北京工業(yè)大學(xué)線(xiàn)性代數(shù)第四章第三節(jié)向量組的秩(編輯修改稿)
2025-06-17 18:41 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 線(xiàn)性表出 , 如果 s t , 則 12 s? ? ?， ， ,線(xiàn)性相關(guān)． 向量組 12 ,s? ? ?， ， ,中部分組 12 ri i i? ? ?， ， ,線(xiàn)性無(wú)關(guān) , 任意 r+1個(gè)向量都 極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的等價(jià)定義： 推論 1： 1 2 1 2st? ? ? ? ? ?如 果 ， ， ,可 由 ， ， ,線(xiàn)性表示 , 12 s? ? ?且 ， ， ,線(xiàn)性無(wú)關(guān)， 則 .st??線(xiàn)性相關(guān) ?12 ri i i? ? ?， ， ,是極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組 14 推論 2： 兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的等價(jià)的向量組，必含 有相同個(gè)數(shù)的向量． 推論 3： 向量組的任意兩個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所 含向量的個(gè)數(shù)相等． 注： 極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)是相當(dāng)重要的。 為此我們引出下述概念。 15 三． 向量組的秩 定義 : 所含向量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)向量組的秩，記作 12 s? ? ?， ， ,向量組 的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組 ? ?ss1 2 1 2? ? ? ? ? ?秩 ， ， ,或 r a n k { ， ， , } 。說(shuō)明： 規(guī)定全由零 向量組成的向量組的秩為零。 ? ?12 s r? ? ? ??秩 ， ， ,向量組 12 s? ? ?， ， ,中線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量的個(gè)數(shù)至多是 r，任意 r+1個(gè) ⑴ 向量都線(xiàn)性相關(guān)。 16 設(shè)有兩個(gè) n 維向量組 1212:。 stAB? ? ?? ? ?， ， ,， ， ,若 A 可由 B 線(xiàn)性表出 , 則 ? ? ? ?1 2 1 2 .st? ? ? ? ? ??秩 ， ， ,秩 ， ， ,定理 3： ? ?12 .s s? ? ???秩 ， ， ,⑵ 向量組 12 s? ? ?， ， ,線(xiàn)性無(wú)關(guān) ⑶ 向量組 12 s? ? ?， ， ,線(xiàn)性相關(guān) ? ?12 .s s? ? ???秩 ， ， ,17 推論： 等價(jià)的向量組有 說(shuō)明： 相同的秩 。 上述定理和推論給出了比較兩個(gè)向量組 的秩的方法，利用這個(gè)方法有時(shí)可從已知的向 量組的秩，求出另一個(gè)向量組的秩。 證： 12, , ...,i i ir? ? ?設(shè) 為向量組 A的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組， 1 2 s, , ...,i i i? ? ?為向量組 B的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組， 則 12, , ...,i i ir? ? ? 可 由 1 2 s, , ...,i i i? ? ?線(xiàn)性表出， ? ? ? ?1 2 1 2 .st? ? ? ? ? ??秩 ， ， ,秩 ， ， ,?r s ,且 即18 四．向量組的秩的計(jì)算方法
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