于質(zhì)心的速度矢量； m為航天器的總質(zhì)量。于是在本體坐標系中，剛體的 和 M可以分別表示成 ?dmdtdrrHm?? ?rHω , () () () () 式中 ， 是航天器本體坐標系各軸的單位矢量 ， 上兩式右端的系數(shù)則是相應矢量沿各坐標軸的分量 。 將式（ ） 對時間 t求取導數(shù) ， 求動量矩 H在空間的變化率 ，即 () 由于剛體在空間中以的角速度進行旋轉(zhuǎn) ， 所以與其固連的本體坐標系各軸方向也在相應變化 。 kjiω zyx ??? ???kjiH zyx hhh ???kjir zyx ???kjiM zyx mmm ???kj,i,dtdhdtdhdtdhhhhdtdzyxzyxkjikjiH ?????? ???以知坐標軸單位矢量的導數(shù)公式是 () 代入式 (),并根據(jù)動量矩定理得 () 因 所以式 （ ） 在航天器本體坐標系中可以展開為 iωi ??dtd jωj ??dtd kωk ??dtdHωHHM ???? ?dtdkjiHω )()()( xyyxzxxzyzzy hhhhhh ?????? ???????kjikjiM )()()( xyyxzzxxzyyzzyxzyx hhhhhhhhhMMM ?????? ???????????? ???其在各軸的分量表示為 () 或表示成矩陣矢量形式 ， 即 () 式 ()或 ()稱為歐拉力矩方程式 。 ????????????????xyyxzzzxxzyyyzzyxxhhhMhhhMhhhM????????????????????????????????????????????????????????zyxxy